En matemáticas , el lagrangiano Grassmanniano es la variedad suave de subespacios lagrangianos de un espacio vectorial simpléctico real V. Su dimensión es 1/2 n ( n + 1) (donde la dimensión de V es 2n ). Puede identificarse con el espacio homogéneo
donde U( n ) es el grupo unitario y O( n ) el grupo ortogonal . Siguiendo a Vladimir Arnold se denota por Λ( n ). El Grassmanniano Lagrangiano es una subvariedad del Grassmanniano ordinario de V .
Un lagrangiano complejo de Grassmann es la variedad homogénea compleja de subespacios lagrangianos de un espacio vectorial simpléctico complejo V de dimensión 2 n . Puede identificarse con el espacio homogéneo de dimensión compleja 1/2 n ( n + 1)
donde Sp( n ) es el grupo simpléctico compacto .
Para ver que el lagrangiano Grassmanniano Λ( n ) puede identificarse con U( n )/O( n ) , observe que es un espacio vectorial real de 2 n dimensiones, con la parte imaginaria de su producto interno habitual convirtiéndolo en un espacio vectorial simpléctico. Los subespacios lagrangianos de son entonces los subespacios reales de dimensión real n en los que la parte imaginaria del producto interno se desvanece. Un ejemplo es . El grupo unitario U( n ) actúa transitivamente sobre el conjunto de estos subespacios, y el estabilizador de es el grupo ortogonal . De la teoría de espacios homogéneos se deduce que Λ( n ) es isomorfo a U( n )/O( n ) como un espacio homogéneo de U( n ) .
La topología estable del Grassmanniano Lagrangiano y del Grassmanniano Lagrangiano complejo se entiende completamente, ya que estos espacios aparecen en el teorema de periodicidad de Bott : , y – son por lo tanto exactamente los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable , hasta un desplazamiento en la indexación (dimensión).
En particular, el grupo fundamental de es cíclico infinito . Por lo tanto, su primer grupo de homología es también cíclico infinito, al igual que su primer grupo de cohomología , con un generador distinguido dado por el cuadrado del determinante de una matriz unitaria , como aplicación al círculo unitario . Arnold demostró que esto conduce a una descripción del índice de Maslov , introducido por VP Maslov .
Para una subvariedad lagrangiana M de V , de hecho, existe una función
que clasifica su espacio tangente en cada punto (cf. mapa de Gauss ). El índice de Maslov es el pullback a través de este mapeo, en
del distinguido generador de
A un camino de simplectomorfismos de un espacio vectorial simpléctico se le puede asignar un índice de Maslov , llamado así en honor a VP Maslov ; será un entero si el camino es un bucle, y un semientero en general.
Si este camino surge de la trivialización del fibrado vectorial simpléctico sobre una órbita periódica de un campo vectorial hamiltoniano en una variedad simpléctica o del campo vectorial de Reeb en una variedad de contacto , se conoce como índice de Conley-Zehnder. Calcula el flujo espectral de los operadores de tipo Cauchy-Riemann que surgen en la homología de Floer . [1]
Apareció originalmente en el estudio de la aproximación WKB y aparece con frecuencia en el estudio de la cuantificación , las fórmulas de trazas del caos cuántico y en la geometría y topología simplécticas . Puede describirse como se indicó anteriormente en términos de un índice de Maslov para subvariedades lagrangianas lineales.
