Espacio vectorial simpléctico

Concepto matemático

En matemáticas , un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial sobre un cuerpo (por ejemplo los números reales ) dotado de una forma bilineal simpléctica . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una forma bilineal simpléctica es una aplicación que es ${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$

Bilineal

Lineal en cada argumento por separado;

Alterno

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$válido para todos ; y ${\displaystyle v\in V}$

No degenerado

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$porque todo implica que . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle u=0}$

Si el campo subyacente tiene una característica distinta de 2, la alternancia es equivalente a la simetría oblicua . Si la característica es 2, la simetría oblicua está implícita en, pero no implica alternancia. En este caso, toda forma simpléctica es una forma simétrica , pero no al revés.

Trabajando en una base fija , se puede representar por una matriz . Las condiciones anteriores son equivalentes a que esta matriz sea antisimétrica , no singular y hueca (todas las entradas diagonales son cero). Esto no debe confundirse con una matriz simpléctica , que representa una transformación simpléctica del espacio. Si es de dimensión finita , entonces su dimensión debe ser necesariamente par ya que toda matriz antisimétrica, hueca de tamaño impar tiene determinante cero. Nótese que la condición de que la matriz sea hueca no es redundante si la característica del cuerpo es 2. Una forma simpléctica se comporta de manera bastante diferente a una forma simétrica, por ejemplo, el producto escalar en espacios vectoriales euclidianos. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V}$

Espacio simpléctico estándar

El espacio simpléctico estándar tiene la forma simpléctica dada por una matriz antisimétrica no singular . Normalmente se elige como matriz de bloques ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

donde I _n es la matriz identidad n × n . En términos de vectores base ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$

Una versión modificada del proceso de Gram-Schmidt muestra que cualquier espacio vectorial simpléctico de dimensión finita tiene una base que toma esta forma, a menudo llamada base de Darboux o base simpléctica . ${\displaystyle \omega }$

Esquema del proceso:

Comience con una base arbitraria y represente el dual de cada vector base mediante la base dual : . Esto nos da una matriz con entradas . Resuelva para su espacio nulo. Ahora, para cualquier en el espacio nulo, tenemos , por lo que el espacio nulo nos da el subespacio degenerado . ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Ahora elija arbitrariamente un complementario tal que , y sea una base de . Dado que , y , WLOG . Ahora escale de modo que . Luego defina para cada uno de . Itere. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$ ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$

Tenga en cuenta que este método se aplica al espacio vectorial simpléctico sobre cualquier campo, no solo el campo de números reales.

Caso de campo real o complejo:

Cuando el espacio está sobre el cuerpo de los números reales, entonces podemos modificar el proceso de Gram-Schmidt modificado de la siguiente manera: Empecemos de la misma manera. Sea una base ortonormal (con respecto al producto interno usual en ) de . Como , y , WLOG . Ahora multiplicamos por un signo, de modo que . Luego definimos para cada uno de , luego escalamos cada uno de modo que tenga norma uno. Iteramos. ${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$ ${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$ ${\displaystyle w'}$

De manera similar, para el campo de los números complejos, podemos elegir una base unitaria. Esto prueba la teoría espectral de matrices antisimétricas .

Forma lagrangiana

Hay otra forma de interpretar esta forma simpléctica estándar. Como el espacio modelo R ^{2 n} utilizado anteriormente tiene mucha estructura canónica que podría fácilmente llevar a una mala interpretación, utilizaremos en su lugar espacios vectoriales "anónimos". Sea V un espacio vectorial real de dimensión n y V ^∗ su espacio dual . Ahora consideremos la suma directa W = V ⊕ V ^∗ de estos espacios equipados con la siguiente forma:

${\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).}$

Ahora elija cualquier base ( v ₁ , ..., v _n ) de V y considere su base dual

${\displaystyle \left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).}$

Podemos interpretar que los vectores base se encuentran en W si escribimos x _i = ( v _i , 0) e y _i = (0, v _i ^∗ ) . En conjunto, forman una base completa de W ,

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).}$

Se puede demostrar que la forma ω definida aquí tiene las mismas propiedades que al principio de esta sección. Por otra parte, toda estructura simpléctica es isomorfa a una de las formas V ⊕ V ^∗ . El subespacio V no es único, y la elección de un subespacio V se denomina polarización . Los subespacios que dan tal isomorfismo se denominan subespacios lagrangianos o simplemente lagrangianos .

Explícitamente, dado un subespacio lagrangiano como se define a continuación, entonces una elección de base ( x ₁ , ..., x _n ) define una base dual para un complemento, por ω ( x _i , y _j ) = δ _ij .

Analogía con estructuras complejas

Así como toda estructura simpléctica es isomorfa a una de la forma V ⊕ V ^∗ , toda estructura compleja en un espacio vectorial es isomorfa a una de la forma V ⊕ V . Usando estas estructuras, el fibrado tangente de una n -variedad, considerada como una 2n - variedad, tiene una estructura casi compleja , y el fibrado cotangente de una n -variedad, considerada como una 2n - variedad, tiene una estructura simpléctica: T _∗ ( T ^∗ M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^∗ .

El análogo complejo de un subespacio lagrangiano es un subespacio real , un subespacio cuya complejización es todo el espacio: W = V ⊕ J V. Como se puede ver en la forma simpléctica estándar anterior, cada forma simpléctica en R ^{2 n} es isomorfa a la parte imaginaria del producto interno complejo estándar (hermítico) en C ⁿ (con la convención del primer argumento siendo antilineal).

Forma de volumen

Sea ω una forma bilineal alternada en un espacio vectorial real n -dimensional V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Entonces ω es no degenerado si y solo si n es par y ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ω es una forma de volumen . Una forma de volumen en un espacio vectorial n -dimensional V es un múltiplo distinto de cero de la forma n e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗ donde e ₁ , e ₂ , ..., e _n es una base de V .

Para la base estándar definida en la sección anterior, tenemos

${\displaystyle \omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

Al reordenar, se puede escribir

${\displaystyle \omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

Los autores definen ω ⁿ o (−1) ^{n /2} ω ⁿ como la forma de volumen estándar . También puede aparecer un factor ocasional de n !, dependiendo de si la definición del producto alterno contiene un factor de n ! o no. La forma de volumen define una orientación en el espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) .

Mapa simpléctico

Supóngase que ( V , ω ) y ( W , ρ ) son espacios vectoriales simplécticos. Entonces, una función lineal f  : V → W se denomina función simpléctica si el pullback conserva la forma simpléctica, es decir, f ^∗ ρ = ω , donde la forma de pullback se define por ( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Las funciones simplécticas conservan el volumen y la orientación.

Grupo simpléctico

Si V = W , entonces una función simpléctica se denomina transformación simpléctica lineal de V . En particular, en este caso se tiene que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , y por lo tanto la transformación lineal f conserva la forma simpléctica. El conjunto de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y en particular un grupo de Lie , llamado grupo simpléctico y denotado por Sp( V ) o a veces Sp( V , ω ) . En forma matricial las transformaciones simplécticas están dadas por matrices simplécticas .

Subespacios

Sea W un subespacio lineal de V. Defina el complemento simpléctico de W como el subespacio

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.}$

El complemento simpléctico satisface:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

Sin embargo, a diferencia de los complementos ortogonales , W ^⊥ ∩ W no necesita ser 0. Distinguimos cuatro casos:

• W es simpléctico si W ^⊥ ∩ W = {0 }. Esto es cierto si y solo si ω se restringe a una forma no degenerada en W . Un subespacio simpléctico con la forma restringida es un espacio vectorial simpléctico por derecho propio.
• W es isótropo si W ⊆ W ^⊥ . Esto es cierto si y solo si ω se restringe a 0 en W . Cualquier subespacio unidimensional es isótropo.
• W es coisotrópico si W ^⊥ ⊆ W . W es coisotrópico si y solo si ω desciende a una forma no degenerada en el espacio cociente W / W ^⊥ . De manera equivalente, W es coisotrópico si y solo si W ^⊥ es isótropo. Cualquier subespacio de codimensión -uno es coisotrópico.
• W es lagrangiano si W = W ^⊥ . Un subespacio es lagrangiano si y solo si es isótropo y coisotrópico. En un espacio vectorial de dimensión finita, un subespacio lagrangiano es un subespacio isótropo cuya dimensión es la mitad de la de V . Todo subespacio isótropo puede extenderse a un subespacio lagrangiano.

Haciendo referencia al espacio vectorial canónico R ^{2 n} anterior,

• El subespacio generado por { x ₁ , y ₁ } es simpléctico
• El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ } es isótropo
• El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ } es coisotrópico
• el subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } es lagrangiano.

Grupo de Heisenberg

Un grupo de Heisenberg se puede definir para cualquier espacio vectorial simpléctico, y esta es la forma típica en que surgen los grupos de Heisenberg .

Un espacio vectorial puede considerarse como un grupo de Lie conmutativo (bajo la adición) o, equivalentemente, como un álgebra de Lie conmutativa , es decir, con corchete de Lie trivial. El grupo de Heisenberg es una extensión central de dicho grupo/álgebra de Lie conmutativo: la forma simpléctica define la conmutación, de manera análoga a las relaciones de conmutación canónicas (CCR), y una base de Darboux corresponde a las coordenadas canónicas  ; en términos de física, a los operadores de momento y a los operadores de posición .

De hecho, según el teorema de Stone-von Neumann , toda representación que satisface la CCR (toda representación del grupo de Heisenberg) es de esta forma, o más apropiadamente conjugada unitariamente con la estándar.

Además, el álgebra de grupo de (el dual de) un espacio vectorial es el álgebra simétrica , y el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (del dual) es el álgebra de Weyl : se puede pensar en la extensión central como correspondiente a la cuantificación o deformación .

Formalmente, el álgebra simétrica de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es el álgebra de grupo del dual, Sym( V ) := F [ V ^∗ ] , y el álgebra de Weyl es el álgebra de grupo del grupo (dual) de Heisenberg W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Dado que pasar a las álgebras de grupo es un funtor contravariante , la función de extensión central H ( V ) → V se convierte en una inclusión Sym( V ) → W ( V ) .

Véase también

• Una variedad simpléctica es una variedad suave con una forma simpléctica cerrada que varía suavemente en cada espacio tangente .
• Índice de Maslov
• Una representación simpléctica es una representación de grupo donde cada elemento del grupo actúa como una transformación simpléctica.

Referencias

• Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). "Sistemas hamiltonianos y lagrangianos". Fundamentos de mecánica (2.ª ed.). Londres: Benjamin-Cummings. págs. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X.PDF
• Paulette Libermann y Charles-Michel Marle (1987) "Geometría simpléctica y mecánica analítica", D. Reidel
• Jean-Marie Souriau (1997) "Estructura de sistemas dinámicos, una visión simpléctica de la física", Springer