Método de equilibrio dominante

Solución de una forma simplificada de una ecuación

En matemáticas, el método de equilibrio dominante aproxima la solución de una ecuación resolviendo una forma simplificada de la ecuación que contenga 2 o más de los términos de la ecuación que más influyen (dominan) en la solución y excluyendo los términos que contribuyen solo con pequeñas modificaciones a esta solución aproximada. Después de una solución inicial, la iteración del procedimiento puede generar términos adicionales de una expansión asintótica que proporcione una solución más precisa. ^{[1] [2]}

Un ejemplo temprano del método de equilibrio dominante es el método del polígono de Newton . Newton desarrolló este método para encontrar una aproximación explícita para una función algebraica . Newton expresó la función como proporcional a la variable independiente elevada a una potencia , retuvo solo los términos polinomiales de menor grado (términos dominantes) y resolvió esta ecuación reducida simplificada para obtener una solución aproximada. ^{[3] [4]} El equilibrio dominante tiene una amplia gama de aplicaciones, resolviendo ecuaciones diferenciales que surgen en mecánica de fluidos , física del plasma , turbulencia , combustión , óptica no lineal , dinámica de fluidos geofísicos y neurociencia . ^{[5] [6]}

Relaciones asintóticas

Las funciones y de parámetro o variable independiente y el cociente tienen límites a medida que se acerca al límite . ${\textstyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle f(z)/g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

La función es mucho menor que cuando tiende a , escrita como , si el límite del cociente es cero cuando tiende a . ^[7] ${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle f(z)\ll g(z)\ (z\to L)}$ ${\textstyle f(z)/g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

La relación es de orden inferior a medida que se aproxima , escrita utilizando la notación o minúscula , es idéntica a la relación es mucho menor que cuando se aproxima . ^[7] ${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle f(z)=o(g(z))\ (z\to L)}$ ${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

La función es equivalente a cuando tiende a , escrita como , si el límite del cociente es 1 cuando tiende a . ^[7] ${\textstyle f(z)}$ ${\textstyle g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle f(z)\sim g(z)\ (z\to L)}$ ${\textstyle f(z)/g(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

Este resultado indica que la función cero , para todos los valores de , nunca puede ser equivalente a ninguna otra función. ^[7] ${\textstyle f(z)=0}$ ${\textstyle z}$

Las funciones asintóticamente equivalentes siguen siendo asintóticamente equivalentes bajo integración si se cumplen los requisitos relacionados con la convergencia. Existen requisitos más específicos para que las funciones asintóticamente equivalentes sigan siendo asintóticamente equivalentes bajo diferenciación . ^[8]

Propiedades de la ecuación

La solución aproximada de una ecuación es cuando tiende al límite . Los términos de la ecuación que pueden ser constantes o contener esta solución son . Si la solución aproximada es completamente correcta, los términos de la ecuación suman cero en esta ecuación: Para índices enteros distintos , esta ecuación es una suma de 2 términos y un resto expresado como Balancear los términos de la ecuación y significa hacer que estos términos sean iguales y asintóticamente equivalentes al encontrar la función que resuelve la ecuación reducida con y . ^[9] ${\textstyle s(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)}$ $${\displaystyle T_{0}(s)+T_{1}(s)+\ldots +T_{n}(s)=0.}$$ ${\textstyle i,j}$ ${\textstyle R_{ij}(s)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{i}(s)+T_{j}(s)+R_{ij}(s)=0\\&R_{ij}(s)=\sum _{{k=0} \atop {k\neq i,k\neq j}}^{n}T_{k}(s).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle T_{i}(s)}$ ${\textstyle T_{j}(s)}$ ${\textstyle s(z)}$ ${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$ ${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$ ${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$

Esta solución es consistente si los términos y son dominantes ; dominante significa que los términos restantes de la ecuación son mucho menores que los términos y a medida que se acerca a . ^{[10] [11]} Una solución consistente que equilibra dos términos de la ecuación puede generar una aproximación precisa a la solución de la ecuación completa para valores que se acercan a . ^{[11] [12]} Las soluciones aproximadas que surgen de equilibrar diferentes términos de una ecuación pueden generar soluciones aproximadas distintas, por ejemplo, soluciones de capa interna y externa . ^[5] ${\textstyle s(z)}$ ${\textstyle T_{i}(s)}$ ${\textstyle T_{j}(s)}$ ${\textstyle R_{ij}(s)}$ ${\textstyle T_{i}(s)}$ ${\textstyle T_{j}(s)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

Sustituir la función escalada en la ecuación y tomar el límite como se aproxima puede generar ecuaciones reducidas simplificadas para valores de exponentes distintos de . ^[9] Estas ecuaciones simplificadas se denominan límites distinguidos e identifican términos de ecuación dominante balanceados. ^[13] La transformación de escala genera las funciones escaladas. El método de balance dominante aplica transformaciones de escala para equilibrar términos de ecuación cuyos factores contienen exponentes distintos. Por ejemplo, contiene factor y término contiene factor con . Las funciones escaladas se aplican a ecuaciones diferenciales cuando es un parámetro de ecuación, no la variable independiente de la ecuación diferencial. ^[5] El diagrama de Kruskal-Newton facilita la identificación de las funciones escaladas requeridas para el balance dominante de ecuaciones algebraicas y diferenciales. ^[5] ${\textstyle s(z)=(z-L)^{p}{\tilde {s}}(z)}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle T_{i}(s)}$ ${\textstyle (z-L)^{q}}$ ${\textstyle T_{j}(s)}$ ${\textstyle (z-L)^{r}}$ ${\textstyle q\neq r}$ ${\textstyle z}$

Para las soluciones de ecuaciones diferenciales que contienen una singularidad irregular , el comportamiento principal es el primer término de una solución de serie asintótica que permanece cuando la variable independiente se acerca a una singularidad irregular . El factor de control es la parte que cambia más rápido del comportamiento principal. Se recomienda "mostrar que la ecuación para la función obtenida al factorizar la solución de equilibrio dominante a partir de la solución exacta en sí tiene una solución que varía menos rápidamente que la solución de equilibrio dominante". ^[11] ${\textstyle z}$ ${\textstyle L}$

Algoritmo

La entrada es el conjunto de términos de la ecuación y el límite L. La salida es el conjunto de soluciones aproximadas. Para cada par de términos de ecuación distintos, el algoritmo aplica una transformación de escala si es necesario, equilibra los términos seleccionados al encontrar una función que resuelva la ecuación reducida y luego determina si esta función es consistente. Si la función equilibra los términos y es consistente, el algoritmo agrega la función al conjunto de soluciones aproximadas; de lo contrario, el algoritmo rechaza la función. El proceso se repite para cada par de términos de ecuación distintos. ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$

Entradas Conjunto de términos de ecuación y límite ${\textstyle \{T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)\}}$ ${\textstyle L}$

Conjunto de salida de soluciones aproximadas ${\textstyle \{s_{0}(z),s_{1}(z),\dots \}}$

1. Para cada par de términos de ecuación distintos haga lo siguiente: ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$
   1. Aplique una transformación de escala si es necesario.
   2. Resolver la ecuación reducida: con y . ${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$ ${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$ ${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$
   3. Verificar la consistencia: y ${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{i}(s)\ (z\to L)}$ ${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{j}(s)\ (z\to L).}$
   4. Si la función es consistente y resuelve la ecuación reducida, agregue esta función al conjunto de soluciones aproximadas, de lo contrario rechace la función. ${\textstyle s(z)}$

Precisión mejorada

El método puede iterarse para generar términos adicionales de una expansión asintótica para proporcionar una solución más precisa. ^[11] Los métodos iterativos como el método de Newton-Raphson pueden generar una solución más precisa. ^[4] Una serie de perturbaciones , utilizando la solución aproximada como primer término, también puede generar una solución más precisa. ^[5]

Ejemplos

Función algebraica

El método de equilibrio dominante encontrará una expresión aproximada explícita para la función multivaluada definida por la ecuación a medida que se acerca a cero. ^[14] ${\textstyle s=s(z)}$ ${\textstyle 1-16s+zs^{5}=0}$ ${\textstyle z}$

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es y el límite es cero. ${\textstyle \{1,-16s,zs^{5}\}}$

Par de primer término

1. Seleccione los términos y . ${\textstyle 1}$ ${\textstyle -16s}$
2. No es necesaria la transformación de escala.
3. Resolver la ecuación reducida: . ${\displaystyle 1-16s=0,s(z)={\tfrac {1}{16}}}$
4. Verificar la consistencia: para ${\displaystyle zs^{5}\ll 1\ (z\to 0),\ zs^{5}\ll 16s\ (z\to 0)\ }$ ${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{16}}.}$
5. Añade esta función al conjunto de soluciones aproximadas: . ${\displaystyle s_{0}(z)={\tfrac {1}{16}}}$

Par de segundo término

1. Seleccione los términos y . ${\displaystyle -16s}$ ${\displaystyle zs^{5}}$
2. Aplique la transformación de escala . La ecuación transformada es . ${\displaystyle s=z^{-1/4}{\tilde {s}}}$ ${\displaystyle z^{1/4}-16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0}$
3. Resolver la ecuación reducida: . ${\displaystyle -16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i}$
4. Verificar la consistencia: para ${\displaystyle z^{1/4}\ll 16{\tilde {s}}\ (z\to 0),\ z^{1/4}\ll {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\ }$ ${\displaystyle {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i.}$
5. Agregue estas funciones al conjunto de soluciones aproximadas:

$${\displaystyle s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}},s_{2}(z)={\frac {-2}{z^{1/4}}},s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}},s_{4}(z)={\frac {-2i}{z^{1/4}}}.}$$

Par de tercer término

1. Seleccione los términos y . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle zs^{5}}$
2. Aplicar la transformación de escala . La ecuación transformada es ${\displaystyle s=z^{-1/5}{\tilde {s}}}$ ${\displaystyle 1-16z^{-1/5}{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0.}$
3. Resolver la ecuación reducida: ${\displaystyle 1+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}$
4. La función no es consistente: para ${\displaystyle -16z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\ }$ ${\displaystyle {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.}$
5. Rechazar esta función: ${\displaystyle s=z^{-1/5}(-1)^{1/5}.}$

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 5 funciones: $${\displaystyle \left\{{\frac {1}{16}},{\frac {2}{z^{1/4}}},{\frac {-2}{z^{1/4}}},{\frac {2i}{z^{1/4}}},{\frac {-2i}{z^{1/4}}}\right\}.}$$

Solución de serie de perturbaciones

Las soluciones aproximadas son los primeros términos de las soluciones de la serie de perturbaciones. ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&s_{0}(z)={\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16777216}}z^{1}+{\frac {5}{17592186044416}}z^{2}+\ldots ,\\&s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots ,\\&s_{2}(z)=-{\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\&s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots \\&s_{4}(z)=-{\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\\end{aligned}}}$$

Ecuación diferencial

Se sabe que la ecuación diferencial tiene una solución con un término exponencial principal. ^[15] La transformación conduce a la ecuación diferencial . El método de equilibrio dominante encontrará una solución aproximada a medida que se aproxima a cero. No se utilizarán funciones escaladas porque es la variable independiente de la ecuación diferencial, no un parámetro de la ecuación diferencial. ^[10] ${\textstyle z^{3}w^{\prime \prime }-w=0}$ ${\textstyle w(z)=e^{s(z)}}$ ${\textstyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}-z^{3}s^{\prime \prime }=0}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle z}$

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es y el límite es cero. ${\textstyle \{1,-z^{3}(s^{\prime })^{2},-z^{3}s^{\prime \prime }\}}$

Par de primer término

1. Seleccione y . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}$
2. No es necesaria la transformación de escala.
3. Resolver la ecuación reducida: ${\displaystyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}=0,\ s(z)=\pm 2z^{-1/2}}$
4. Verificar la consistencia: para ${\displaystyle z^{3}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),\ z^{3}s^{\prime \prime }\ll z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)}$ ${\displaystyle s(z)=\pm 2z^{-1/2}.}$
5. Añade estas 2 funciones al conjunto de soluciones aproximadas: ${\displaystyle s_{+}(z)=+2z^{-1/2},\ s_{-}(z)=-2z^{-1/2}.}$

Par de segundo término

1. Seleccione y ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}$
2. No es necesaria la transformación de escala.
3. Resolver la ecuación reducida: ${\displaystyle 1-z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}}$
4. La función no es consistente: para ${\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}$ ${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$
5. Rechazar esta función: . ${\displaystyle s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$

Par de tercer término

1. Seleccione y . ${\displaystyle -z^{3}(s^{\prime })^{2}}$ ${\displaystyle -z^{3}s^{\prime \prime }}$
2. No es necesaria la transformación de escala.
3. Resolver la ecuación reducida: . ${\displaystyle z^{3}(s^{\prime })^{2}+z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)=\ln z}$
4. La función no es consistente: y para ${\displaystyle 1\gg z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)\ }$ ${\displaystyle \ 1\gg \ z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)}$ ${\displaystyle s(z)=\ln z.}$
5. Rechazar esta función: ${\displaystyle s(z)=\ln z.}$

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 2 funciones: ^[10] $${\displaystyle \left\{+2z^{-1/2},-2z^{-1/2}\right\}.}$$

Encuentra soluciones de 2 términos

Usando la solución de 1 término, una solución de 2 términos es La sustitución de esta solución de 2 términos en la ecuación diferencial original genera una nueva ecuación diferencial: ^[10] $${\displaystyle s_{2\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+s(z).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}1-z^{3}(s_{2\pm }^{\prime })^{2}-z^{3}s_{2\pm }^{\prime \prime }&=0\\\pm 1\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime }+{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }&=0.\end{aligned}}}$$

Aporte

El conjunto de términos de la ecuación es y el límite es cero. ${\textstyle \{\pm 1,\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime },{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2},{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\}}$

Par de primer término

1. Seleccione y . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }}$

2. No se requiere la transformación de escala.

3. Resuelve la ecuación reducida: . ${\displaystyle 1-{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }=0,\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}$

4. Verificar la consistencia:

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),{\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll {\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }\ (z\to 0)\ {\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z.}$

5. Agregue estas funciones al conjunto de soluciones aproximadas:

${\textstyle s_{2+}(z)=+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}$

${\textstyle s_{2-}(z)=-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}$. ^[10]

Otros pares de términos

Para otros pares de términos, las funciones que resuelven las ecuaciones reducidas no son consistentes. ^[10]

Producción

El conjunto de soluciones aproximadas tiene 2 funciones: ^[10] $${\displaystyle \left\{+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z,-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z\right\}.}$$

Expansión asintótica

La siguiente iteración genera una solución de 3 términos con y esto significa que una expansión en serie de potencias puede representar el resto de la solución. ^[10] El método de equilibrio dominante genera el término principal de esta expansión asintótica con coeficientes de expansión constantes y determinados por sustitución en la ecuación diferencial completa: ^[10] ${\textstyle s_{3\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\operatorname {ln} (z)+h(z)}$ ${\textstyle h(z)\ll 1\ (z\to 0)}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle w(z)=Az^{3/4}e^{\pm 2z^{-1/2}}\left(\sum _{n=0}^{m}\ a_{n}z^{n/2}\right)}$

${\displaystyle a_{n+1}=\pm {\frac {(n-1/2)(n+3/2)a_{n}}{4(n+1)}}.}$

Una suma parcial de esta serie no convergente genera una solución aproximada. El término principal corresponde a la aproximación de Liouville-Green (LG) o de Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) . ^[15]

Citas

1. Blanco 2010, pág. 2.
2. de Bruijn 1981, págs. 187-189.
3. Christensen 1996.
4. White 2010, págs. 1–14.
5. Fishaleck y White 2008.
6. Callaham y otros. 2021.
7. Paulsen 2013, págs. 1-3, 7.
8. Olver 1974, págs. 8, 9, 21.
9. Neu 2015, págs. 2–4, 14.
10. White 2010, págs. 49–51.
11. Bender y Orszag 1999, págs. 82–84.
12. Kruskal 1962, pág. 19.
13. Hinch 1991, pág. 62.
14. Rozman 2020.
15. Olver 1974, págs. 190-191.

Referencias

• Bender, CM ; Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer. ISBN 0-387-98931-5.
• Callaham, Jared L.; Koch, James V.; Brunton, Bingni W.; Kutz, J. Nathan; Brunton, Steven L. (2021). "Aprendizaje de procesos físicos dominantes con modelos de equilibrio basados ​​en datos". Nature Communications . 12 (1): 1016. arXiv : 2001.10019 . Bibcode :2021NatCo..12.1016C. doi :10.1038/s41467-021-21331-z. ISSN  2041-1723. PMC  7884409 . PMID  33589607.
• Christensen, Chris (1996). "El método de Newton para resolver ecuaciones afectadas". The College Mathematics Journal . 27 (5): 330–340. doi :10.1080/07468342.1996.11973804. ISSN  0746-8342.
• de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos en análisis, Publicaciones de Dover , ISBN 9780486642215
• Fishaleck, T.; White, RB (2008). "Informe técnico: el uso de diagramas de Kruskal-Newton para ecuaciones diferenciales". Laboratorio de Física del Plasma de Princeton (PPL-4289). Princeton, NJ: Departamento de Energía de los EE. UU., Oficina de Información Científica y Técnica: 1–29. doi :10.2172/960287. OSTI  960287.
• Hinch, EJ (1991). Métodos de perturbación. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-37897-0.
• Kruskal, MD (1962). "Informe técnico: asintotología, informe MATT 160" (PDF) . Laboratorio de Física del Plasma de Princeton . Princeton, NJ: Princeton University: 1–32.
• Neu, John C. (2015). Perturbación singular en las ciencias físicas. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2555-5.
• Olver, Frank William John. (1974). Introducción a la asintótica y a las funciones especiales. Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-525856-9.
• Paulsen, William (2013). Análisis asintótico y teoría de perturbaciones. CRC Press. ISBN 978-1-4665-1512-3.
• Rozman, Michael (2020). "Métodos de perturbación" (PDF) . Métodos matemáticos para las ciencias físicas . Universidad de Connecticut . Consultado el 5 de mayo de 2024 .
• White, RB (2010). Análisis asintótico de ecuaciones diferenciales. World Scientific. ISBN 978-1-84816-607-3.

Véase también

• Análisis asintótico