Polígono de Newton

Herramienta para resolver ecuaciones polinómicas

En matemáticas , el polígono de Newton es una herramienta para entender el comportamiento de los polinomios sobre cuerpos locales o, más generalmente, sobre cuerpos ultramétricos. En el caso original, el cuerpo local de interés era esencialmente el cuerpo de la serie formal de Laurent en la indeterminada X , es decir, el cuerpo de fracciones del anillo de series de potencias formales , sobre , donde era el cuerpo de números reales o complejos . Esto sigue siendo de considerable utilidad con respecto a las expansiones de Puiseux . El polígono de Newton es un dispositivo eficaz para entender los términos principales de las soluciones de expansión de series de potencias para ecuaciones donde es un polinomio con coeficientes en , el anillo de polinomios ; es decir, funciones algebraicas definidas implícitamente . Los exponentes aquí son ciertos números racionales , dependiendo de la rama elegida; y las soluciones en sí mismas son series de potencias en con para un denominador correspondiente a la rama. El polígono de Newton proporciona un enfoque algorítmico eficaz para calcular . ${\displaystyle K[[X]]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle aX^{r}}$ ${\displaystyle P(F(X))=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K[[Y]]}$ ${\displaystyle Y=X^{\frac {1}{d}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Después de la introducción de los números p-ádicos , se demostró que el polígono de Newton es igualmente útil en cuestiones de ramificación para cuerpos locales y, por lo tanto, en la teoría algebraica de números . Los polígonos de Newton también han sido útiles en el estudio de curvas elípticas .

Definición

Construcción del polígono de Newton del polinomio 1 + 5 X + 1/5 X ² + 35 X ³ + 25 X ⁵ + 625 X ⁶ respecto de la valoración 5-ádica.

A priori, dado un polinomio sobre un cuerpo, se desconoce el comportamiento de las raíces (suponiendo que tenga raíces). Los polígonos de Newton proporcionan una técnica para el estudio del comportamiento de las raíces.

Sea un campo dotado de una valoración no arquimediana , y sea ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{K}:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x],}$

con . Entonces, el polígono de Newton de se define como el límite inferior de la envoltura convexa del conjunto de puntos ignorando los puntos con . ${\displaystyle a_{0}a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$

Replanteando geométricamente, grafique todos estos puntos P _i en el plano xy . Supongamos que los índices de los puntos aumentan de izquierda a derecha ( P ₀ es el punto más a la izquierda, P _n es el punto más a la derecha). Luego, comenzando en P ₀ , dibuje un rayo recto hacia abajo paralelo al eje y y gire este rayo en sentido antihorario hasta que llegue al punto P _{k 1} (no necesariamente P ₁ ). Rompa el rayo aquí. Ahora dibuje un segundo rayo desde P _{k 1} recto hacia abajo paralelo al eje y y gire este rayo en sentido antihorario hasta que llegue al punto P _{k 2} . Continúe hasta que el proceso alcance el punto P _n ; el polígono resultante (que contiene los puntos P ₀ , P _{k 1} , P _{k 2} , ..., P _{k m} , P _n ) es el polígono de Newton.

Otra forma, quizás más intuitiva, de ver este proceso es la siguiente: considere una banda elástica que rodee todos los puntos P ₀ , ..., P _n . Estire la banda hacia arriba, de modo que la banda quede pegada en su lado inferior por algunos de los puntos (los puntos actúan como clavos, parcialmente martillados en el plano xy). Los vértices del polígono de Newton son exactamente esos puntos.

Para ver un diagrama claro de esto, consulte el Capítulo 6 §3 de "Campos locales" de JWS Cassels, LMS Student Texts 3, CUP 1986. Está en la página 99 de la edición de bolsillo de 1986.

Teorema principal

Con las notaciones de la sección anterior, el resultado principal concerniente al polígono de Newton es el siguiente teorema, ^[1] que establece que la valoración de las raíces de está determinada enteramente por su polígono de Newton: ${\displaystyle f}$

Sean las pendientes de los segmentos de línea del polígono de Newton de (como se definió anteriormente) dispuestos en orden creciente, y sean las longitudes correspondientes de los segmentos de línea proyectados sobre el eje x (es decir, si tenemos un segmento de línea que se extiende entre los puntos y entonces la longitud es ). ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{r}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle j-i}$

• Son distintos; ${\displaystyle \mu _{i}}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}=n}$;
• si es una raíz de en , ; ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v(\alpha )\in \{-\mu _{1},\ldots ,-\mu _{r}\}}$
• para cada , el número de raíces de cuyas valoraciones son iguales a (contando multiplicidades) es como máximo , con igualdad si se descompone en el producto de factores lineales sobre . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\mu _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Corolarios y aplicaciones

Con la notación de los apartados anteriores, denotamos en lo que sigue por el cuerpo de desdoblamiento de sobre , y por una extensión de hasta . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle L}$

El teorema del polígono de Newton se utiliza a menudo para demostrar la irreducibilidad de los polinomios, como en el siguiente corolario, por ejemplo:

• Supóngase que la valoración es discreta y normalizada, y que el polinomio de Newton de contiene solo un segmento cuya pendiente es y la proyección sobre el eje x es . Si , con coprimos con , entonces es irreducible sobre . En particular, dado que el polígono de Newton de un polinomio de Eisenstein consiste en un solo segmento de pendiente que conecta y , se sigue el criterio de Eisenstein . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu =a/n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (n,0)}$

En efecto, por el teorema principal, si es una raíz de , Si no fuera irreducible sobre , entonces el grado de sería , y se cumpliría . Pero esto es imposible ya que con coprimos a . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle <n}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )\in {1 \over d}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$

Otro corolario simple es el siguiente:

• Supongamos que es henseliano . Si el polígono de Newton de cumple para algún , entonces tiene una raíz en . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Demostración: Por el teorema principal, debe tener una sola raíz cuya valoración sea En particular, es separable sobre . Si no pertenece a , tiene un conjugado de Galois distinto sobre , con , ^[2] y es una raíz de , una contradicción. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha ')=v_{L}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, se cumple el siguiente teorema de factorización:

• Supongamos que es henseliano . Entonces , donde , es mónico para cada , las raíces de son de valoración , y . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle f=A\,f_{1}\,f_{2}\cdots f_{r},}$ ${\displaystyle A\in K}$ ${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle -\mu _{i}}$ ${\displaystyle \deg(f_{i})=\lambda _{i}}$^[3]

Además, , y si es coprimo de , es irreducible sobre . ${\displaystyle \mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}}$ ${\displaystyle v_{K}(f_{i}(0))}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$

Prueba: Para cada , denotamos por el producto de los monomios tales que es una raíz de y . También denotamos la factorización de en en factores mónicos primos Sea una raíz de . Podemos suponer que es el polinomio mínimo de sobre . Si es una raíz de , existe un K-automorfismo de que envía a , y tenemos ya que es henseliano. Por lo tanto es también una raíz de . Además, cada raíz de de multiplicidad es claramente una raíz de de multiplicidad , ya que las raíces repetidas comparten obviamente la misma valoración. Esto muestra que divide Sea . Elija una raíz de . Observe que las raíces de son distintas de las raíces de . Repita el argumento anterior con el polinomio mínimo de sobre , asumiendo que wlg es , para mostrar que divide . Continuando este proceso hasta que se agoten todas las raíces de , finalmente se llega a , con . Esto muestra que , mónico. Pero son coprimos ya que sus raíces tienen valoraciones distintas. Por lo tanto claramente , mostrando la principal contención. El hecho de que se desprende del teorema principal, y también el hecho de que , al observar que el polígono de Newton de puede tener solo un segmento que se une a . La condición para la irreducibilidad de se desprende del corolario anterior. (qed) ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle (X-\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}}$ ${\displaystyle f=AP_{1}^{k_{1}}P_{2}^{k_{2}}\cdots P_{s}^{k_{s}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle (A\in K).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle v_{L}(\sigma \alpha )=v_{L}(\alpha )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle k_{1}\nu }$ ${\displaystyle P_{1}^{k_{1}}}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/P_{1}^{k_{1}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}^{k_{2}}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}=P_{1}^{k_{1}}\cdots P_{m}^{k_{m}}}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f=Af_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{r}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=\deg(f_{i})}$ ${\displaystyle \mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle (0,v_{K}(f_{i}(0))}$ ${\displaystyle (\lambda _{i},0=v_{K}(1))}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Lo que sigue es un corolario inmediato de la factorización anterior y constituye una prueba de la reducibilidad de polinomios sobre campos henselianos:

• Supongamos que es henseliano . Si el polígono de Newton no se reduce a un solo segmento , entonces es reducible sobre . ${\displaystyle (K,v_{K})}$ ${\displaystyle (\mu ,\lambda ),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Otras aplicaciones del polígono de Newton provienen del hecho de que un polígono de Newton es a veces un caso especial de un politopo de Newton , y se puede utilizar para construir soluciones asintóticas de ecuaciones polinómicas de dos variables como ${\displaystyle 3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y=0.}$

Este diagrama muestra el polígono de Newton para P ( x , y ) = 3 x ² y ³ − xy ² + 2 x ² y ² − x ³ y , con monomios positivos en rojo y monomios negativos en cian. Las caras están etiquetadas con los términos limitantes a los que corresponden.

Explicación de la función simétrica

En el contexto de una valoración, se nos da cierta información en forma de valoraciones de funciones simétricas elementales de las raíces de un polinomio, y requerimos información sobre las valoraciones de las raíces reales, en un cierre algebraico . Esto tiene aspectos tanto de la teoría de la ramificación como de la teoría de la singularidad . Las inferencias válidas posibles son las valoraciones de las sumas de potencias , por medio de las identidades de Newton .

Historia

Los polígonos de Newton reciben su nombre de Isaac Newton , quien los describió por primera vez y algunos de sus usos en una correspondencia del año 1676 dirigida a Henry Oldenburg . ^[4]

Véase también

• Cristal F
• El criterio de Eisenstein
• Cuerpo de Newton-Okounkov
• Politopo de Newton

Referencias

1. Para una demostración interesante basada en hipercampos, véase Matthew Baker, Oliver Lorscheid, (2021). Regla de signos de Descartes, polígonos de Newton y polinomios sobre hipercampos . Journal of Algebra, volumen 569, pág. 416-441.
2. Recordemos que en los anillos henselianos, cualquier valoración se extiende únicamente a cada extensión algebraica del cuerpo base. Por lo tanto, se extiende únicamente a . Pero es una extensión de para cada automorfismo de , por lo tanto ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle v_{L}\circ \sigma }$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v_{L}(\alpha ')=v_{L}\circ \sigma (\alpha )=v_{L}(\alpha ).}$
3. JWS Cassels, Campos locales, cap. 6, tema 3.1.
4. Egbert Brieskorn , Horst Knörrer (1986). Curvas algebraicas planas , págs. 370–383.

• Goss, David (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN 978-3-540-61087-8, Sr.  1423131
• Gouvêa, Fernando : Números p-ádicos: Una introducción. Springer Verlag 1993. pág. 199.

Enlaces externos

• Dibujo de un polígono de Newton con subprograma