En geometría algebraica , los cristales F son objetos introducidos por Mazur (1972) que capturan parte de la estructura de los grupos de cohomología cristalina . La letra F representa a Frobenius , lo que indica que los cristales F tienen una acción de Frobenius sobre ellos. Los isocristales F son cristales "hasta la isogenia".
Supóngase que k es un campo perfecto , con anillo de vectores de Witt W y sea K el campo cociente de W , con automorfismo de Frobenius σ.
Sobre el campo k , un F -cristal es un módulo libre M de rango finito sobre el anillo W de vectores de Witt de k , junto con un endomorfismo inyectivo σ-lineal de M . Un F -isocristal se define de la misma manera, excepto que M es un módulo para el campo cociente K de W en lugar de W .
El teorema de clasificación de Dieudonné-Manin fue demostrado por Dieudonné (1955) y Manin (1963). Describe la estructura de los isocristales F sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k . La categoría de dichos isocristales F es abeliana y semisimple, por lo que cada isocristal F es una suma directa de isocristales F simples . Los isocristales F simples son los módulos E s / r donde r y s son enteros coprimos con r >0. El isocristal F E s / r tiene una base sobre K de la forma v , Fv , F 2 v ,..., F r −1 v para algún elemento v , y F r v = p s v . El número racional s / r se llama pendiente del isocristal F .
Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado k, los F -isocristales simples son más difíciles de describir explícitamente, pero un F -isocristal todavía puede escribirse como una suma directa de subcristales que son isoclínicos, donde un F -cristal se llama isoclínico si sobre el cierre algebraico de k es una suma de F -isocristales de la misma pendiente.
El polígono de Newton de un isocristal F codifica las dimensiones de las piezas de pendiente dada. Si el isocristal F es una suma de piezas isoclínicas con pendientes s 1 < s 2 < ... y dimensiones (como módulos de anillo de Witt) d 1 , d 2 ,... entonces el polígono de Newton tiene vértices (0,0), ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ),... donde el n º segmento de línea que une los vértices tiene pendiente s n = ( y n − y n −1 )/( x n − x n −1 ) y proyección sobre el eje x de longitud d n = x n − x n −1 .
El polígono de Hodge de un cristal F M codifica la estructura de M / FM considerada como un módulo sobre el anillo de Witt. Más precisamente, dado que el anillo de Witt es un dominio ideal principal, el módulo M / FM puede escribirse como una suma directa de módulos indecomponibles de longitudes n 1 ≤ n 2 ≤ ... y el polígono de Hodge tiene entonces vértices (0,0), (1, n 1 ), (2, n 1 + n 2 ), ...
Mientras que el polígono de Newton de un cristal F depende únicamente del isocristal correspondiente, es posible que dos cristales F correspondientes al mismo isocristal F tengan diferentes polígonos de Hodge. El polígono de Hodge tiene aristas con pendientes enteras, mientras que el polígono de Newton tiene aristas con pendientes racionales.
Supóngase que A es un anillo de valoración discreto completo de característica 0 con cuerpo cociente k de característica p >0 y perfecto. Una ampliación afín de un esquema X 0 sobre k consiste en una A -álgebra B libre de torsión y un ideal I de B tal que B es completo en la topología I y la imagen de I es nilpotente en B / pB , junto con un morfismo de Spec( B / I ) a X 0 . Un isocristal convergente sobre un k -esquema X 0 consiste en un módulo sobre B ⊗ Q para cada ampliación afín B que es compatible con funciones entre ampliaciones afines (Faltings 1990).
Un isocristal F (abreviatura de isocristal de Frobenius) es un isocristal junto con un isomorfismo en su retroceso bajo un morfismo de Frobenius.