Método de expansiones asintóticas emparejadas

En matemáticas , el método de expansiones asintóticas emparejadas ^[1] es un enfoque común para encontrar una aproximación precisa a la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones . Se utiliza particularmente al resolver ecuaciones diferenciales singularmente perturbadas . Implica encontrar varias soluciones aproximadas diferentes, cada una de las cuales es válida (es decir, precisa) para parte del rango de la variable independiente, y luego combinar estas diferentes soluciones para dar una única solución aproximada que sea válida para todo el rango de valores de la variable independiente. En la literatura rusa, estos métodos se conocían con el nombre de "asintóticas intermedias" y se introdujeron en el trabajo de Yakov Zeldovich y Grigory Barenblatt .

Descripción general del método

En una gran clase de problemas singularmente perturbados, el dominio puede dividirse en dos o más subdominios. En uno de ellos, a menudo el más grande, la solución se aproxima con precisión mediante una serie asintótica ^[2] que se obtiene al tratar el problema como una perturbación regular (es decir, estableciendo un parámetro relativamente pequeño en cero). Los otros subdominios consisten en una o más regiones pequeñas en las que esa aproximación es inexacta, generalmente porque los términos de perturbación en el problema no son despreciables allí. Estas áreas se denominan capas de transición en general, y específicamente capas límite o capas interiores dependiendo de si se encuentran en el límite del dominio (como es el caso habitual en las aplicaciones) o dentro del dominio, respectivamente.

Se obtiene una aproximación en forma de serie asintótica en la(s) capa(s) de transición al tratar esa parte del dominio como un problema de perturbación independiente. Esta aproximación se denomina solución interna y la otra es la solución externa , llamada así por su relación con la(s) capa(s) de transición. Las soluciones externa e interna se combinan luego a través de un proceso llamado "emparejamiento" de tal manera que se obtiene una solución aproximada para todo el dominio. ^{[3] [4] [5] [6]}

Un ejemplo sencillo

Consideremos el problema del valor límite donde es una función de la variable de tiempo independiente , que varía de 0 a 1, las condiciones de límite son y , y es un parámetro pequeño, tal que . $${\displaystyle \varepsilon y''+(1+\varepsilon )y'+y=0,}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle y(1)=1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

Solución externa, válida paraa = Oh(1)

Como es muy pequeño, nuestro primer enfoque es tratar la ecuación como un problema de perturbación regular, es decir, hacer la aproximación y, por lo tanto, encontrar la solución al problema. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle y'+y=0.}$$

Alternativamente, considere que cuando y son ambos de tamaño O (1), los cuatro términos en el lado izquierdo de la ecuación original son respectivamente de tamaños , O (1) y O (1). El balance de orden principal en esta escala de tiempo, válido en el límite distinguido , está dado por lo tanto por el segundo y cuarto términos, es decir, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle y'+y=0.}$

Esto tiene solución para alguna constante . Aplicando la condición de contorno , tendríamos ; aplicando la condición de contorno , tendríamos . Por lo tanto, es imposible satisfacer ambas condiciones de contorno, por lo que no es una aproximación válida para realizar en todo el dominio (es decir, este es un problema de perturbación singular ). De esto inferimos que debe haber una capa límite en uno de los puntos finales del dominio donde debe incluirse . Esta región será donde ya no es despreciable en comparación con la variable independiente , es decir, y son de tamaño comparable, es decir, la capa límite es adyacente a . Por lo tanto, la otra condición de contorno se aplica en esta región exterior, por lo que , es decir, es una solución aproximada precisa al problema de valor límite original en esta región exterior. Es la solución de orden principal. $${\displaystyle y=Ae^{-t}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle y(1)=1}$ ${\displaystyle A=e}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(1)=1}$ ${\displaystyle A=e}$ ${\displaystyle y_{\mathrm {O} }=e^{1-t}}$

Solución interna, válida paraa = Oh(mi)

En la región interna, y son ambos pequeños, pero de tamaño comparable, por lo que se define la nueva variable de tiempo O (1) . Reescala el problema de valor límite original reemplazando con , y el problema se convierte en que, después de multiplicar por y tomar , es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \tau =t/\varepsilon }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau \varepsilon }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}y''(\tau )+\left({1+\varepsilon }\right){\frac {1}{\varepsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle y''+y'=0.}$$

Alternativamente, considere que cuando se ha reducido a tamaño , entonces todavía es de tamaño O (1) (usando la expresión para ), y por lo tanto los cuatro términos en el lado izquierdo de la ecuación original son respectivamente de tamaños , , O (1) y O (1). El balance de orden principal en esta escala de tiempo, válido en el límite distinguido , está dado por lo tanto por el primer y segundo término, es decir ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$ ${\displaystyle O(\varepsilon ^{-1})}$ ${\displaystyle O(\varepsilon ^{-1})}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle y''+y'=0.}$

Esto tiene solución para algunas constantes y . Dado que se aplica en esta región interna, esto da , por lo que una solución aproximada precisa para el problema de valor límite original en esta región interna (es la solución de orden principal) es $${\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle B=C}$ $${\displaystyle y_{\mathrm {I} }=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right).}$$

Pareo

Utilizamos el emparejamiento para encontrar el valor de la constante . La idea del emparejamiento es que las soluciones interna y externa deben coincidir para valores de en una región intermedia (o superpuesta), es decir, donde . Necesitamos que el límite externo de la solución interna coincida con el límite interno de la solución externa, es decir, que da . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon \ll t\ll 1}$ $${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },}$$ ${\displaystyle B=e}$

El problema anterior es el más simple de los problemas simples que tratan con expansiones asintóticas emparejadas. Se puede calcular inmediatamente que es la serie asintótica completa para la región externa, mientras que la corrección para la solución interna es y la constante de integración debe obtenerse a partir del emparejamiento interno-externo. ${\displaystyle e^{1-t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle y_{\mathrm {I} }}$ ${\textstyle B(1-e^{-t/\varepsilon })}$ ${\displaystyle B}$

Tenga en cuenta que la idea intuitiva de emparejar tomando los límites, es decir, no se aplica en este nivel. Esto se debe simplemente a que el término subrayado no converge a un límite. Los métodos a seguir en este tipo de casos son a) utilizar el método de una variable intermedia o b) utilizar la regla de emparejamiento de Van-Dyke. El primer método es engorroso y funciona siempre, mientras que la regla de emparejamiento de Van-Dyke es fácil de implementar, pero con una aplicabilidad limitada. A continuación se presenta un problema concreto de valor límite que tiene todos los ingredientes esenciales. ${\textstyle \lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },}$

Consideremos el problema del valor límite $${\displaystyle \varepsilon y''-x^{2}y'-y=1,\quad y(0)=y(1)=1}$$

La expansión exterior convencional da , donde debe obtenerse a partir de la correspondencia. ${\displaystyle y_{\mathrm {O} }=y_{0}+\varepsilon y_{1}+\cdots }$ ${\displaystyle y_{0}=\alpha e^{1/x}-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

El problema tiene capas límite tanto a la izquierda como a la derecha. La capa límite izquierda cerca tiene un espesor mientras que la capa límite derecha cerca tiene un espesor . Primero calculemos la solución en la capa límite izquierda reescalando , luego la ecuación diferencial a satisfacer en la izquierda es y, en consecuencia, asumimos una expansión . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle X=x/\varepsilon ^{1/2},\;Y=y}$ $${\displaystyle Y''-\varepsilon ^{1/2}X^{2}Y'-Y=1,\quad Y(0)=1}$$ ${\displaystyle Y^{l}=Y_{0}^{l}+\varepsilon ^{1/2}Y_{1/2}^{l}+\cdots }$

La condición no homogénea de la izquierda nos proporciona la razón para comenzar la expansión en . La solución de orden principal es . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle Y_{0}^{l}=2e^{-X}-1}$

Esto con la combinación de van-Dyke da . ${\displaystyle 1-1}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Calculemos ahora la solución en el reescalamiento correcto , entonces la ecuación diferencial a satisfacer a la derecha es y, en consecuencia, asumimos una expansión ${\displaystyle X=(1-x)/\varepsilon ,\;Y=y}$ $${\displaystyle Y''+\left(1-2\varepsilon X+\varepsilon ^{2}X^{2}\right)Y'-\varepsilon Y=\varepsilon ,\quad Y(1)=1,}$$ $${\displaystyle Y^{r}=Y_{0}^{r}+\varepsilon Y_{1}^{r}+\cdots .}$$

La condición no homogénea de la derecha nos proporciona la razón para comenzar la expansión en . La solución de orden principal es . Esto con el emparejamiento de van-Dyke da . Procediendo de manera similar, si calculamos las correcciones de orden superior, obtenemos las soluciones como ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle Y_{0}^{r}=(1-B)+Be^{-X}}$ ${\displaystyle 1-1}$ ${\displaystyle B=2}$ $${\displaystyle Y^{l}=2e^{-X}-1+\varepsilon ^{1/2}e^{-X}\left({\frac {X^{3}}{3}}+{\frac {X^{2}}{2}}+{\frac {X}{2}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),\quad X={\frac {x}{\varepsilon ^{1/2}}}.}$$ $${\displaystyle y\equiv -1.}$$ $${\displaystyle Y^{r}=2e^{-X}-1+2\varepsilon e^{-X}\left(X+X^{2}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\quad X={\frac {1-x}{\varepsilon }}.}$$

Solución compuesta

Para obtener nuestra solución final, combinada y válida en todo el dominio, un método popular es el método uniforme. En este método, sumamos las aproximaciones interna y externa y restamos su valor superpuesto, , que de otro modo se contaría dos veces. El valor superpuesto es el límite externo de la solución de la capa límite interna y el límite interno de la solución externa; se encontró anteriormente que estos límites son iguales a . Por lo tanto, la solución aproximada final para este problema de valor límite es, ${\displaystyle \,y_{\mathrm {overlap} }}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {I} }+y_{\mathrm {O} }-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}\right).}$$

Nótese que esta expresión se reduce correctamente a las expresiones para y cuando es y O (1), respectivamente. ${\displaystyle y_{\mathrm {I} }}$ ${\displaystyle y_{\mathrm {O} }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle O(\varepsilon )}$

Exactitud

Convergencia de aproximaciones. Se muestran aproximaciones y soluciones exactas, que son indistinguibles a esta escala, para varios . También se muestra la solución externa. Nótese que, dado que la capa límite se vuelve más estrecha a medida que disminuye , las aproximaciones convergen a la solución externa puntualmente , pero no de manera uniforme , casi en todas partes. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Esta solución final satisface la ecuación diferencial original del problema (mostrada al sustituirla y sus derivadas en la ecuación original). Además, las condiciones de contorno producidas por esta solución final coinciden con los valores dados en el problema, hasta un múltiplo constante. Esto implica, debido a la unicidad de la solución, que la solución asintótica coincidente es idéntica a la solución exacta hasta un múltiplo constante. Esto no es necesariamente siempre el caso, cualquier término restante debe tender a cero de manera uniforme como . ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

Nuestra solución no sólo resuelve aproximadamente el problema en cuestión, sino que se aproxima bastante a la solución exacta del problema. Sucede que es fácil encontrar que este problema en particular tiene una solución exacta que tiene la misma forma que la solución aproximada, mediante la constante multiplicadora. La solución aproximada es el primer término en una expansión binomial de la solución exacta en potencias de . $${\displaystyle y(t)={\frac {e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}{e^{-1}-e^{-1/\varepsilon }}},}$$ ${\displaystyle e^{1-1/\varepsilon }}$

Ubicación de la capa límite

Convenientemente, podemos ver que la capa límite, donde y son grandes, está cerca de , como supusimos anteriormente. Si hubiéramos supuesto que estaba en el otro punto final y procedimos a realizar el reescalado , habríamos encontrado imposible satisfacer la condición de coincidencia resultante. Para muchos problemas, este tipo de prueba y error es la única forma de determinar la ubicación real de la capa límite. ^[3] ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y''}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \tau =(1-t)/\varepsilon }$

Problemas más difíciles

El problema anterior es un ejemplo sencillo porque se trata de una única ecuación con una sola variable dependiente y hay una capa límite en la solución. Los problemas más difíciles pueden contener varias variables codependientes en un sistema de varias ecuaciones y/o con varias capas límite y/o interiores en la solución.

A menudo es deseable encontrar más términos en las expansiones asintóticas de las soluciones internas y externas. La forma apropiada de estas expansiones no siempre es clara: mientras que una expansión en serie de potencias en puede funcionar, a veces la forma apropiada involucra potencias fraccionarias de , funciones como , etcétera. Como en el ejemplo anterior, obtendremos expansiones internas y externas con algunos coeficientes que deben determinarse mediante emparejamiento. ^[7] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \log \varepsilon }$

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales de segundo orden similares a las de Schrödinger

Dingle y Müller-Kirsten han desarrollado y utilizado ampliamente un método de expansiones asintóticas emparejadas -con emparejamiento de soluciones en el dominio común de validez- para la derivación de expansiones asintóticas de las soluciones y números característicos (límites de banda) de ecuaciones diferenciales de segundo orden de tipo Schrödinger con potenciales periódicos -en particular para la ecuación de Mathieu ^[8] (mejor ejemplo), ecuaciones de onda de Lamé y elipsoidales ^[9] , ecuaciones de onda esferoidales oblatas ^[10] y prolatas ^[11] , y ecuaciones con potenciales anarmónicos. ^[12]

Ecuaciones de convección-difusión

Se han desarrollado métodos de expansiones asintóticas emparejadas para encontrar soluciones aproximadas a la ecuación de convección-difusión de Smoluchowski , que es una ecuación diferencial de segundo orden singularmente perturbada. El problema se ha estudiado particularmente en el contexto de partículas coloidales en campos de flujo lineal, donde la variable está dada por la función de distribución de pares alrededor de una partícula de prueba. En el límite del número de Péclet bajo, la ecuación de convección-difusión también presenta una singularidad a distancia infinita (donde normalmente debería colocarse la condición de contorno de campo lejano) debido a que el campo de flujo es lineal en la separación entre partículas. Este problema se puede evitar con una transformada de Fourier espacial como lo muestra Jan Dhont. ^[13] Alessio Zaccone y colaboradores desarrollaron un enfoque diferente para resolver este problema y consiste en colocar la condición de contorno justo en la distancia de la capa límite, al asumir (en una aproximación de primer orden) un valor constante de la función de distribución de pares en la capa externa debido a que la convección es dominante allí. Esto conduce a una teoría aproximada para la tasa de encuentro de dos partículas coloidales interactuantes en un campo de flujo lineal en buen acuerdo con la solución numérica completa. ^[14] Cuando el número de Péclet es significativamente mayor que uno, la singularidad en la separación infinita ya no ocurre y el método de asintóticas emparejadas se puede aplicar para construir la solución completa para la función de distribución de pares en todo el dominio. ^{[15] [16]}

Véase también

• Análisis asintótico
• Análisis de múltiples escalas
• Asintótica de energía de activación

Referencias

1. O'Malley, Robert E. (2014), O'Malley, Robert E. (ed.), "El método de expansiones asintóticas emparejadas y sus generalizaciones", Desarrollos históricos en perturbaciones singulares , Cham: Springer International Publishing, págs. 53-121, doi :10.1007/978-3-319-11924-3_3, ISBN 978-3-319-11924-3, consultado el 4 de mayo de 2023
2. RB Dingle (1973), Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación , Academic Press .
3. Verhulst, F. (2005). Métodos y aplicaciones de perturbaciones singulares: capas límite y dinámicas de múltiples escalas temporales . Springer. ISBN 0-387-22966-3.
4. Nayfeh, AH (2000). Métodos de perturbación . Biblioteca Wiley Classics. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-39917-9.
5. Kevorkian, J.; Cole, JD (1996). Métodos de perturbación singular y de escala múltiple . Springer. ISBN 0-387-94202-5.
6. Bender, CM; Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer. ISBN 978-0-387-98931-0.
7. Hinch, John (1991). Métodos de perturbación . Cambridge University Press .
8. RB Dingle y HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 11-32 y 216 (1964) 123-133; HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 179-190.
9. HJW Müller, Mathematische Nachrichten 31 (1966) 89-101, 32 (1966) 49-62, 32 (1966) 157-172.
10. HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 211 (1962) 33-47.
11. HJW Müller, J. reine angew. Matemáticas. 212 (1963) 26-48.
12. HJW Müller-Kirsten (2012), Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed., World Scientific , ISBN 978-9814397742 . Capítulo 18 sobre potenciales anarmónicos. 
13. Introducción a la dinámica de los coloides por JKG Dhont, enlace a libros de Google
14. Zaccone, A.; Gentili, D.; Wu, H.; Morbidelli, M. (2009). "Teoría de los procesos de velocidad activada bajo cizallamiento con aplicación a la agregación inducida por cizallamiento de coloides". Physical Review E . 80 (5): 051404. arXiv : 0906.4879 . Bibcode :2009PhRvE..80e1404Z. doi :10.1103/PhysRevE.80.051404. hdl : 2434/653702 . PMID  20364982. S2CID  22763509.
15. Banetta, L.; Zaccone, A. (2019). "Función de distribución radial de fluidos de Lennard-Jones en flujos de cizallamiento de asintóticos intermedios". Physical Review E . 99 (5): 052606. arXiv : 1901.05175 . Bibcode :2019PhRvE..99e2606B. doi :10.1103/PhysRevE.99.052606. PMID  31212460. S2CID  119011235.
16. Banetta, L.; Zaccone, A. (2020). "Función de correlación de pares de sistemas coloidales con carga estabilizada en condiciones de cizallamiento". Colloid and Polymer Science . 298 (7): 761–771. arXiv : 2006.00246 . doi : 10.1007/s00396-020-04609-4 .