Función de distribución de pares

Describe la distribución de distancias entre pares de partículas contenidas dentro de un volumen dado.

La función de distribución de pares describe la distribución de distancias entre pares de partículas contenidas dentro de un volumen dado. ^[1] Matemáticamente, si a y b son dos partículas, la función de distribución de pares de b con respecto a a , denotada por es la probabilidad de encontrar la partícula b a una distancia de a , con a tomado como el origen de coordenadas. ${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Descripción general

La función de distribución de pares se utiliza para describir la distribución de objetos dentro de un medio (por ejemplo, naranjas en una caja o moléculas de nitrógeno en un cilindro de gas). Si el medio es homogéneo (es decir, cada ubicación espacial tiene propiedades idénticas), entonces existe una densidad de probabilidad igual para encontrar un objeto en cualquier posición : ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$,

donde es el volumen del recipiente. Por otra parte, la probabilidad de encontrar pares de objetos en posiciones dadas (es decir, la densidad de probabilidad de dos cuerpos) no es uniforme. Por ejemplo, los pares de bolas duras deben estar separados por al menos el diámetro de una bola. La función de distribución de pares se obtiene escalando la función de densidad de probabilidad de dos cuerpos por el número total de objetos y el tamaño del recipiente: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

En el caso común donde el número de objetos en el contenedor es grande, esto se simplifica para dar:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\approx p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$.

Modelos simples y propiedades generales

La función de distribución de pares más simple posible supone que todas las ubicaciones de los objetos son mutuamente independientes, lo que da:

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$,

donde es la separación entre un par de objetos. Sin embargo, esto es inexacto en el caso de objetos duros como los que se analizaron anteriormente, porque no tiene en cuenta la separación mínima requerida entre objetos. La aproximación de corrección de agujeros (HC) proporciona un modelo mejor: ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

¿Dónde está el diámetro de uno de los objetos? ${\displaystyle b}$

Aunque la aproximación HC proporciona una descripción razonable de objetos escasamente empaquetados, no funciona en el caso de un empaquetamiento denso. Esto se puede ilustrar considerando una caja completamente llena de bolas duras idénticas, de modo que cada bola toca a sus vecinas. En este caso, cada par de bolas en la caja está separado por una distancia de exactamente donde es un número entero positivo. La distribución de pares para un volumen completamente lleno de esferas duras es, por lo tanto, un conjunto de funciones delta de Dirac de la forma: ${\displaystyle r=nb}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

Por último, cabe señalar que un par de objetos que están separados por una gran distancia no tienen influencia en la posición del otro (siempre que el recipiente no esté completamente lleno). Por lo tanto,

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

En general, una función de distribución de pares adoptará una forma intermedia entre los modelos escasamente empaquetados (aproximación HC) y densamente empaquetados (función delta), dependiendo de la densidad de empaquetamiento . ${\displaystyle f}$

Función de distribución radial

De especial importancia práctica es la función de distribución radial , que es independiente de la orientación. Es un descriptor importante de la estructura atómica de materiales amorfos (vidrios, polímeros) y líquidos. La función de distribución radial se puede calcular directamente a partir de mediciones físicas como la dispersión de la luz o la difracción de rayos X en polvo mediante la realización de una transformada de Fourier .

En Mecánica Estadística la PDF está dada por la expresión

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

Aplicaciones

Función de distribución de pares de películas delgadas

Cuando las películas delgadas están desordenadas, como en los dispositivos electrónicos, se utiliza la distribución de pares para ver la tensión y las propiedades estructurales de ese material o composición. Tienen estas propiedades que no se pueden explotar en la forma cristalina o en masa. Existe un método con la distribución radial que puede ver la estructura local de una película delgada desordenada de . Pero los creadores de este método señalaron la necesidad de un método mejor para ver el orden de rango medio de las películas desordenadas. La creación de la función de distribución de pares de película delgada (tfPDF) utiliza una distribución estadística del orden de rango medio de un material que permite ver detalles importantes como el desorden. En esta técnica, los datos 2D de un método de dispersión se integran y se transforman en Fourier en datos 1D que muestran la probabilidad de enlaces en ese material. TfPDF funciona mejor cuando se combina con otros métodos de caracterización como la microscopía electrónica de transmisión. Aunque es una metodología en desarrollo, tfPDF puede brindar relaciones completas entre estructura y propiedad a través de una técnica de caracterización confiable. ${\displaystyle {\ce {GeSe2}}}$

Véase también

• método de cadena hiperredada de mapa clásico

Referencias

Fischer-Colbrie, Bienenstock, Fuoss, Marcus. Física. Rev. B (1988) 38, 12388

Jensen, KM y Billinge, SJ (2015). IUCrJ, 2(5), 481-489.

1. "Análisis de la función de distribución de pares (PDF)" . Consultado el 26 de octubre de 2018 .