Análisis de múltiples escalas

En matemáticas y física , el análisis de múltiples escalas (también llamado método de múltiples escalas ) comprende técnicas utilizadas para construir aproximaciones uniformemente válidas a las soluciones de problemas de perturbación , tanto para valores pequeños como grandes de las variables independientes . Esto se hace introduciendo variables de escala rápida y escala lenta para una variable independiente, y posteriormente tratando estas variables, rápida y lenta, como si fueran independientes. En el proceso de solución del problema de perturbación posterior, la libertad adicional resultante, introducida por las nuevas variables independientes, se utiliza para eliminar términos seculares (no deseados) . Esto último impone restricciones a la solución aproximada, que se denominan condiciones de solubilidad .

La investigación matemática de alrededor de la década de 1980 propone que las transformadas de coordenadas y las variedades invariantes proporcionan un soporte más sólido para el modelado multiescala (por ejemplo, ver variedad central y variedad lenta ).

Ejemplo: ecuación de Duffing no amortiguada

Aquí se pueden ver las diferencias entre los enfoques tanto para la teoría de perturbación regular como para el análisis de múltiples escalas, y cómo se comparan con la solución exacta para ${\textstyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{4}}}$

Ecuación diferencial y conservación de la energía

Como ejemplo del método de análisis de múltiples escalas, considere la ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada : ^{[1] que es una} ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe un oscilador no lineal . Se busca una solución y ( t ) para valores pequeños del parámetro de no linealidad (positivo) 0 <  ε  ≪ 1. Se sabe que la ecuación de Duffing no amortiguada es un sistema hamiltoniano : con q  =  y ( t ) y p  =  dy / dt . En consecuencia, el hamiltoniano H ( p ,  q ) es una cantidad conservada, una constante, igual a H  =  ⁠ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}$$ $${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$$1/2⁠  +  ⁠1/4ε  para las condiciones iniciales dadas . Esto implica que tanto y como dy / dt deben estar acotados : $${\displaystyle \left|y(t)\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left|{\frac {dy}{dt}}\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.}$$

Solución sencilla de series de perturbaciones

Un enfoque regular de series de perturbaciones para el problema se realiza escribiendo y sustituyendo esto en la ecuación de Duffing no amortiguada. Al hacer coincidir las potencias de se obtiene el sistema de ecuaciones ${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$ ${\textstyle \varepsilon }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}$$

Resolviendo estos sujetos a las condiciones iniciales se obtiene $${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

Obsérvese que el último término entre corchetes es secular: crece sin límite para valores grandes de | t |. En particular, para este término es O (1) y tiene el mismo orden de magnitud que el término de orden principal. Debido a que los términos se han desordenado, la serie ya no es una expansión asintótica de la solución. ${\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}$

Método de escalas múltiples

Para construir una solución válida más allá de , se utiliza el método de análisis de múltiples escalas . Introduzca la escala lenta t ₁ : y suponga que la solución y ( t ) es una solución de serie de perturbaciones que depende tanto de t como de t ₁ , tratada como: ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}$ $${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}$$ $${\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$$

Entonces: usando dt ₁ / dt  =  ε . De manera similar: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

Entonces, los problemas de orden cero y primer orden de la serie de perturbaciones de múltiples escalas para la ecuación de Duffing se convierten en: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}$$

Solución

El problema de orden cero tiene la solución general: con A ( t ₁ ) una amplitud de valor complejo para la solución de orden cero Y ₀ ( t ,  t ₁ ) e i ²  = −1. Ahora bien, en el problema de primer orden el forzamiento en el lado derecho de la ecuación diferencial es donde cc denota el conjugado complejo de los términos precedentes. La aparición de términos seculares se puede prevenir imponiendo a la amplitud A ( t ₁ ), aún desconocida, la condición de solubilidad $${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}$$ $${\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}$$ $${\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}$$

La solución de la condición de solubilidad, que también satisface las condiciones iniciales y (0) = 1 y dy / dt (0) = 0 , es: $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}$$

Como resultado, la solución aproximada mediante el análisis de múltiples escalas utiliza t ₁ = εt y ​​es válida para εt = O(1) . Esto concuerda con los cambios de frecuencia no lineales encontrados mediante el método de Lindstedt–Poincaré . $${\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$

Esta nueva solución es válida hasta . Las soluciones de orden superior –que utilizan el método de escalas múltiples– requieren la introducción de escalas lentas adicionales, es decir, t ₂ = ε ² t , t ₃ = ε ³ t , etc. Sin embargo, esto introduce posibles ambigüedades en la solución de la serie de perturbaciones, que requieren un tratamiento cuidadoso (véase Kevorkian y Cole 1996; Bender y Orszag 1999). ^[2] ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$

Transformación de coordenadas a variables de amplitud/fase

Alternativamente, los enfoques modernos derivan este tipo de modelos utilizando transformaciones de coordenadas, como en el método de formas normales , ^[3] como se describe a continuación.

Se busca una solución en nuevas coordenadas donde la amplitud varía lentamente y la fase varía a una tasa casi constante, es decir, el álgebra sencilla encuentra la transformación de coordenadas ^{[ cita requerida ]} transforma la ecuación de Duffing en el par en que el radio es constante y la fase evoluciona de acuerdo con ${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}$ $${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$$ ${\displaystyle dr/dt=0}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}$$

Es decir, las oscilaciones de Duffing son de amplitud constante pero tienen frecuencias diferentes dependiendo de la amplitud. ^[4] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d\theta /dt}$

Los ejemplos más difíciles se tratan mejor utilizando una transformación de coordenadas dependiente del tiempo que involucra exponenciales complejos (como también se invocó en el enfoque de múltiples escalas de tiempo anterior). Un servicio web realizará el análisis para una amplia gama de ejemplos. ^{[ ¿cuándo? ] [5]}

Véase también

• Método de expansiones asintóticas emparejadas
• Aproximación WKB
• Método de promediar
• Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

Notas

1. Este ejemplo se trata en: Bender & Orszag (1999) pp. 545–551.
2. Bender y Orszag (1999) pág. 551.
3. Lamarque, C.-H.; Touze, C.; Thomas, O. (2012), "Un límite superior para los límites de validez de los enfoques analíticos asintóticos basados ​​en la teoría de la forma normal" (PDF) , Nonlinear Dynamics , 70 (3): 1931–1949, doi :10.1007/s11071-012-0584-y, hdl :10985/7473, S2CID  254862552
4. Roberts, AJ, Modelado de dinámicas emergentes en sistemas complejos , consultado el 3 de octubre de 2013
5. Roberts, AJ, Construcción de variedades centrales de ecuaciones diferenciales ordinarias o de retardo (autónomas) , consultado el 3 de octubre de 2013

Referencias

• Kevorkian, J.; Cole, JD (1996), Métodos de perturbación singular y de escala múltiple , Springer, ISBN 978-0-387-94202-5
• Bender, CM ; Orszag, SA (1999), Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros , Springer, págs. 544–568, ISBN 978-0-387-98931-0
• Nayfeh, AH (2004), Métodos de perturbación , Wiley–VCH Verlag, ISBN 978-0-471-39917-9

Enlaces externos

• Carson C. Chow (ed.). "Análisis de múltiples escalas". Scholarpedia .