sistema hamiltoniano

Sistema dinámico regido por las ecuaciones de Hamilton.

Un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico regido por las ecuaciones de Hamilton . En física , este sistema dinámico describe la evolución de un sistema físico como un sistema planetario o un electrón en un campo electromagnético . Estos sistemas se pueden estudiar tanto en la mecánica hamiltoniana como en la teoría de sistemas dinámicos .

Descripción general

Informalmente, un sistema hamiltoniano es un formalismo matemático desarrollado por Hamilton para describir las ecuaciones de evolución de un sistema físico. La ventaja de esta descripción es que brinda importantes conocimientos sobre la dinámica, incluso si el problema del valor inicial no puede resolverse analíticamente. Un ejemplo es el movimiento planetario de tres cuerpos : si bien no existe una solución cerrada para el problema general, Poincaré demostró por primera vez que exhibe un caos determinista .

Formalmente, un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico caracterizado por la función escalar , también conocida como hamiltoniano. ^[1] El estado del sistema, , se describe mediante las coordenadas generalizadas y , correspondientes al impulso generalizado y la posición, respectivamente. Ambos y son vectores de valor real con la misma dimensión  N . Por lo tanto, el estado está completamente descrito por el vector de 2 N dimensiones ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

y las ecuaciones de evolución están dadas por las ecuaciones de Hamilton :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}$

La trayectoria es la solución del problema de valor inicial definido por las ecuaciones de Hamilton y la condición inicial . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

Sistemas hamiltonianos independientes del tiempo

Si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, si , entonces el hamiltoniano no varía en absoluto con el tiempo: ^[1] ${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

y por tanto el hamiltoniano es una constante de movimiento , cuya constante es igual a la energía total del sistema: . Ejemplos de tales sistemas son el péndulo no amortiguado , el oscilador armónico y el billar dinámico . ${\displaystyle H=E}$

Ejemplo

Un ejemplo de sistema hamiltoniano independiente del tiempo es el oscilador armónico. Considere el sistema definido por las coordenadas y . Entonces el hamiltoniano está dado por ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}$

El hamiltoniano de este sistema no depende del tiempo y por tanto se conserva la energía del sistema.

estructura simpléctica

Una propiedad importante de un sistema dinámico hamiltoniano es que tiene una estructura simpléctica . ^[1] Escritura

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}$

la ecuación de evolución del sistema dinámico se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

dónde

${\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

y I _N es la matriz identidad N × N.

Una consecuencia importante de esta propiedad es que se conserva un volumen de espacio de fase infinitesimal. ^[1] Un corolario de esto es el teorema de Liouville , que establece que en un sistema hamiltoniano, el volumen del espacio de fases de una superficie cerrada se conserva en la evolución temporal. ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}$

donde la tercera igualdad proviene del teorema de la divergencia .

Caos hamiltoniano

Ciertos sistemas hamiltonianos exhiben un comportamiento caótico . Cuando la evolución de un sistema hamiltoniano es muy sensible a las condiciones iniciales y el movimiento parece aleatorio y errático, se dice que el sistema exhibe caos hamiltoniano.

Orígenes

El concepto de caos en los sistemas hamiltonianos tiene sus raíces en los trabajos de Henri Poincaré , quien a finales del siglo XIX hizo contribuciones pioneras a la comprensión del problema de los tres cuerpos en la mecánica celeste . Poincaré demostró que incluso un sistema gravitacional simple de tres cuerpos podría exhibir un comportamiento complejo que no podía predecirse a largo plazo. Su trabajo se considera una de las primeras exploraciones del comportamiento caótico en los sistemas físicos . ^[2]

Características

El caos hamiltoniano se caracteriza por las siguientes características: ^[1]

Sensibilidad a las condiciones iniciales : un sello distintivo de los sistemas caóticos, pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden conducir a trayectorias muy diferentes. Esto se conoce como efecto mariposa. ^[3]

Mezclado : con el tiempo, las fases del sistema se distribuyen uniformemente en el espacio de fases. ^[4]

Recurrencia : aunque es impredecible, el sistema eventualmente vuelve a visitar estados que están arbitrariamente cerca de su estado inicial, lo que se conoce como recurrencia de Poincaré .

El caos hamiltoniano también está asociado con la presencia de invariantes caóticas como el exponente de Lyapunov y la entropía de Kolmogorov-Sinai , que cuantifican la velocidad a la que divergen las trayectorias cercanas y la complejidad del sistema, respectivamente. ^[1]

Aplicaciones

El caos hamiltoniano prevalece en muchas áreas de la física, particularmente en la mecánica clásica y la mecánica estadística. Por ejemplo, en física del plasma , el comportamiento de partículas cargadas en un campo magnético puede exhibir un caos hamiltoniano, lo que tiene implicaciones para la fusión nuclear y los plasmas astrofísicos . Además, en mecánica cuántica , el caos hamiltoniano se estudia a través del caos cuántico , que busca comprender los análogos cuánticos del comportamiento caótico clásico. El caos hamiltoniano también juega un papel en astrofísica , donde se utiliza para estudiar la dinámica de los cúmulos estelares y la estabilidad de las estructuras galácticas . ^[5]

Ejemplos

• Billar dinámico
• Sistemas planetarios , más concretamente, el problema de los n-cuerpos .
• Relatividad general canónica

Ver también

• Coordenadas del ángulo de acción
• teorema de liouville
• Sistema integrable
• variedad simpléctica
• Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

• Teorema de recurrencia de Poincaré
• Exponente de Lyapunov
• problema de tres cuerpos
• Teoría ergódica

Referencias

1. Ott, Edward (1994). Caos en sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge.
2. Poincaré, Henri. "Nuevos métodos de mecánica celeste". (1892)
3. Lorenz, Edward N. (1 de marzo de 1963). "Flujo no periódico determinista". Revista de Ciencias Atmosféricas . 20 (2): 130-141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN  0022-4928.
4. Kornfel'd, Isaak P.; Fomin, Sergej V.; Sinaj, Jakov G. (1982). Teoría ergódica . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Una serie de estudios integrales en matemáticas. Nueva York, NY Heidelberg Berlín: Springer. ISBN 978-1-4615-6929-9.
5. Regev, Oded (2009), Meyers, Robert A. (ed.), "Astrofísica, Caos y Complejidad en", Enciclopedia de Complejidad y Ciencia de Sistemas , Nueva York, NY: Springer, págs. 381–399, doi :10.1007 /978-0-387-30440-3_26, ISBN 978-0-387-30440-3, recuperado el 25 de junio de 2023

Otras lecturas

• Almeida, AM (1992). Sistemas hamiltonianos: caos y cuantificación . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge (ua: Cambridge Univ. Press )
• Audin, M., (2008). Sistemas hamiltonianos y su integrabilidad . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4413-7 
• Dickey, Luisiana (2003). Ecuaciones de Solitón y sistemas hamiltonianos . Serie avanzada en física matemática, v. 26. River Edge, Nueva Jersey: World Scientific .
• Treschev, D. y Zubelevich, O. (2010). Introducción a la teoría de la perturbación de los sistemas hamiltonianos . Heidelberg: Springer
• Zaslavsky, GM (2007). La física del caos en los sistemas hamiltonianos . Londres: Imperial College Press .

enlaces externos

• James Meiss (ed.). "Sistemas hamiltonianos". Scholarpedia .