Gravedad cuántica canónica

Una formulación de la relatividad general.

En física , la gravedad cuántica canónica es un intento de cuantificar la formulación canónica de la relatividad general (o gravedad canónica ). Es una formulación hamiltoniana de la teoría general de la relatividad de Einstein . La teoría básica fue esbozada por Bryce DeWitt ^[1] en un artículo fundamental de 1967, y se basó en trabajos anteriores de Peter G. Bergmann ^[2] utilizando las llamadas técnicas de cuantificación canónica para sistemas hamiltonianos restringidos inventadas por Paul Dirac . ^[3] El enfoque de Dirac permite la cuantificación de sistemas que incluyen simetrías de calibre utilizando técnicas hamiltonianas en una elección de calibre fijo . Los enfoques más nuevos basados ​​en parte en el trabajo de DeWitt y Dirac incluyen el estado de Hartle-Hawking , el cálculo de Regge , la ecuación de Wheeler-DeWitt y la gravedad cuántica de bucles .

Cuantización canónica

En la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica ordinaria, el corchete de Poisson es un concepto importante. Un "sistema de coordenadas canónico" consta de variables canónicas de posición y momento que satisfacen las relaciones canónicas entre corchetes de Poisson,

$${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$$

$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

ecuaciones de Hamilton ${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$ ${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$

$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$$

Estas ecuaciones describen un "flujo" u órbita en el espacio de fases generado por el hamiltoniano . Dada cualquier función del espacio de fase , tenemos ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F(q,p)}$

$${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$$

En la cuantificación canónica, las variables del espacio de fase se promueven a operadores cuánticos en un espacio de Hilbert y el corchete de Poisson entre las variables del espacio de fase se reemplaza por la relación de conmutación canónica:

$${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

En la llamada representación de posición, esta relación de conmutación se realiza mediante la elección:

$${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$$

La dinámica se describe mediante la ecuación de Schrödinger:

$${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$$

hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H(q,p)}$ ${\displaystyle q\mapsto q}$ ${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$

Cuantización canónica con restricciones.

La relatividad general clásica canónica es un ejemplo de una teoría totalmente restringida. En las teorías restringidas existen diferentes tipos de espacio de fase: el espacio de fase no restringido (también llamado cinemático) en el que se definen las funciones de restricción y el espacio de fase reducido en el que las restricciones ya han sido resueltas. Para la cuantificación canónica en términos generales, el espacio de fase se reemplaza por un espacio de Hilbert apropiado y las variables del espacio de fase deben promoverse a operadores cuánticos.

En el enfoque de Dirac para la cuantificación, el espacio de fase no restringido se reemplaza por el llamado espacio cinemático de Hilbert y las funciones de restricción se reemplazan por operadores de restricción implementados en el espacio cinemático de Hilbert; Luego se buscan soluciones. Estas ecuaciones de restricción cuántica son las ecuaciones centrales de la relatividad general cuántica canónica, al menos en el enfoque de Dirac, que es el enfoque habitualmente adoptado.

En teorías con restricciones también existe la cuantificación del espacio de fase reducido donde las restricciones se resuelven en el nivel clásico y las variables del espacio de fase reducido luego se promueven a operadores cuánticos; sin embargo, este enfoque se pensaba que era imposible en la relatividad general como parecía equivalente a encontrar una solución general a las ecuaciones de campo clásicas. Sin embargo, con el desarrollo bastante reciente de un esquema de aproximación sistemática para calcular observables de la relatividad general (por primera vez) por parte de Bianca Dittrich, basado en ideas introducidas por Carlo Rovelli, se ha desarrollado un esquema viable para una cuantificación de la gravedad en el espacio de fase reducido. por Thomas Thiemann. Sin embargo, no es completamente equivalente a la cuantización de Dirac ya que las "variables de reloj" deben considerarse clásicas en la cuantización de espacio de fase reducido, a diferencia del caso de la cuantización de Dirac.

Un malentendido común es que las transformaciones de coordenadas son las simetrías de calibre de la relatividad general, cuando en realidad las verdaderas simetrías de calibre son difeomorfismos definidos por un matemático (ver el argumento de Hole ), que son mucho más radicales. Las restricciones de primera clase de la relatividad general son la restricción del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (también conocida como ecuación de Wheeler-De Witt) e imprimen la invariancia del difeomorfismo espacial y temporal de la teoría, respectivamente. La imposición clásica de estas restricciones son básicamente condiciones de admisibilidad de los datos iniciales, y también generan las ecuaciones de 'evolución' (en realidad, transformaciones de calibre) a través del corchete de Poisson. Es importante destacar que el álgebra de corchetes de Poisson entre las restricciones determina completamente la teoría clásica; esto es algo que debe reproducirse de alguna manera en el límite semiclásico de la gravedad cuántica canónica para que sea una teoría viable de la gravedad cuántica.

En el enfoque de Dirac resulta que las restricciones cuánticas de primera clase impuestas a una función de onda también generan transformaciones de calibre. Así, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las restricciones (equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad de los datos iniciales) y buscar las órbitas de calibre (resolver las ecuaciones de "evolución") se reemplaza por un proceso de un solo paso en la teoría cuántica. , concretamente buscando soluciones de las ecuaciones cuánticas . Esto se debe a que obviamente resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que sean invariantes de calibre porque es el generador cuántico de transformaciones de calibre. En el nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución equivalen a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, lo que subraya el papel central de las ecuaciones de restricción cuántica en el enfoque de Dirac sobre la gravedad cuántica canónica. ${\displaystyle C_{I}=0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

Cuantización canónica, invariancia de difeomorfismo y finitud manifiesta

Se puede considerar que un difeomorfismo "arrastra" simultáneamente los campos métrico (campo gravitacional) y de materia sobre la variedad desnuda mientras permanece en el mismo sistema de coordenadas, por lo que es más radical que la invariancia bajo una mera transformación de coordenadas. Esta simetría surge del requisito sutil de que las leyes de la relatividad general no pueden depender de ninguna geometría espacio-temporal dada a priori.

Esta invariancia del difeomorfismo tiene una implicación importante: la gravedad cuántica canónica será manifiestamente finita ya que la capacidad de "arrastrar" la función métrica sobre la variedad desnuda significa que las "distancias" pequeñas y grandes entre puntos de coordenadas definidos abstractamente son equivalentes al calibre. Lee Smolin ha proporcionado un argumento más riguroso:

“Un operador independiente de fondo siempre debe ser finito. Esto se debe a que la escala reguladora y la métrica de fondo siempre se introducen juntas en el procedimiento de regularización. Esto es necesario, porque la escala a la que se refiere el parámetro de regularización debe describirse en términos de una métrica de fondo o cuadro de coordenadas introducido en la construcción del operador regulado. Debido a esto, la dependencia del operador regulado del límite, o parámetro regulador, está relacionada con su dependencia de la métrica de fondo. Cuando uno toma el límite del parámetro regulador y va a cero, se aíslan los términos que no desaparecen. Si estos dependen del parámetro del regulador (que sería el caso si el término explota), entonces también deben depender de la métrica de fondo. Por el contrario, si los términos que no desaparecen en el límite en el que se elimina el regulador no dependen de la métrica de fondo, deben ser finitos”.

De hecho, como se menciona más adelante, Thomas Thiemann ha demostrado explícitamente que la gravedad cuántica de bucles (una versión bien desarrollada de la gravedad cuántica canónica) es manifiestamente finita incluso en presencia de todas las formas de materia. ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto, no hay necesidad de renormalización y eliminación de infinitos. Sin embargo, en otro trabajo, Thomas Thiemann admitió la necesidad de una renormalización como forma de solucionar las ambigüedades de la cuantificación. ^[1]

En la gravedad cuántica perturbativa (de la que se originan los argumentos de no renormalización), como en cualquier esquema perturbativo, se hace la suposición razonable de que el espacio-tiempo a grandes escalas debería aproximarse bien al espacio plano; Si se dispersan gravitones sobre este fondo aproximadamente plano, se descubre que su amplitud de dispersión tiene divergencias que no se pueden absorber en la redefinición de la constante de Newton. Los teóricos canónicos de la gravedad cuántica no aceptan este argumento; sin embargo, hasta ahora no han proporcionado un cálculo alternativo de la amplitud de dispersión del gravitón que pueda usarse para comprender qué sucede con los términos que no se encuentran renormalizables en el tratamiento perturbativo. Una expectativa arraigada desde hace mucho tiempo es que en una teoría de la geometría cuántica como la gravedad cuántica canónica, cantidades geométricas como el área y el volumen se vuelven observables cuánticos y toman valores discretos distintos de cero, proporcionando un regulador natural que elimina los infinitos de la teoría, incluidos los que vienen. de aportes de materia. Esta "cuantización" de observables geométricos se realiza de hecho en la gravedad cuántica de bucles (LQG).

Cuantización canónica en variables métricas.

La cuantificación se basa en descomponer el tensor métrico de la siguiente manera,

$${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$$

donde está implícitafunción de lapsofunciones de cambio.delta de Kroneckerlagrangiano de Einstein-Hilbertlas derivadas totales ${\displaystyle \tau =x^{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$ ${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$ ${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$$

curvatura escalarmétrica de Riemanncurvatura extrínseca ${\displaystyle {}^{(3)}R}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle K_{ij}}$

$${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$$

diferenciación covariantela covarianza general ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$

Dado que la función de lapso y las funciones de cambio pueden eliminarse mediante una transformación de calibre , no representan grados físicos de libertad. Esto se indica al pasar al formalismo hamiltoniano por el hecho de que sus momentos conjugados, respectivamente y , desaparecen de manera idéntica ( dentro y fuera de la capa ). Dirac las llama restricciones primarias . Una opción popular de calibre, llamado calibre síncrono , es y , aunque, en principio, pueden elegirse para que sean cualquier función de las coordenadas. En este caso, el hamiltoniano toma la forma ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{i}}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle \beta _{i}=0}$

$${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$$

los corchetes de Poissonrestricciones secundarias ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$

Se puede demostrar que se pueden obtener seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución del tiempo (en realidad una transformación de calibre) calculando los corchetes de Poisson de la tres métrica y su impulso conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, dando lugar al espacio de fase física, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein. Es decir, tenemos:

Restricciones de difeomorfismos espaciales

$${\displaystyle C_{a}(x)=0}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$

$${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$$

Éstos generan difeomorfismos espaciales a lo largo de órbitas definidas por la función de desplazamiento . ${\displaystyle N^{a}(x)}$

Restricciones hamiltonianas

$${\displaystyle H(x)=0}$$

${\displaystyle N(x)}$

$${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$$

Como se mencionó anteriormente, la estructura de corchetes de Poisson entre las restricciones (difuminadas) es importante porque determinan completamente la teoría clásica y debe reproducirse en el límite semiclásico de cualquier teoría de la gravedad cuántica.

La ecuación de Wheeler-DeWitt

La ecuación de Wheeler-DeWitt (a veces llamada restricción hamiltoniana, a veces ecuación de Einstein-Schrödinger) es bastante central ya que codifica la dinámica a nivel cuántico. Es análoga a la ecuación de Schrödinger, excepto que la coordenada de tiempo, no es física, una función de onda física no puede depender de ella y, por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se reduce a una restricción: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =0.}$

El uso de variables métricas conduce a dificultades matemáticas aparentemente insuperables al intentar promover la expresión clásica de un operador cuántico bien definido, y así pasaron décadas sin que se avanzara a través de este enfoque. Este problema se solucionó y la formulación de una ecuación de Wheeler-De-Witt bien definida se logró por primera vez con la introducción de variables de Ashtekar-Barbero y la representación en bucle , este operador bien definido formulado por Thomas Thiemann ^[4] .

Antes de este desarrollo, la ecuación de Wheeler-De-Witt sólo se había formulado en modelos de simetría reducida, como la cosmología cuántica.

Cuantización canónica en variables Ashtekar-Barbero y LQG

Muchos de los problemas técnicos de la gravedad cuántica canónica giran en torno a las limitaciones. La relatividad general canónica se formuló originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones de los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las de las teorías de calibre. Al hacerlo, introdujo una restricción adicional, además del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana, la restricción de calibre de Gauss.

La representación de bucles es una representación hamiltoniana cuántica de las teorías de calibre en términos de bucles. El objetivo de la representación en bucle, en el contexto de las teorías de Yang-Mills, es evitar la redundancia introducida por las simetrías de calibre de Gauss, permitiendo trabajar directamente en el espacio de estados invariantes de calibre de Gauss. El uso de esta representación surgió naturalmente de la representación de Ashtekar-Barbero, ya que proporciona una descripción exacta no perturbativa y también porque la restricción del difeomorfismo espacial se maneja fácilmente dentro de esta representación.

Dentro de la representación en bucle, Thiemann ha proporcionado una teoría canónica bien definida en presencia de todas las formas de materia y ha demostrado explícitamente que es manifiestamente finita. Por tanto, no hay necesidad de renormalizar . Sin embargo, como el enfoque LQG es muy adecuado para describir la física en la escala de Planck, existen dificultades para establecer contacto con la física familiar de baja energía y establecer que tiene el límite semiclásico correcto.

El problema del tiempo

Todas las teorías canónicas de la relatividad general tienen que abordar el problema del tiempo . En gravedad cuántica, el problema del tiempo es un conflicto conceptual entre la relatividad general y la mecánica cuántica. En la relatividad general canónica, el tiempo es simplemente una coordenada más como resultado de la covarianza general . En las teorías cuánticas de campos, especialmente en la formulación hamiltoniana, la formulación se divide entre tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo. En términos generales, el problema del tiempo es que no existe ninguno en la relatividad general. Esto se debe a que, en la relatividad general, el hamiltoniano es una restricción que debe desaparecer. Sin embargo, en cualquier teoría canónica, el hamiltoniano genera traducciones temporales. Por tanto, llegamos a la conclusión de que "nada se mueve" ("no hay tiempo") en la relatividad general. Dado que "no hay tiempo", la interpretación habitual de las mediciones de la mecánica cuántica en momentos dados se desmorona. Este problema del tiempo es la bandera amplia de todos los problemas de interpretación del formalismo.

Charles Wang ha desarrollado un formalismo canónico de la descomposición conforme de la geometrodinámica de James York , ^[2] que conduce a la "época de York" ^[3] de la relatividad general . ^{[4] [5]} Este trabajo fue posteriormente desarrollado por él y sus colaboradores hacia un enfoque de identificación y cuantificación del tiempo susceptible de una gran clase de teorías de dilatón gravedad-materia invariantes de escala. ^{[6] [7]}

El problema de la cosmología cuántica

El problema de la cosmología cuántica es que los estados físicos que resuelven las limitaciones de la gravedad cuántica canónica representan estados cuánticos de todo el universo y, como tales, excluyen a un observador externo; sin embargo, un observador externo es un elemento crucial en la mayoría de las interpretaciones de la mecánica cuántica. ^{[ se necesita aclaración ]}

Ver también

• formalismo ADM
• variables de ashtekar
• Cuantización canónica
• Coordenadas canónicas
• difeomorfismo
• Argumento del agujero
• Cálculo regular
• La gravedad cuántica de bucles pertenece a esta familia de teorías.
• La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo finito y de simetría reducida de gravedad cuántica de bucles.
• problema de tiempo

Notas

1. ^ Bergmann, P. (1966). "Teoría de Hamilton-Jacobi y Schrödinger en teorías con restricciones hamiltonianas de primera clase". Revisión física . 144 (4): 1078–1080. Código bibliográfico : 1966PhRv..144.1078B. doi : 10.1103/PhysRev.144.1078.
2. ^ Dewitt, B. (1967). "Teoría cuántica de la gravedad. I. La teoría canónica". Revisión física . 160 (5): 1113-1148. Código bibliográfico : 1967PhRv..160.1113D. doi : 10.1103/PhysRev.160.1113.
3. ^ Dirac, PAM (1958). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Actas de la Royal Society de Londres A. 246 (1246): 326–332. Código Bib : 1958RSPSA.246..326D. doi :10.1098/rspa.1958.0141. JSTOR  100496.
4. ^ Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de gravedad cuántica lorentziana de cuatro dimensiones y no perturbativa". Letras de Física B. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . Código Bib : 1996PhLB..380..257T. doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID  8691449.

Referencias

1. Thiemann, Thomas (30 de marzo de 2020). "Gravedad cuántica canónica, QFT constructivo y renormalización". Fronteras en Física . 8 : 457. arXiv : 2003.13622 . Código Bib : 2020FrP.....8..457T. doi : 10.3389/fphy.2020.548232 .
2. York, James W. (28 de junio de 1971). "Grados de libertad gravitacionales y el problema del valor inicial". Cartas de revisión física . 26 (26): 1656–1658. Código bibliográfico : 1971PhRvL..26.1656Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.26.1656.
3. Choquet-Bruhat, Y.; York, JW (1980). Celebrado, A. (ed.). Relatividad General y Gravitación . Nueva York: Plenum Press. doi :10.1002/asna.2103020310.
4. Wang, Charles H.-T. (15 de junio de 2005). "Geometrodinámica conforme: verdaderos grados de libertad en una estructura verdaderamente canónica". Revisión física D. 71 (12): 124026. arXiv : gr-qc/0501024 . Código bibliográfico : 2005PhRvD..71l4026W. doi : 10.1103/PhysRevD.71.124026. S2CID  118968025.
5. Wang, Charles H.-T. (6 de octubre de 2005). "Formulación inequívoca de calibre de espín de la relatividad general canónica con invariancia de conformorfismo". Revisión física D. 72 (8): 087501. arXiv : gr-qc/0507044 . Código Bib : 2005PhRvD..72h7501W. doi : 10.1103/PhysRevD.72.087501. S2CID  34995566.
6. Wang, Carlos; Stankiewicz, Marcin (10 de enero de 2020). "Cuantización del tiempo y el big bang mediante gravedad de bucle invariante de escala". Letras de Física B. 800 : 135106. arXiv : 1910.03300 . Código Bib : 2020PhLB..80035106W. doi : 10.1016/j.physletb.2019.135106 . ISSN  0370-2693.
7. Wang, Charles H.-T.; Rodrigues, Daniel PF (28 de diciembre de 2018). "Cerrar las brechas en el espacio y el tiempo cuánticos: estructura de gravitación de calibre aumentada conformemente". Revisión física D. 98 (12): 124041. arXiv : 1810.01232 . Código Bib : 2018PhRvD..98l4041W. doi : 10.1103/PhysRevD.98.124041. hdl : 2164/11713 . S2CID  118961037.

Fuentes

• Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, CW (2008). "La dinámica de la relatividad general". Relatividad General y Gravitación . 40 (9): 1997-2027. arXiv : gr-qc/0405109 . Código Bib : 2008GReGr..40.1997A. doi :10.1007/s10714-008-0661-1. S2CID  14054267.
• Witten, L. (1962). Gravitación: una introducción a la investigación actual . John Wiley e hijos . págs. 227–265.
• Dirac, PAM (1958). "La teoría de la gravitación en forma hamiltoniana". Actas de la Royal Society de Londres A. 246 (1246): 333–343. Código bibliográfico : 1958RSPSA.246..333D. doi :10.1098/rspa.1958.0142. JSTOR  100497. S2CID  122053391.
• Dirac, PAM (1959). "Fijación de coordenadas en la teoría de la gravitación hamiltoniana". Revisión física . 114 (3): 924–930. Código bibliográfico : 1959PhRv..114..924D. doi : 10.1103/PhysRev.114.924.
• Dirac, PAM (1964). Conferencias sobre mecánica cuántica . Universidad Yeshiva . ISBN 0-387-51916-5.