Derivada total

Tipos de derivadas en matemáticas

En matemáticas , la derivada total de una función f en un punto es la mejor aproximación lineal cerca de ese punto de la función con respecto a sus argumentos. A diferencia de las derivadas parciales , la derivada total aproxima la función con respecto a todos sus argumentos, no solo a uno. En muchas situaciones, esto es lo mismo que considerar todas las derivadas parciales simultáneamente. El término "derivada total" se utiliza principalmente cuando f es una función de varias variables, porque cuando f es una función de una sola variable, la derivada total es la misma que la derivada ordinaria de la función. ^{[1] : 198–203}

La derivada total como una función lineal

Sea un subconjunto abierto . Entonces se dice que una función es ( totalmente ) diferenciable en un punto si existe una transformación lineal tal que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

La función lineal se denomina derivada ( total ) o diferencial ( total ) de en . Otras notaciones para la derivada total incluyen y . Una función es ( totalmente ) diferenciable si su derivada total existe en cada punto de su dominio. ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D_{a}f}$ ${\displaystyle Df(a)}$

Conceptualmente, la definición de la derivada total expresa la idea de que es la mejor aproximación lineal a en el punto . Esto se puede precisar cuantificando el error en la aproximación lineal determinada por . Para ello, escriba ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

donde es igual al error en la aproximación. Decir que la derivada de en es es equivalente a la afirmación ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

donde es la notación minúscula e indica que es mucho más pequeño que . La derivada total es la única transformación lineal para la cual el término de error es tan pequeño, y este es el sentido en el que es la mejor aproximación lineal a . ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle f}$

La función es diferenciable si y sólo si cada uno de sus componentes es diferenciable, por lo que al estudiar las derivadas totales, a menudo es posible trabajar una coordenada a la vez en el codominio. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las coordenadas en el dominio. Es cierto que si es diferenciable en , entonces cada derivada parcial existe en . La inversa no se cumple: puede suceder que existan todas las derivadas parciales de en , pero no sea diferenciable en . Esto significa que la función es muy "aproximada" en , hasta tal extremo que su comportamiento no puede describirse adecuadamente por su comportamiento en las direcciones de las coordenadas. Cuando no es tan aproximada, esto no puede suceder. Más precisamente, si todas las derivadas parciales de en existen y son continuas en un entorno de , entonces es diferenciable en . Cuando esto sucede, entonces además, la derivada total de es la transformación lineal correspondiente a la matriz jacobiana de derivadas parciales en ese punto. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

La derivada total como forma diferencial

Cuando la función en cuestión es de valor real, la derivada total puede reformularse utilizando formas diferenciales . Por ejemplo, supongamos que es una función diferenciable de variables . La derivada total de at puede escribirse en términos de su matriz jacobiana, que en este caso es una matriz de filas: ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}$

La propiedad de aproximación lineal de la derivada total implica que si

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

es un vector pequeño (donde denota transposición, de modo que este vector es un vector columna), entonces ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

Heurísticamente, esto sugiere que si hay incrementos infinitesimales en las direcciones de coordenadas, entonces ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

De hecho, la noción de infinitesimal, que aquí es meramente simbólica, puede dotarse de una amplia estructura matemática. Las técnicas, como la teoría de las formas diferenciales , proporcionan descripciones analíticas y algebraicas de objetos como incrementos infinitesimales, . Por ejemplo, puede inscribirse como una función lineal en el espacio vectorial . La evaluación en un vector en mide cuánto apunta en la dirección de coordenadas . La derivada total es una combinación lineal de funciones lineales y, por lo tanto, es en sí misma una función lineal. La evaluación mide cuánto apunta en la dirección determinada por en , y esta dirección es el gradiente . Este punto de vista hace que la derivada total sea una instancia de la derivada exterior . ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle df_{a}}$ ${\displaystyle df_{a}(h)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$

Supongamos ahora que es una función con valores vectoriales, es decir, . En este caso, los componentes de son funciones con valores reales, por lo que tienen formas diferenciales asociadas . La derivada total amalgama estas formas en un único objeto y, por lo tanto, es una instancia de una forma diferencial con valores vectoriales . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{i}}$ ${\displaystyle df}$

La regla de la cadena para derivadas totales

La regla de la cadena tiene una formulación particularmente elegante en términos de derivadas totales. Dice que, para dos funciones y , la derivada total de la función compuesta en satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.}$

Si las derivadas totales de y se identifican con sus matrices jacobianas, entonces la función compuesta del lado derecho es simplemente una multiplicación de matrices. Esto es enormemente útil en las aplicaciones, ya que permite tener en cuenta dependencias esencialmente arbitrarias entre los argumentos de una función compuesta. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Ejemplo: Diferenciación con dependencias directas

Supongamos que f es una función de dos variables, x e y . Si estas dos variables son independientes, de modo que el dominio de f es , entonces el comportamiento de f puede entenderse en términos de sus derivadas parciales en las direcciones x e y . Sin embargo, en algunas situaciones, x e y pueden ser dependientes. Por ejemplo, podría suceder que f esté restringida a una curva . En este caso, en realidad nos interesa el comportamiento de la función compuesta . La derivada parcial de f con respecto a x no da la verdadera tasa de cambio de f con respecto al cambio de x porque el cambio de x necesariamente cambia y . Sin embargo, la regla de la cadena para la derivada total tiene en cuenta dichas dependencias. Escriba . Entonces, la regla de la cadena dice ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

Expresando la derivada total utilizando matrices jacobianas, esto se convierte en:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).}$

Suprimiendo la evaluación en para facilitar la legibilidad, también podemos escribir esto como ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.}$

Esto proporciona una fórmula sencilla para la derivada de en términos de las derivadas parciales de y la derivada de . ${\displaystyle f(x,y(x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y(x)}$

Por ejemplo, supongamos

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

La tasa de cambio de f con respecto a x es usualmente la derivada parcial de f con respecto a x ; en este caso,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Sin embargo, si y depende de x , la derivada parcial no da la verdadera tasa de cambio de f cuando x cambia porque la derivada parcial supone que y es fija. Supongamos que estamos restringidos a la línea

${\displaystyle y=x.}$

Entonces

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

y la derivada total de f con respecto a x es

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

que vemos que no es igual a la derivada parcial . Sin embargo, en lugar de sustituir inmediatamente y en función de x , también podemos utilizar la regla de la cadena como se indica más arriba: ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Ejemplo: Diferenciación con dependencias indirectas

Si bien a menudo se pueden realizar sustituciones para eliminar dependencias indirectas, la regla de la cadena proporciona una técnica más eficiente y general. Supongamos que es una función del tiempo y variables que dependen del tiempo. Entonces, la derivada temporal de es ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

La regla de la cadena expresa esta derivada en términos de las derivadas parciales de y las derivadas temporales de las funciones : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Esta expresión se utiliza a menudo en física para una transformación de calibre del lagrangiano , ya que dos lagrangianos que difieren solo en la derivada temporal total de una función del tiempo y las coordenadas generalizadas conducen a las mismas ecuaciones de movimiento. Un ejemplo interesante se refiere a la resolución de la causalidad en relación con la teoría simétrica temporal de Wheeler-Feynman . El operador entre paréntesis (en la expresión final anterior) también se denomina operador de derivada total (con respecto a ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Por ejemplo, la derivada total de es ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Aquí no hay término ya que no depende directamente de la variable independiente. ${\displaystyle \partial f/\partial t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$

Ecuación diferencial total

Una ecuación diferencial total es una ecuación diferencial expresada en términos de derivadas totales. Dado que la derivada exterior no tiene coordenadas, en un sentido que puede tener un significado técnico, dichas ecuaciones son intrínsecas y geométricas .

Aplicación a sistemas de ecuaciones

En economía , es común que la derivada total surja en el contexto de un sistema de ecuaciones. ^{[1] : pp. 217–220} Por ejemplo, un sistema simple de oferta y demanda podría especificar la cantidad q de un producto demandado como una función D de su precio p y el ingreso de los consumidores I , siendo este último una variable exógena , y podría especificar la cantidad suministrada por los productores como una función S de su precio y dos variables de costo de recursos exógenas r y w . El sistema de ecuaciones resultante

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

determina los valores de equilibrio de mercado de las variables p y q . La derivada total de p con respecto a r , por ejemplo, da el signo y la magnitud de la reacción del precio de mercado a la variable exógena r . En el sistema indicado, hay un total de seis derivadas totales posibles, también conocidas en este contexto como derivadas estáticas comparativas : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw y dq / dI . Las derivadas totales se encuentran diferenciando totalmente el sistema de ecuaciones, dividiendo por, digamos dr , tratando dq / dr y dp / dr como incógnitas, fijando dI = dw = 0 y resolviendo las dos ecuaciones totalmente diferenciadas simultáneamente, típicamente utilizando la regla de Cramer . ${\displaystyle dp/dr}$

Véase también

• Derivada direccional  : tasa instantánea de cambio de la función
• Derivada de Fréchet  – Derivada definida en espacios normados – generalización de la derivada total
• Derivada de Gateaux  – Generalización del concepto de derivada direccional
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Derivada total de gradiente  : derivada multivariable (matemáticas)

Referencias

1. Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (tercera edición). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
2. Abraham, Ralph ; Marsden, JE ; Ratiu, Tudor (2012). Variedades, análisis tensorial y aplicaciones. Springer Science & Business Media. pág. 78. ISBN 9781461210290.

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• De la derivada total de thesaurus.maths.org

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Derivado total". MundoMatemático .
• Ronald D. Kriz (2007) Visualización de derivadas totales de funciones escalares de dos dimensiones utilizando superficies elevadas y planos tangentes de Virginia Tech