Estática comparativa

Experimentos mentales

En este gráfico, la estática comparativa muestra un aumento de la demanda que provoca un aumento del precio y de la cantidad. Al comparar dos estados de equilibrio, la estática comparativa no describe cómo ocurren realmente los aumentos .

En economía , la estática comparativa es la comparación de dos resultados económicos diferentes, antes y después de un cambio en algún parámetro exógeno subyacente . ^[1]

Como tipo de análisis estático, compara dos estados de equilibrio diferentes , después del proceso de ajuste (si lo hubiera). No estudia el movimiento hacia el equilibrio, ni el proceso de cambio en sí.

La estática comparada se utiliza comúnmente para estudiar cambios en la oferta y la demanda cuando se analiza un mercado único , y para estudiar cambios en la política monetaria o fiscal cuando se analiza toda la economía . La estática comparada es una herramienta de análisis en microeconomía (incluido el análisis de equilibrio general ) y macroeconomía . La estática comparada fue formalizada por John R. Hicks (1939) y Paul A. Samuelson (1947) (Kehoe, 1987, p. 517), pero se presentó gráficamente al menos desde la década de 1870. ^[2]

Para los modelos de tasas de cambio de equilibrio estable, como el modelo de crecimiento neoclásico , la dinámica comparada es la contraparte de la estática comparada (Eatwell, 1987).

Aproximación lineal

Los resultados de la estática comparativa generalmente se obtienen utilizando el teorema de la función implícita para calcular una aproximación lineal al sistema de ecuaciones que define el equilibrio, bajo el supuesto de que el equilibrio es estable. Es decir, si consideramos un cambio suficientemente pequeño en algún parámetro exógeno, podemos calcular cómo cambia cada variable endógena utilizando sólo las primeras derivadas de los términos que aparecen en las ecuaciones de equilibrio.

Por ejemplo, supongamos que el valor de equilibrio de alguna variable endógena está determinado por la siguiente ecuación: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x,a)=0\,}$

donde es un parámetro exógeno. Entonces, para una aproximación de primer orden, el cambio en causado por un pequeño cambio en debe satisfacer: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a=0.}$

Aquí y representan los cambios en y , respectivamente, mientras que y son las derivadas parciales de con respecto a y (evaluadas en los valores iniciales de y ), respectivamente. De manera equivalente, podemos escribir el cambio como: ${\displaystyle {\text{d}}x}$ ${\displaystyle {\text{d}}a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a.}$

Dividiendo la última ecuación por d a se obtiene la derivada estática comparativa de x con respecto a a , también llamada multiplicador de a sobre x :

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.}$

Muchas ecuaciones e incógnitas.

Todas las ecuaciones anteriores siguen siendo verdaderas en el caso de un sistema de ecuaciones con incógnitas. En otras palabras, supongamos que representa un sistema de ecuaciones que involucra el vector de incógnitas y el vector de parámetros dados . Si hacemos un cambio suficientemente pequeño en los parámetros, entonces los cambios resultantes en las variables endógenas pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante . En este caso, representa la matriz × de derivadas parciales de las funciones con respecto a las variables , y representa la matriz × de derivadas parciales de las funciones con respecto a los parámetros . (Las derivadas en y se evalúan en los valores iniciales de y .) Tenga en cuenta que si se desea simplemente el efecto estático comparativo de una variable exógena sobre una variable endógena, se puede utilizar la regla de Cramer en el sistema de ecuaciones totalmente diferenciado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x,a)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{d}}a}$ ${\displaystyle {\text{d}}x=-B^{-1}C{\text{d}}a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a\,=0}$

Estabilidad

El supuesto de que el equilibrio es estable es importante por dos razones. Primero, si el equilibrio fuera inestable, un pequeño cambio en el parámetro podría causar un gran salto en el valor de , invalidando el uso de una aproximación lineal. Además, el principio de correspondencia de Paul A. Samuelson ^{[3] [4] [5] : págs.122-123.}afirma que la estabilidad del equilibrio tiene implicaciones cualitativas sobre los efectos estáticos comparativos. En otras palabras, saber que el equilibrio es estable puede ayudarnos a predecir si cada uno de los coeficientes del vector es positivo o negativo. Específicamente, una de las n condiciones necesarias y conjuntamente suficientes para la estabilidad es que el determinante de la matriz B de n × n tenga un signo particular; dado que este determinante aparece como denominador en la expresión para , el signo del determinante influye en los signos de todos los elementos del vector de efectos estáticos comparativos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B^{-1}C}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{-1}C{\text{d}}a}$

Un ejemplo del papel del supuesto de estabilidad.

Supongamos que las cantidades demandadas y ofrecidas de un producto están determinadas por las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle Q^{d}(P)=a+bP}$

${\displaystyle Q^{s}(P)=c+gP}$

donde es la cantidad demandada, es la cantidad ofrecida, P es el precio, a y c son parámetros de intersección determinados por influencias exógenas sobre la demanda y la oferta respectivamente, b < 0 es el recíproco de la pendiente de la curva de demanda y g es la recíproco de la pendiente de la curva de oferta; g > 0 si la curva de oferta tiene pendiente positiva, g = 0 si la curva de oferta es vertical y g < 0 si la curva de oferta se inclina hacia atrás. Si igualamos la cantidad ofrecida con la cantidad demandada para encontrar el precio de equilibrio , encontramos que ${\displaystyle Q^{d}}$ ${\displaystyle Q^{s}}$ ${\displaystyle P^{eqb}}$

${\displaystyle P^{eqb}={\frac {a-c}{g-b}}.}$

Esto significa que el precio de equilibrio depende positivamente del intercepto de la demanda si g – b > 0, pero depende negativamente de él si g – b < 0. ¿Cuál de estas posibilidades es relevante? De hecho, partiendo de un equilibrio estático inicial y luego cambiando a , el nuevo equilibrio es relevante sólo si el mercado realmente llega a ese nuevo equilibrio. Supongamos que los ajustes de precios en el mercado ocurren de acuerdo con

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda (Q^{d}(P)-Q^{s}(P))}$

donde > 0 es el parámetro de velocidad de ajuste y es la derivada temporal del precio; es decir, denota qué tan rápido y en qué dirección cambia el precio. Según la teoría de la estabilidad , P convergerá a su valor de equilibrio si y sólo si la derivada es negativa. Esta derivada viene dada por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}}$

${\displaystyle {\frac {d(dP/dt)}{dP}}=-\lambda (-b+g).}$

Esto es negativo si y sólo si g – b > 0, en cuyo caso el parámetro de intersección de la demanda a influye positivamente en el precio. Entonces podemos decir que si bien la dirección del efecto de la intersección de la demanda sobre el precio de equilibrio es ambigua cuando todo lo que sabemos es que el recíproco de la pendiente de la curva de oferta, g , es negativo, en el único caso relevante (en el que el precio realmente va a su nuevo valor de equilibrio) un aumento en el intercepto de la demanda aumenta el precio. Tenga en cuenta que este caso, con g – b > 0, es el caso en el que la curva de oferta, si tiene pendiente negativa, es más pronunciada que la curva de demanda.

Sin restricciones

Supongamos que es una función objetivo suave y estrictamente cóncava donde x es un vector de n variables endógenas y q es un vector de m parámetros exógenos. Considere el problema de optimización sin restricciones . Sea , la matriz n por n de primeras derivadas parciales de con respecto a sus primeros n argumentos x ₁ ,..., x _n . El maximizador está definido por la condición de primer orden n ×1 . ${\displaystyle p(x;q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)=\arg \max p(x;q)}$ ${\displaystyle f(x;q)=D_{x}p(x;q)}$ ${\displaystyle p(x;q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)}$ ${\displaystyle f(x^{*}(q);q)=0}$

La estática comparada pregunta cómo cambia este maximizador en respuesta a cambios en los parámetros m . El objetivo es encontrar . ${\displaystyle \partial x_{i}^{*}/\partial q_{j},i=1,...,n,j=1,...,m}$

La concavidad estricta de la función objetivo implica que el jacobiano de f , que es exactamente la matriz de segundas derivadas parciales de p con respecto a las variables endógenas, es no singular (tiene inversa). Por el teorema de la función implícita , entonces, puede verse localmente como una función continuamente diferenciable, y la respuesta local de a pequeños cambios en q está dada por ${\displaystyle x^{*}(q)}$ ${\displaystyle x^{*}(q)}$

${\displaystyle D_{q}x^{*}(q)=-[D_{x}f(x^{*}(q);q)]^{-1}D_{q}f(x^{*}(q);q).}$

Aplicando la regla de la cadena y la condición de primer orden,

${\displaystyle D_{q}p(x^{*}(q),q)=D_{q}p(x;q)|_{x=x^{*}(q)}.}$

(Ver Teorema de la envolvente ).

Solicitud de maximización de beneficios

Supongamos que una empresa produce n bienes en cantidades . La ganancia de la empresa es una función p de y de m parámetros exógenos que pueden representar, por ejemplo, varias tasas impositivas. Siempre que la función de beneficio satisfaga los requisitos de suavidad y concavidad, el método de estática comparativa anterior describe los cambios en los beneficios de la empresa debido a pequeños cambios en las tasas impositivas. ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{m}}$

Con limitaciones

Una generalización del método anterior permite que el problema de optimización incluya un conjunto de restricciones. Esto lleva al teorema general de la envolvente . Las aplicaciones incluyen determinar cambios en la demanda marshalliana en respuesta a cambios en el precio o el salario.

Limitaciones y extensiones

Una limitación de la estática comparativa que utiliza el teorema de la función implícita es que los resultados son válidos sólo en una vecindad (potencialmente muy pequeña) del óptimo, es decir, sólo para cambios muy pequeños en las variables exógenas. Otra limitación es la naturaleza potencialmente demasiado restrictiva de los supuestos utilizados convencionalmente para justificar los procedimientos de estática comparativa. Por ejemplo, John Nachbar descubrió en uno de sus estudios de caso que el uso de la estática comparativa en el análisis de equilibrio general funciona mejor con un nivel de datos individual muy pequeño que a un nivel agregado. ^[6]

Paul Milgrom y Chris Shannon ^[7] señalaron en 1994 que los supuestos utilizados convencionalmente para justificar el uso de la estática comparativa en problemas de optimización no son realmente necesarios; específicamente, los supuestos de convexidad de conjuntos preferidos o conjuntos de restricciones, suavidad de sus límites, condiciones de primera y segunda derivada, y linealidad de conjuntos presupuestarios o funciones objetivo. De hecho, a veces un problema que cumple estas condiciones puede transformarse monótonamente para dar un problema con estática comparativa idéntica pero que viola algunas o todas estas condiciones; por tanto, estas condiciones no son necesarias para justificar la estática comparativa. A partir del artículo de Milgrom y Shannon, así como de los resultados obtenidos por Veinott ^[8] y Topkis ^[9], se desarrolló una importante línea de investigación operativa llamada estática comparativa monótona . En particular, esta teoría se concentra en el análisis de estática comparada utilizando sólo condiciones que son independientes de las transformaciones que preservan el orden. El método utiliza la teoría de la red e introduce las nociones de cuasisupermodularidad y condición de cruce simple. La amplia aplicación de la estática comparativa monótona a la economía incluye la teoría de la producción, la teoría del consumidor, la teoría de juegos con información completa e incompleta, la teoría de las subastas y otras. ^[10]

Ver también

• Modelo (economía)
• Economía cualitativa

Notas

1. (Mas-Colell, Whinston y Green, 1995, p. 24; Silberberg y Suen, 2000)
2. Fleeming Jenkin (1870), "La representación gráfica de las leyes de la oferta y la demanda y su aplicación al trabajo", en Alexander Grant, Recess Studies y (1872), "Sobre los principios que regulan la incidencia de los impuestos", Actas de la Royal Society of Edinburgh 1871-2 , págs. 618-30., también en Papers, Literary, Scientific, &c , v. 2 (1887), ed. SC Colvin y JA Ewing mediante desplazamiento a los enlaces de los capítulos.
3. Samuelson, Paul, "La estabilidad del equilibrio: estática y dinámica comparadas", Econometrica 9, abril de 1941, 97-120: introduce el concepto de principio de correspondencia.
4. Samuelson, Paul, "La estabilidad del equilibrio: sistemas lineales y no lineales", Econometrica 10(1), enero de 1942, 1-25: acuña el término "principio de correspondencia".
5. Baumol, William J., Dinámica económica , Macmillan Co., tercera edición, 1970.
6. "Inicio de sesión web de UM". weblogin.umich.edu . doi : 10.1057/978-1-349-95121-5_322-2 . Consultado el 2 de diciembre de 2020 .
7. Milgrom, Paul y Shannon, Chris. "Estática comparativa monótona" (1994). Econométrica, vol. 62 Número 1, págs. 157-180.
8. Veinott (1992): Programación reticular: optimización cualitativa y equilibrios. MS Stanford.
9. Véase: Topkis, DM (1979): “Puntos de equilibrio en juegos submodulares de n personas de suma distinta de cero”, SIAM Journal of Control and Optimization, 17, 773–787; así como Topkis, DM (1998): Supermodularity and Complementarity, Frontiers of economic research, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 . 
10. Ver: Topkis, DM (1998): Supermodularidad y complementariedad, fronteras de la investigación económica, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 ; y Vives, X. (2001): Precios del oligopolio: viejas ideas y nuevas herramientas. Prensa del MIT, ISBN 9780262720403 .  

Referencias

• John Eatwell y otros, ed. (1987). "Dinámica comparada", The New Palgrave: Diccionario de economía , v. 1, p. 517.
• John R. Hicks (1939). Valor y Capital .
• Timothy J. Kehoe, 1987. "Estática comparada", The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, págs.
• Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston y Jerry R. Green, 1995. Teoría microeconómica .
• Paul A. Samuelson (1947). Fundamentos del Análisis Económico .
• Eugene Silberberg y Wing Suen, 2000. La estructura de la economía: un análisis matemático , tercera edición.

enlaces externos

• Departamento de Economía de la Universidad Estatal de San José - Análisis de estática comparada
• Glosario AmosWeb
• Glosario del IFCI Risk Institute (del glosario de la Bolsa de Valores de Estados Unidos ) [1]