Soporte de Poisson

Funcionamiento en mecánica hamiltoniana

Simeón Denis Poisson

En matemáticas y mecánica clásica , el corchete de Poisson es una operación binaria importante en la mecánica hamiltoniana , que desempeña un papel central en las ecuaciones de movimiento de Hamilton, que gobiernan la evolución temporal de un sistema dinámico hamiltoniano . El corchete de Poisson también distingue una cierta clase de transformaciones de coordenadas, llamadas transformaciones canónicas , que mapean sistemas de coordenadas canónicos en sistemas de coordenadas canónicos. Un "sistema de coordenadas canónico" consiste en variables de posición y momento canónicos (a continuación simbolizadas por y , respectivamente) que satisfacen relaciones de corchete de Poisson canónico. El conjunto de posibles transformaciones canónicas es siempre muy rico. Por ejemplo, a menudo es posible elegir el propio hamiltoniano como una de las nuevas coordenadas de momento canónico. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle H=H(q,p,t)}$

En un sentido más general, el corchete de Poisson se utiliza para definir un álgebra de Poisson , de la que el álgebra de funciones sobre una variedad de Poisson es un caso especial. También hay otros ejemplos generales: aparece en la teoría de las álgebras de Lie , donde el álgebra tensorial de un álgebra de Lie forma un álgebra de Poisson; en el artículo sobre álgebra envolvente universal se ofrece una construcción detallada de cómo se produce esto . Las deformaciones cuánticas del álgebra envolvente universal conducen a la noción de grupos cuánticos .

Todos estos objetos reciben su nombre en honor a Siméon Denis Poisson , quien introdujo el corchete de Poisson en su tratado de mecánica de 1809. ^{[1] [2]}

Propiedades

Dadas dos funciones f y g que dependen del espacio de fases y del tiempo, su corchete de Poisson es otra función que depende del espacio de fases y del tiempo. Las siguientes reglas se cumplen para cualesquiera tres funciones del espacio de fases y del tiempo: ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle f,\,g,\,h}$

Anticonmutatividad

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Bilinealidad

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

La regla de Leibniz

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

Identidad de Jacobi

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Además, si una función es constante en el espacio de fases (pero puede depender del tiempo), entonces para cualquier . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$ ${\displaystyle f}$

Definición en coordenadas canónicas

En coordenadas canónicas (también conocidas como coordenadas de Darboux ) en el espacio de fases , dadas dos funciones y , ^{[Nota 1]} el corchete de Poisson toma la forma ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$ ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$ ${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

Los corchetes de Poisson de las coordenadas canónicas son donde es el delta de Kronecker . $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton tienen una expresión equivalente en términos del corchete de Poisson. Esto se puede demostrar más directamente en un marco de coordenadas explícito. Supongamos que es una función en la variedad de trayectorias de la solución. Entonces, a partir de la regla de la cadena multivariable , ${\displaystyle f(p,q,t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

Además, se pueden tomar y como soluciones de las ecuaciones de Hamilton ; es decir, ${\displaystyle p=p(t)}$ ${\displaystyle q=q(t)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Así, la evolución temporal de una función en una variedad simpléctica puede darse como una familia de un parámetro de simplectomorfismos (es decir, transformaciones canónicas , difeomorfismos que preservan el área), con el tiempo como parámetro: El movimiento hamiltoniano es una transformación canónica generada por el hamiltoniano. Es decir, los corchetes de Poisson se preservan en él, de modo que cualquier tiempo en la solución de las ecuaciones de Hamilton puede servir como coordenadas de corchetes. Los corchetes de Poisson son invariantes canónicos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),}$$

Dejando caer las coordenadas, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.}$$

El operador en la parte convectiva de la derivada, , a veces se denomina liouvilliano (véase teorema de Liouville (hamiltoniano) ). ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}}$

Matriz de Poisson en transformaciones canónicas

El concepto de corchetes de Poisson se puede ampliar al de matrices definiendo la matriz de Poisson.

Consideremos la siguiente transformación canónica: Definiendo , la matriz de Poisson se define como , donde es la matriz simpléctica bajo las mismas convenciones utilizadas para ordenar el conjunto de coordenadas. De la definición se deduce que: $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

La matriz de Poisson satisface las siguientes propiedades conocidas: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

donde se conoce como matriz de Lagrange y cuyos elementos corresponden a corchetes de Lagrange . La última identidad también se puede expresar de la siguiente manera: Nótese que la suma aquí involucra coordenadas generalizadas así como también momento generalizado. ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

La invariancia del corchete de Poisson se puede expresar como: , lo que conduce directamente a la condición simpléctica: . ^[3] ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$

Constantes de movimiento

Un sistema integrable tendrá constantes de movimiento además de la energía. Dichas constantes de movimiento conmutarán con el hamiltoniano bajo el corchete de Poisson. Supongamos que alguna función es una constante de movimiento. Esto implica que si es una trayectoria o solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton , entonces a lo largo de esa trayectoria. Entonces donde, como antes, el paso intermedio sigue aplicando las ecuaciones de movimiento y suponemos que no depende explícitamente del tiempo. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Liouville . El contenido del teorema de Liouville es que la evolución temporal de una medida dada por una función de distribución está dada por la ecuación anterior. ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle p(t),q(t)}$ $${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$ $${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si el corchete de Poisson de y se anula ( ), entonces se dice que y están en involución . Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable , las constantes de movimiento independientes deben estar en involución mutua , donde es el número de grados de libertad. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Además, según el teorema de Poisson , si dos cantidades y son constantes de movimiento explícitamente independientes del tiempo ( ), también lo es su corchete de Poisson . Sin embargo, esto no siempre proporciona un resultado útil, ya que el número de constantes de movimiento posibles es limitado ( para un sistema con grados de libertad), y por lo tanto el resultado puede ser trivial (una constante o una función de y ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$ ${\displaystyle \{A,\,B\}}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El corchete de Poisson en el lenguaje sin coordenadas

Sea una variedad simpléctica , es decir, una variedad dotada de una forma simpléctica : una 2-forma que es a la vez cerrada (es decir, su derivada exterior se anula) y no degenerada . Por ejemplo, en el tratamiento anterior, tome como y tome como ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

Si es el producto interior o la operación de contracción definida por , entonces la no degeneración es equivalente a decir que para cada forma unitaria existe un único campo vectorial tal que . Alternativamente, . Entonces, si es una función suave en , el campo vectorial hamiltoniano se puede definir como . Es fácil ver que ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$ ${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle \Omega _{dH}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

El corchete de Poisson sobre ( M , ω ) es una operación bilineal sobre funciones diferenciables , definida por ; el corchete de Poisson de dos funciones sobre M es en sí mismo una función sobre M . El corchete de Poisson es antisimétrico porque: ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

Además,

Aquí X _g f denota el campo vectorial X _g aplicado a la función f como derivada direccional, y denota la derivada de Lie (enteramente equivalente) de la función f . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$

Si α es una forma unitaria arbitraria en M , el campo vectorial Ω _α genera (al menos localmente) un flujo que satisface la condición de contorno y la ecuación diferencial de primer orden ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$ $${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

Habrá simplectomorfismos ( transformaciones canónicas ) para cada t en función de x si y solo si ; cuando esto es cierto, Ω _α se llama campo vectorial simpléctico . Recordando la identidad de Cartan y d ω = 0 , se deduce que . Por lo tanto, Ω _α es un campo vectorial simpléctico si y solo si α es una forma cerrada . Como , se deduce que todo campo vectorial hamiltoniano X _f es un campo vectorial simpléctico, y que el flujo hamiltoniano consta de transformaciones canónicas. De (1) anterior, bajo el flujo hamiltoniano X _H , ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$ ${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.}$$

Este es un resultado fundamental en la mecánica hamiltoniana, que rige la evolución temporal de funciones definidas en el espacio de fases. Como se señaló anteriormente, cuando { f , H } = 0 , f es una constante de movimiento del sistema. Además, en coordenadas canónicas (con y ), las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal del sistema se deducen inmediatamente de esta fórmula. ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$ ${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$

También se deduce de (1) que el corchete de Poisson es una derivación ; es decir, satisface una versión no conmutativa de la regla del producto de Leibniz :

El corchete de Poisson está íntimamente relacionado con el corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos. Como la derivada de Lie es una derivación, $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

Por lo tanto, si v y w son simplécticas, utilizando , la identidad de Cartan y el hecho de que es una forma cerrada, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle \iota _{w}\omega }$ $${\displaystyle \iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).}$$

De ello se deduce que , de modo que ${\displaystyle [v,w]=X_{\omega (w,v)}}$

Por lo tanto, el corchete de Poisson sobre funciones corresponde al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos asociados. También hemos demostrado que el corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es un campo vectorial hamiltoniano y, por lo tanto, también es simpléctico. En el lenguaje del álgebra abstracta , los campos vectoriales simplécticos forman una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales suaves sobre M , y los campos vectoriales hamiltonianos forman un ideal de esta subálgebra. Los campos vectoriales simplécticos son el álgebra de Lie del grupo de Lie ( de dimensión infinita) de simplectomorfismos de M.

Se afirma ampliamente que la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson, se sigue de la identidad correspondiente para el corchete de Lie de los cuerpos vectoriales, pero esto es cierto solo hasta una función localmente constante. Sin embargo, para probar la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson, es suficiente mostrar que: donde el operador en funciones suaves en M está definido por y el corchete en el lado derecho es el conmutador de operadores, . Por (1) , el operador es igual al operador X _g . La prueba de la identidad de Jacobi se sigue de (3) porque, hasta el factor de -1, el corchete de Lie de los cuerpos vectoriales es solo su conmutador como operadores diferenciales. $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$ $${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$ ${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$

El álgebra de funciones suaves sobre M, junto con el corchete de Poisson, forma un álgebra de Poisson , porque es un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, que además satisface la regla de Leibniz (2) . Hemos demostrado que toda variedad simpléctica es una variedad de Poisson , es decir, una variedad con un operador de "corchete" sobre funciones suaves tales que las funciones suaves forman un álgebra de Poisson. Sin embargo, no toda variedad de Poisson surge de esta manera, porque las variedades de Poisson permiten la degeneración que no puede surgir en el caso simpléctico.

Un resultado sobre momentos conjugados

Dado un campo vectorial suave en el espacio de configuración, sea su momento conjugado . La aplicación del momento conjugado es un antihomomorfismo del álgebra de Lie desde el corchete de Lie hasta el corchete de Poisson: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{X}}$ $${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

Este importante resultado merece una breve demostración. Escriba un campo vectorial en el punto en el espacio de configuración como donde es el marco de coordenadas local. El momento conjugado a tiene la expresión donde son las funciones de momento conjugadas a las coordenadas. Entonces, para un punto en el espacio de fases , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

Lo anterior es válido para todos , obteniéndose el resultado deseado. ${\displaystyle (q,p)}$

Cuantización

Los corchetes de Poisson se deforman en corchetes de Moyal tras la cuantificación , es decir, se generalizan a un álgebra de Lie diferente, el álgebra de Moyal , o, equivalentemente en el espacio de Hilbert , los conmutadores cuánticos . La contracción del grupo Wigner-İnönü de estos (el límite clásico, ħ → 0 ) produce el álgebra de Lie anterior.

Para expresarlo de forma más explícita y precisa, el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (módulo de la relación de que el centro es la unidad). El producto de Moyal es entonces un caso especial del producto estrella del álgebra de símbolos. En el artículo sobre el álgebra envolvente universal se ofrece una definición explícita del álgebra de símbolos y del producto estrella .

Véase también

• Conmutador
• Soporte de Dirac
• Soporte de Lagrange
• Soporte Moyal
• Soporte de Peierls
• Espacio de fases
• Álgebra de Poisson
• Anillo de Poisson
• Superálgebra de Poisson
• Superbracket de Poisson

Observaciones

1. significa es una función de las variables independientes: momento, ; posición, ; y tiempo, ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},\,t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2N+1}$ ${\displaystyle p_{1\dots N}}$ ${\displaystyle q_{1\dots N}}$ ${\displaystyle t}$

Referencias

1. SD Poisson (1809)
2. CM Marle (2009)
3. Giacaglia, Giorgio EO (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Ciencias matemáticas aplicadas. Nueva York, Heidelberg: Springer. pp. 8-9. ISBN 978-3-540-90054-2.

• Arnold, Vladimir I. (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Landau, Lev D .; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mecánica . Curso de física teórica . Vol. 1 (3.ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Victor P. (1993). Corchetes de Poisson no lineales, Geometría y cuantificación . Traducciones de monografías matemáticas. Vol. 119. Traducido por Sossinsky, Alexey; Shishkova, MA Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821887967. Sr.  1214142.
• Moretti, Valter (2023). Mecánica analítica, mecánica clásica, lagrangiana y hamiltoniana, teoría de la estabilidad, relatividad especial . UNITEXT. Vol. 150. Springer. ISBN 978-3-031-27612-5.
• Poisson, Siméon-Denis (1809). "Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mécanique" (PDF) . Journal de l'École Polytechnique, 15e cahier . 8 : 266-344.
• Marle, Charles-Michel (2009). "El origen de la geometría simpléctica: los trabajos de Lagrange y Poisson durante los años 1808-1810". Letters in Mathematical Physics . 90 : 3-21. arXiv : 0902.0685 . doi :10.1007/s11005-009-0347-y.

Enlaces externos

• "Corchetes de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein . "Corchete de Poisson". MathWorld .