Flujo (matemáticas)

Movimiento de partículas en un fluido

Flujo en el espacio de fases especificado por la ecuación diferencial de un péndulo . En el eje horizontal, la posición del péndulo y en el vertical su velocidad.

En matemáticas , un flujo formaliza la idea del movimiento de partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física . La noción de flujo es básica para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias . De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto .

La idea de un flujo vectorial , es decir, el flujo determinado por un campo vectorial , aparece en las áreas de topología diferencial , geometría de Riemann y grupos de Lie . Ejemplos específicos de flujos vectoriales incluyen el flujo geodésico , el flujo hamiltoniano , el flujo de Ricci , el flujo de curvatura media y los flujos de Anosov . Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos , y aparecen en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos . El más famoso de ellos es quizás el flujo de Bernoulli .

Definición formal

Un flujo sobre un conjunto X es una acción grupal del grupo aditivo de números reales sobre X. Más explícitamente, un flujo es una aplicación

${\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \to X}$

tal que, para todo x ∈ X y todos los números reales s y t ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}}$

Se acostumbra a escribir φ ^t ( x ) en lugar de φ ( x , t ) , de modo que las ecuaciones anteriores se pueden expresar como (la función identidad ) y (ley de grupo). Entonces, para todo ⁠ ⁠ la aplicación ⁠ ⁠ es una biyección con inversa ⁠ ⁠ Esto se desprende de la definición anterior, y el parámetro real t puede tomarse como una potencia funcional generalizada , como en la iteración de la función . ${\displaystyle \varphi ^{0}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle \varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varphi ^{t}:X\to X}$ ${\displaystyle \varphi ^{-t}:X\to X.}$

Por lo general, se requiere que los flujos sean compatibles con las estructuras proporcionadas en el conjunto X. En particular, si X está equipado con una topología , entonces se requiere que φ sea continuo . Si X está equipado con una estructura diferenciable , entonces se requiere que φ sea diferenciable . En estos casos, el flujo forma un grupo de un parámetro de homeomorfismos y difeomorfismos, respectivamente.

En determinadas situaciones también se podría considerarflujos locales , que se definen solo en algún subconjunto

${\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} }$

llamado eldominio de flujo deφ. Esto suele suceder con losflujos de campos vectoriales.

Notaciones alternativas

Es muy común en muchos campos, incluyendo la ingeniería , la física y el estudio de ecuaciones diferenciales , utilizar una notación que hace implícito el flujo. Así, x ( t ) se escribe para ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi ^{t}(x_{0}),}$ y se podría decir que la variable x depende del tiempo t y de la condición inicial x = x ₀ . A continuación se dan ejemplos.

En el caso de un flujo de un campo vectorial V en una variedad lisa X , el flujo se denota a menudo de tal manera que su generador se hace explícito. Por ejemplo,

${\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}$

Órbitas

Dado x en X , el conjunto se denomina órbita de x bajo φ . De manera informal, puede considerarse como la trayectoria de una partícula que inicialmente se posicionó en x . Si el flujo es generado por un campo vectorial , entonces sus órbitas son las imágenes de sus curvas integrales . ${\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$

Ejemplos

Ecuación algebraica

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}$ una trayectoria dependiente del tiempo que es una función biyectiva. Entonces un flujo puede definirse por

${\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}$

Sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ un campo vectorial (independiente del tiempo) y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ la solución del problema de valor inicial

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Entonces es el flujo del campo vectorial F . Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial ⁠ ⁠ sea Lipschitz-continuo . Entonces ⁠ ⁠ también es Lipschitz-continuo dondequiera que esté definido. En general, puede ser difícil demostrar que el flujo φ está definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F está soportado de forma compacta . ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

Ecuaciones diferenciales ordinarias dependientes del tiempo

En el caso de campos vectoriales dependientes del tiempo ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ , se denota donde ⁠ ⁠ es la solución de ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$ es el flujo dependiente del tiempo de F . No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como uno al reorganizar sus argumentos. Es decir, la aplicación

${\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}$

de hecho satisface la ley de grupo para la última variable:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}}$

Se pueden ver flujos dependientes del tiempo de campos vectoriales como casos especiales de flujos independientes del tiempo mediante el siguiente truco. Definir

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

Entonces y ( t ) es la solución del problema de valor inicial "independiente del tiempo"

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}$

si y solo si x ( t ) es la solución del problema de valor inicial dependiente del tiempo original. Además, entonces la función φ es exactamente el flujo del campo vectorial "independiente del tiempo" G .

Flujos de campos vectoriales en variedades

Los flujos de campos vectoriales independientes del tiempo y dependientes del tiempo se definen en variedades suaves exactamente como se definen en el espacio euclidiano y su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ comportamiento local es el mismo. Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad suave se manifiesta fuertemente en qué tipo de campos vectoriales globales puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades suaves son de hecho una herramienta importante en topología diferencial. La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se llevan a cabo en variedades suaves, que se consideran como "espacios de parámetros" en las aplicaciones.

Formalmente: Sea una variedad diferenciable . Sea el espacio tangente de un punto Sea la variedad tangente completa; es decir, Sea un campo vectorial dependiente del tiempo en ; es decir, f es una función suave tal que para cada y , se tiene es decir, la función asigna cada punto a un elemento de su propio espacio tangente. Para un intervalo adecuado que contenga 0, el flujo de f es una función que satisface ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.}$ ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.}$ $${\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};}$ ${\displaystyle x\mapsto f(t,x)}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}$$

Soluciones de la ecuación del calor

Sea Ω un subdominio (acotado o no) de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (siendo n un entero). Denote por Γ su límite (supuesto liso). Considere la siguiente ecuación de calor en Ω × (0, T ) , para T > 0 ,

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

con la siguiente condición de valor inicial u (0) = u ⁰ en Ω .

La ecuación u = 0 en Γ × (0, T ) corresponde a la condición de contorno homogénea de Dirichlet. La configuración matemática para este problema puede ser el enfoque de semigrupo. Para utilizar esta herramienta, introducimos el operador no acotado Δ _D definido por su dominio ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$

(ver los espacios clásicos de Sobolev con y ${\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}$

${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}$

es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Ω para la norma). ${\displaystyle H^{1}(\Omega )-}$

Para cualquier , tenemos ${\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}$

${\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}$

Con este operador, la ecuación del calor se convierte en u (0) = u ⁰ . Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver las notaciones anteriores) ${\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}$

${\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},}$

donde exp( t Δ _D ) es el semigrupo (analítico) generado por Δ _D .

Soluciones de la ecuación de onda

De nuevo, sea Ω un subdominio (acotado o no) de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (siendo n un entero). Denotamos por Γ su límite (supuesto suave). Consideremos la siguiente ecuación de onda en (para T > 0 ), ${\displaystyle \Omega \times (0,T)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

con la siguiente condición inicial u (0) = u ^1,0 en Ω y ${\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .}$

Utilizando el mismo enfoque de semigrupo que en el caso de la ecuación de calor anterior, escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo introduciendo el siguiente operador ilimitado,

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}$

con dominio activado (el operador Δ _D está definido en el ejemplo anterior). ${\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$

Introducimos los vectores columna

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}$

(donde y ) y ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=u_{t}}$

${\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).}$

Con estas nociones la ecuación de onda se convierte en U (0) = U ⁰ . ${\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}$

Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es

${\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}}$

¿Dónde está el semigrupo (unitario) generado por ${\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Flujo de Bernoulli

Los sistemas dinámicos ergódicos , es decir, sistemas que exhiben aleatoriedad, también exhiben flujos. El más famoso de ellos es quizás el flujo de Bernoulli . El teorema de isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía dada H , existe un flujo φ ( x , t ) , llamado flujo de Bernoulli, tal que el flujo en el tiempo t = 1 , es decir φ ( x , 1) , es un desplazamiento de Bernoulli .

Además, este flujo es único, hasta un reescalamiento constante del tiempo. Es decir, si ψ ( x , t ) , es otro flujo con la misma entropía, entonces ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) , para alguna constante c . La noción de unicidad e isomorfismo aquí es la del isomorfismo de sistemas dinámicos . Muchos sistemas dinámicos, incluidos los billares de Sinaí y los flujos de Anosov, son isomorfos a los desplazamientos de Bernoulli.

Véase también

• Ecuación de Abel
• Función iterada
• La ecuación de Schröder
• Composiciones infinitas de funciones analíticas

Referencias

• DV Anosov (2001) [1994], "Flujo continuo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• DV Anosov (2001) [1994], "Flujo medible", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• DV Anosov (2001) [1994], "Flujo especial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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