En matemáticas , el flujo vectorial se refiere a un conjunto de conceptos estrechamente relacionados con el flujo determinado por un campo vectorial . Estos aparecen en varios contextos diferentes, entre ellos la topología diferencial , la geometría de Riemann y la teoría de grupos de Lie . Estos conceptos relacionados se exploran en una variedad de artículos:
Conceptos relevantes: (flujo, generador infinitesimal, curva integral, campo vectorial completo)
Sea V un campo vectorial suave en una variedad suave M . Existe un flujo máximo único D → M cuyo generador infinitesimal es V . Aquí D ⊆ R × M es el dominio del flujo . Para cada p ∈ M la función D p → M es la única curva integral máxima de V que comienza en p .
Un flujo global es aquel cuyo dominio de flujo es todo R × M . Los flujos globales definen acciones suaves de R sobre M . Un campo vectorial es completo si genera un flujo global. Todo campo vectorial suave sobre una variedad compacta sin borde es completo.
Conceptos relevantes: (geodésica, mapa exponencial, radio de inyectividad)
Un flujo vectorial puede considerarse como una solución del sistema de ecuaciones diferenciales inducidas por un campo vectorial. Es decir, si un campo vectorial (conservativo) es una función del espacio tangente, representa los vectores tangentes a alguna función en cada punto. Al dividir los vectores tangentes en derivadas direccionales, se puede resolver el sistema de ecuaciones diferenciales resultante para encontrar la función. En este sentido, la función es el flujo y, a la vez, induce y es inducida por el campo vectorial.
A partir de un punto, la tasa de cambio del componente i-ésimo con respecto a la parametrización del flujo (“cuánto ha actuado el flujo”) se describe mediante el componente i-ésimo del campo. Es decir, si se parametriza con L “longitud a lo largo de la trayectoria del flujo”, a medida que se avanza a lo largo del flujo con dL, el primer componente de posición cambia como lo describe el primer componente del campo vectorial en el punto desde el que se comienza, y lo mismo ocurre con todos los demás componentes.
El mapa exponencial
se define como exp( X ) = γ(1) donde γ : I → M es la única geodésica que pasa por p en 0 y cuyo vector tangente en 0 es X . Aquí I es el intervalo abierto máximo de R para el cual se define la geodésica.
Sea M una variedad pseudo-riemanniana (o cualquier variedad con una conexión afín ) y sea p un punto en M. Entonces para cada V en T p M existe una geodésica única γ : I → M para la cual γ(0) = p y sea D p el subconjunto de T p M para el cual 1 se encuentra en I.
Conceptos relevantes: (mapa exponencial, generador infinitesimal, grupo de un parámetro)
Todo campo vectorial invariante por la izquierda en un grupo de Lie es completo. La curva integral que comienza en la identidad es un subgrupo de un parámetro de G. Existen correspondencias biunívocas.
Sea G un grupo de Lie y g su álgebra de Lie. La función exponencial es una función exp : g → G dada por exp( X ) = γ(1) donde γ es la curva integral que comienza en la identidad en G generada por X .
