Billar dinámico

Sistema dinámico abstracto de un juego ideal de billar, con colisiones elásticas fuera de los límites.

Partícula en movimiento dentro del estadio Bunimovich, un conocido billar caótico. Consulta la sección Software para realizar una animación de este tipo.

Un billar dinámico es un sistema dinámico en el que una partícula alterna entre el movimiento libre (normalmente en línea recta) y las reflexiones especulares desde un límite. Cuando la partícula choca con el límite, se refleja en él sin pérdida de velocidad (es decir, colisiones elásticas). Los billares son idealizaciones hamiltonianas del juego de billar , pero donde la región contenida por el límite puede tener formas distintas a la rectangular e incluso ser multidimensional. El billar dinámico también puede estudiarse en geometrías no euclidianas ; de hecho, los primeros estudios del billar establecieron su movimiento ergódico en superficies de curvatura negativa constante . El estudio de los billares que se mantienen fuera de una región, en lugar de mantenerse en una región, se conoce como teoría del billar exterior .

El movimiento de la partícula en el billar es una línea recta, con energía constante, entre reflexiones con el límite (una geodésica si la métrica de Riemann de la mesa de billar no es plana). Todas las reflexiones son especulares : el ángulo de incidencia justo antes de la colisión es igual al ángulo de reflexión justo después de la colisión. La secuencia de reflexiones está descrita por el mapa del billar que caracteriza completamente el movimiento de la partícula.

El billar captura toda la complejidad de los sistemas hamiltonianos, desde la integrabilidad hasta el movimiento caótico , sin las dificultades de integrar las ecuaciones de movimiento para determinar su mapa de Poincaré . Birkhoff demostró que un sistema de billar con una mesa elíptica es integrable.

Ecuaciones de movimiento

El hamiltoniano para una partícula de masa m que se mueve libremente sin fricción sobre una superficie es:

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)}$

donde es un potencial diseñado para ser cero dentro de la región en la que la partícula puede moverse, e infinito en caso contrario: ${\displaystyle V(q)}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle V(q)={\begin{cases}0&q\in \Omega \\\infty &q\notin \Omega \end{cases}}}$

Esta forma del potencial garantiza una reflexión especular en el límite. El término cinético garantiza que la partícula se mueva en línea recta, sin ningún cambio de energía. Si la partícula se mueve en una variedad no euclidiana , entonces el hamiltoniano se reemplaza por:

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p^{i}p^{j}g_{ij}(q)+V(q)}$

donde es el tensor métrico en el punto . Debido a la estructura muy simple de este hamiltoniano, las ecuaciones de movimiento de la partícula, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi , no son otra cosa que las ecuaciones geodésicas de la variedad: la partícula se mueve a lo largo de geodésicas . ${\displaystyle g_{ij}(q)}$ ${\displaystyle q\;\in \;\Omega }$

Billares y clases de billar notables

El billar de Hadamard

Los billares de Hadamard se refieren al movimiento de una partícula puntual libre sobre una superficie de curvatura negativa constante, en particular, la superficie de Riemann compacta más simple con curvatura negativa, una superficie de género 2 (una rosquilla de dos agujeros). El modelo es exactamente solucionable y está dado por el flujo geodésico sobre la superficie. Es el primer ejemplo de caos determinista jamás estudiado, ya que fue introducido por Jacques Hadamard en 1898.

El billar de Artin

El billar de Artin considera el movimiento libre de una partícula puntual sobre una superficie de curvatura negativa constante, en particular, la superficie de Riemann no compacta más simple , una superficie con una cúspide. Se destaca por ser exactamente solucionable y, sin embargo, no solo ergódico sino también fuertemente mixto . Es un ejemplo de un sistema de Anosov . Este sistema fue estudiado por primera vez por Emil Artin en 1924.

Billar dispersor y semidispersor

Sea M una variedad riemanniana completa y lisa sin borde, cuya curvatura seccional máxima no es mayor que K y con un radio de inyectividad . Considérese una colección de n subconjuntos geodésicamente convexos (paredes) , , tales que sus bordes son subvariedades lisas de codimensión uno. Sea , donde denota el interior del conjunto . El conjunto se llamará mesa de billar. Considérese ahora una partícula que se mueve dentro del conjunto B con velocidad unitaria a lo largo de una geodésica hasta que alcanza uno de los conjuntos B _i (tal evento se llama colisión) donde se refleja de acuerdo con la ley “el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión” (si alcanza uno de los conjuntos , , la trayectoria no está definida después de ese momento). Tal sistema dinámico se llama billar semidispersante . Si las paredes son estrictamente convexas, entonces el billar se llama dispersante . El nombre está motivado por la observación de que un haz de trayectorias localmente paralelas se dispersa después de una colisión con una parte estrictamente convexa de una pared, pero permanece localmente paralelo después de una colisión con una sección plana de una pared. ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle B_{i}\subset M}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} (B_{i})}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B\subset M}$ ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

El límite de dispersión juega el mismo papel para los billares que la curvatura negativa para los flujos geodésicos, causando la inestabilidad exponencial de la dinámica. Es precisamente este mecanismo de dispersión el que le da a los billares dispersores sus propiedades caóticas más fuertes , como lo estableció Yakov G. Sinai . ^[1] Es decir, los billares son ergódicos , mixtos , Bernoulli , con una entropía de Kolmogorov-Sinai positiva y un decaimiento exponencial de las correlaciones .

Las propiedades caóticas del billar semidispersante en general no se comprenden muy bien, sin embargo, las de un tipo importante de billar semidispersante, el gas de bola dura , se han estudiado con cierto detalle desde 1975 (ver la siguiente sección).

Los resultados generales de Dmitri Burago y Serge Ferleger ^[2] sobre la estimación uniforme del número de colisiones en billares semidispersos no degenerados permiten establecer la finitud de su entropía topológica y no más que un crecimiento exponencial de las trayectorias periódicas. ^[3] Por el contrario, los billares semidispersos degenerados pueden tener una entropía topológica infinita. ^[4]

Gas de Lorentz, también conocido como billar del Sinaí

Una partícula que se mueve dentro del billar del Sinaí, también conocida como gas de Lorentz.

La mesa del gas de Lorentz (también conocida como billar del Sinaí) es un cuadrado con un disco retirado de su centro; la mesa es plana, no tiene curvatura. El billar surge del estudio del comportamiento de dos discos en interacción que rebotan dentro de un cuadrado, reflejándose en los límites del cuadrado y en el otro. Al eliminar el centro de masa como variable de configuración, la dinámica de dos discos en interacción se reduce a la dinámica del billar del Sinaí.

El billar fue introducido por Yakov G. Sinai como un ejemplo de un sistema hamiltoniano interactuante que muestra propiedades termodinámicas físicas: casi todas (hasta una medida cero) de sus posibles trayectorias son ergódicas y tiene un exponente de Lyapunov positivo .

El gran logro de Sinai con este modelo fue demostrar que el conjunto clásico de Boltzmann-Gibbs para un gas ideal es esencialmente el billar de Hadamard máximamente caótico.

Bola de billar que rebota

Una partícula está sometida a una fuerza constante (por ejemplo, la gravedad de la Tierra) y se dispersa de forma inelástica sobre un suelo ondulado que vibra periódicamente. Cuando el suelo está formado por arcos o círculos, en un intervalo de frecuencias determinado, se pueden dar estimaciones semianalíticas de la tasa de separación exponencial de las trayectorias. ^[5]

Estadio Bunimovich

La mesa llamada estadio de Bunimovich es un rectángulo coronado por semicírculos, una forma llamada estadio . Hasta que Leonid Bunimovich la introdujo , se creía que los billares con exponentes de Lyapunov positivos necesitaban dispersiones convexas, como el disco del billar del Sinaí, para producir la divergencia exponencial de las órbitas. Bunimovich demostró que al considerar las órbitas más allá del punto de enfoque de una región cóncava era posible obtener la divergencia exponencial.

Billar magnético

Movimiento de una partícula cargada dentro de un billar del Sinaí con campo magnético perpendicular.

Los billares magnéticos son juegos en los que una partícula cargada se propaga en presencia de un campo magnético perpendicular. Como resultado, la trayectoria de la partícula cambia de una línea recta a un arco de círculo. El radio de este círculo es inversamente proporcional a la intensidad del campo magnético. Estos billares han sido útiles en aplicaciones del mundo real del billar, por lo general en el modelado de nanodispositivos (consulte Aplicaciones).

Billar generalizado

Las leyes generalizadas de billar (GB) describen el movimiento de un punto de masa (una partícula) dentro de un dominio cerrado con un límite liso por partes . En el límite, la velocidad del punto se transforma a medida que la partícula sufre la acción de la ley generalizada de billar. Las GB fueron introducidas por Lev D. Pustyl'nikov en el caso general, ^[6] y, en el caso cuando es un paralelepípedo ^[7] en relación con la justificación de la segunda ley de la termodinámica . Desde el punto de vista físico, las GB describen un gas que consta de un número finito de partículas que se mueven en un recipiente, mientras que las paredes del recipiente se calientan o se enfrían. La esencia de la generalización es la siguiente. Cuando la partícula golpea el límite , su velocidad se transforma con la ayuda de una función dada , definida en el producto directo (donde es la línea real, es un punto del límite y es el tiempo), de acuerdo con la siguiente ley. Supongamos que la trayectoria de la partícula, que se mueve con la velocidad , se cruza en el punto en el tiempo . Entonces, en el momento la partícula adquiere la velocidad , como si sufriera un empuje elástico desde el plano infinitamente pesado , que es tangente a en el punto , y en el momento se mueve a lo largo de la normal a en con la velocidad . Destacamos que la posición del límite en sí es fija, mientras que su acción sobre la partícula está definida a través de la función . ${\displaystyle \Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$ ${\displaystyle \Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }$ ${\displaystyle t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \,\in \,\Gamma }$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})}$ ${\displaystyle f}$

Consideramos que la dirección positiva del movimiento del avión es hacia el interior de . Por lo tanto, si la derivada es , entonces la partícula se acelera después del impacto. ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0}$

Si la velocidad , adquirida por la partícula como resultado de la ley de reflexión anterior, se dirige hacia el interior del dominio , entonces la partícula abandonará el límite y continuará moviéndose hacia adentro hasta la siguiente colisión con . Si la velocidad se dirige hacia el exterior de , entonces la partícula permanece en el punto hasta que en algún momento la interacción con el límite la obligará a abandonarlo. ${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle v^{*}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {t}}\;>\;t^{*}}$

Si la función no depende del tiempo , es decir, el billar generalizado coincide con el clásico. ${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0}$

Esta ley de reflexión generalizada es muy natural. En primer lugar, refleja un hecho evidente: las paredes del recipiente con gas están inmóviles. En segundo lugar, la acción de la pared sobre la partícula sigue siendo el empuje elástico clásico. En esencia, consideramos límites que se mueven infinitesimalmente con velocidades dadas.

Se considera la reflexión desde la frontera tanto en el marco de la mecánica clásica (caso newtoniano) como de la teoría de la relatividad (caso relativista). ${\displaystyle \Gamma }$

Resultados principales: en el caso newtoniano la energía de la partícula está acotada, la entropía de Gibbs es una constante, ^{[7] [8] [9]} (en Notas) y en el caso relativista la energía de la partícula, la entropía de Gibbs, la entropía con respecto al volumen de la fase crece hasta el infinito, ^{[7] [9]} (en Notas), referencias al billar generalizado.

Caos cuántico

La versión cuántica del billar se estudia fácilmente de varias maneras. El hamiltoniano clásico para el billar, dado anteriormente, se reemplaza por la ecuación de Schrödinger en estado estacionario o, más precisamente, ${\displaystyle H\psi \;=\;E\psi }$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(q)=E_{n}\psi _{n}(q)}$

¿Dónde está el laplaciano ? El potencial que es infinito fuera de la región pero cero dentro de ella se traduce en las condiciones de contorno de Dirichlet : ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \psi _{n}(q)=0\quad {\mbox{for}}\quad q\notin \Omega }$

Como es habitual, las funciones de onda se consideran ortonormales :

${\displaystyle \int _{\Omega }{\overline {\psi _{m}}}(q)\psi _{n}(q)\,dq=\delta _{mn}}$

Curiosamente, la ecuación de Schrödinger de campo libre es la misma que la ecuación de Helmholtz ,

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi =0}$

con

${\displaystyle k^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}2mE_{n}}$

Esto implica que los billares cuánticos bidimensionales y tridimensionales pueden ser modelados por los modos de resonancia clásicos de una cavidad de radar de una forma dada, abriendo así una puerta a la verificación experimental. (El estudio de los modos de cavidad de radar debe limitarse a los modos magnéticos transversales (TM), ya que estos son los que obedecen las condiciones de contorno de Dirichlet).

El límite semiclásico corresponde a lo que se puede ver que es equivalente a , aumentando la masa de manera que se comporta de manera clásica. ${\displaystyle \hbar \;\to \;0}$ ${\displaystyle m\;\to \;\infty }$

Como enunciado general, se puede decir que siempre que las ecuaciones clásicas de movimiento sean integrables (por ejemplo, mesas de billar rectangulares o circulares), entonces la versión mecánico-cuántica del billar es completamente solucionable. Cuando el sistema clásico es caótico, entonces el sistema cuántico generalmente no es exactamente solucionable, y presenta numerosas dificultades en su cuantificación y evaluación. El estudio general de los sistemas cuánticos caóticos se conoce como caos cuántico .

Un ejemplo particularmente llamativo de cicatrices en una mesa elíptica lo da la observación del llamado espejismo cuántico .

Aplicaciones

El billar, tanto cuántico como clásico, se ha aplicado en varias áreas de la física para modelar sistemas del mundo real bastante diversos. Los ejemplos incluyen óptica de rayos , ^[10] láseres , ^{[11] [12]} acústica , ^[13] fibras ópticas (por ejemplo, fibras de doble revestimiento ^{[14] [15]} ) o correspondencia cuántico-clásica. ^[16] Una de sus aplicaciones más frecuentes es modelar partículas que se mueven dentro de nanodispositivos, por ejemplo, puntos cuánticos , ^{[17] [18]} uniones pn , ^[19] superredes antidot, ^{[20] [21]} entre otros. La razón de esta efectividad ampliamente extendida del billar como modelos físicos reside en el hecho de que en situaciones con una pequeña cantidad de desorden o ruido, el movimiento de, por ejemplo, partículas como electrones o rayos de luz, es muy similar al movimiento de las partículas puntuales en el billar. Además, la naturaleza de conservación de energía de las colisiones de partículas es un reflejo directo de la conservación de energía de la mecánica hamiltoniana.

Software

Existen programas de código abierto para simular billar en varios lenguajes de programación. Los programas existentes, desde el más reciente hasta el más antiguo, son: DynamicalBilliards.jl (Julia), Bill2D (C++) y Billiard Simulator (Matlab). Las animaciones que aparecen en esta página se realizaron con DynamicalBilliards.jl.

Véase también

• Modelo de Fermi-Ulam (billar con paredes oscilantes )
• El algoritmo de compresión de Lubachevsky-Stillinger simula esferas duras que chocan no solo con los límites sino también entre sí mientras crecen en tamaño ^[15]
• Billar aritmético
• Problema de iluminación

Notas

1. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2013-12-31 . Consultado el 2014-06-06 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
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Referencias

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• Animación Flash que ilustra el caótico Estadio Bunimovich

Billar generalizado

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Billar". MundoMatemático .
• Entrada de Scholarpedia sobre el billar dinámico (Leonid Bunimovich)
• Introducción a los sistemas dinámicos mediante billar, Instituto Max Planck de Física de Sistemas Complejos