Álgebra tensorial

Construcción universal en álgebra multilineal

En matemáticas , el álgebra tensorial de un espacio vectorial V , denotada T ( V ) o T ^• ( V ), es el álgebra de tensores sobre V (de cualquier rango) siendo la multiplicación el producto tensorial . Es el álgebra libre sobre V , en el sentido de ser adjunta izquierda al funtor olvidadizo de las álgebras de espacios vectoriales: es el álgebra "más general" que contiene a V , en el sentido de la propiedad universal correspondiente (ver más abajo).

El álgebra tensorial es importante porque muchas otras álgebras surgen como álgebras cocientes de T ( V ). Estas incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras envolventes universales .

El álgebra tensorial también tiene dos estructuras de coalgebra : una simple, que no la convierte en una biálgebra, pero que conduce al concepto de una coalgebra co-libre , y una más complicada, que produce una biálgebra , y puede extenderse dando un antípoda para crear una estructura de álgebra de Hopf .

Nota : En este artículo, se supone que todas las álgebras son unitarias y asociativas . La unidad es un requisito explícito para definir el coproducto .

Construcción

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Para cualquier entero no negativo k , definimos la k- ésima potencia tensorial de V como el producto tensorial de V consigo mismo k veces:

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.}$

Es decir, T ^k V consta de todos los tensores en V de orden k . Por convención, T ⁰ V es el campo fundamental K (como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo).

Luego construimos T ( V ) como la suma directa de T ^k V para k = 0,1,2,…

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

La multiplicación en T ( V ) está determinada por el isomorfismo canónico

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

dada por el producto tensorial, que luego se extiende por linealidad a todo T ( V ). Esta regla de multiplicación implica que el álgebra tensorial T ( V ) es naturalmente un álgebra graduada con T ^k V sirviendo como el subespacio de grado k . Esta graduación se puede extender a una graduación Z añadiendo subespacios para números enteros negativos k . ${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$

La construcción se generaliza de manera directa al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo . Si R es un anillo no conmutativo , aún se puede realizar la construcción para cualquier bimódulo R - R M. (No funciona para los R -módulos ordinarios porque no se pueden formar los productos tensoriales iterados).

Adjunción y propiedad universal

El álgebra tensorial T ( V ) también se denomina álgebra libre en el espacio vectorial V , y es functorial ; esto significa que la función se extiende a funciones lineales para formar un funtor desde la categoría de K -espacios vectoriales a la categoría de álgebras asociativas . De manera similar con otras construcciones libres , el funtor T es adjunto por la izquierda al funtor olvidadizo que envía cada K -álgebra asociativa a su espacio vectorial subyacente. ${\displaystyle V\mapsto T(V)}$

Explícitamente, el álgebra tensorial satisface la siguiente propiedad universal , que expresa formalmente la afirmación de que es el álgebra más general que contiene a V :

Cualquier mapa lineal de V a un álgebra asociativa A sobre K se puede extender de forma única a un homomorfismo de álgebra de T ( V ) a A como lo indica el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle f:V\to A}$

Propiedad universal del álgebra tensorial

Aquí i es la inclusión canónica de V en T ( V ) . En cuanto a otras propiedades universales, el álgebra tensorial T ( V ) se puede definir como la única álgebra que satisface esta propiedad (específicamente, es única hasta un isomorfismo único), pero esta definición requiere probar que existe un objeto que satisface esta propiedad.

La propiedad universal anterior implica que T es un funtor de la categoría de espacios vectoriales sobre K a la categoría de K -álgebras. Esto significa que cualquier función lineal entre K -espacios vectoriales U y W se extiende únicamente a un homomorfismo de K -álgebras de T ( U ) a T ( W ) .

Polinomios no conmutativos

Si V tiene dimensión finita n , otra forma de ver el álgebra tensorial es como el "álgebra de polinomios sobre K en n variables no conmutativas". Si tomamos vectores base para V , estos se convierten en variables no conmutativas (o indeterminadas ) en T ( V ), sin estar sujetos a restricciones más allá de la asociatividad , la ley distributiva y la K -linealidad .

Nótese que el álgebra de polinomios en V no es , sino más bien : una función lineal (homogénea) en V es un elemento de por ejemplo, las coordenadas en un espacio vectorial son covectores , ya que toman un vector y dan como resultado un escalar (la coordenada dada del vector). ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle T(V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$

Cocientes

Debido a la generalidad del álgebra tensorial, se pueden construir muchas otras álgebras de interés comenzando con el álgebra tensorial y luego imponiendo ciertas relaciones a los generadores, es decir, construyendo ciertas álgebras cocientes de T ( V ). Ejemplos de esto son el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras envolventes universales .

Coálgebra

El álgebra tensorial tiene dos estructuras coalgebrales diferentes . Una es compatible con el producto tensorial y, por lo tanto, se puede extender a una biálgebra y, a su vez, se puede extender con un antípoda a una estructura de álgebra de Hopf . La otra estructura, aunque más simple, no se puede extender a una biálgebra. La primera estructura se desarrolla inmediatamente a continuación; la segunda estructura se da en la sección sobre la coalgebra colibre , más adelante.

El desarrollo que se proporciona a continuación se puede aplicar igualmente al álgebra exterior , utilizando el símbolo de cuña en lugar del símbolo de tensor ; también se debe tener en cuenta un signo al permutar elementos del álgebra exterior. Esta correspondencia también dura hasta la definición de la biálgebra y hasta la definición de un álgebra de Hopf. Es decir, al álgebra exterior también se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$

De manera similar, al álgebra simétrica también se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf, exactamente de la misma manera, reemplazando en todas partes el producto tensorial por el producto tensorial simetrizado , es decir, aquel producto donde ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$ ${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

En cada caso, esto es posible porque el producto alternado y el producto simétrico cumplen las condiciones de consistencia requeridas para la definición de una biálgebra y un álgebra de Hopf; esto se puede comprobar explícitamente de la siguiente manera. Siempre que se tenga un producto que cumpla estas condiciones de consistencia, la construcción se lleva a cabo; en la medida en que dicho producto haya dado lugar a un espacio cociente, el espacio cociente hereda la estructura del álgebra de Hopf. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , se dice que hay un funtor T de la categoría de K -espacios vectoriales a la categoría de K -álgebras asociativas. Pero también hay un funtor Λ que lleva espacios vectoriales a la categoría de álgebras exteriores, y un funtor Sym que lleva espacios vectoriales a álgebras simétricas. Hay una función natural de T a cada una de estas. Verificar que el cociente preserva la estructura del álgebra de Hopf es lo mismo que verificar que las funciones son, de hecho, naturales.

Coproducto

La coalgebra se obtiene definiendo un coproducto u operador diagonal

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Aquí, se utiliza como una forma abreviada de evitar una explosión de paréntesis. El símbolo se utiliza para denotar el producto tensorial "externo", necesario para la definición de una coalgebra. Se utiliza para distinguirlo del producto tensorial "interno" , que ya se utiliza para denotar la multiplicación en el álgebra tensorial (consulte la sección Multiplicación , a continuación, para obtener más aclaraciones sobre este tema). Para evitar la confusión entre estos dos símbolos, la mayoría de los textos lo reemplazarán por un simple punto, o incluso lo eliminarán por completo, con el entendimiento de que está implícito en el contexto. Esto permite que el símbolo se use en lugar del símbolo. Esto no se hace a continuación, y los dos símbolos se usan de forma independiente y explícita, para mostrar la ubicación adecuada de cada uno. El resultado es un poco más detallado, pero debería ser más fácil de comprender. ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

La definición del operador se construye más fácilmente en etapas, primero definiéndolo para los elementos y luego extendiéndolo homomórficamente a todo el álgebra. Una elección adecuada para el coproducto es entonces ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\in V\subset TV}$

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

y

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

donde es la unidad del campo . Por linealidad, obviamente se tiene ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

para todos Es sencillo verificar que esta definición satisface los axiomas de una coalgebra: es decir, que ${\displaystyle k\in K.}$

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

¿Dónde está el mapa de identidad en ? De hecho, uno obtiene ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$ ${\displaystyle TV}$

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

y lo mismo para el otro lado. En este punto, se podría invocar un lema y decir que se extiende trivialmente, por linealidad, a todos los , porque es un objeto libre y es un generador del álgebra libre, y es un homomorfismo. Sin embargo, es perspicaz proporcionar expresiones explícitas. Entonces, para , se tiene (por definición) el homomorfismo ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Expandiéndose, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

En la expansión anterior, no hay necesidad de escribir nunca, ya que se trata simplemente de una simple multiplicación escalar en el álgebra; es decir, uno tiene trivialmente que ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

La extensión anterior conserva la calificación del álgebra. Es decir,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

Continuando de esta manera, se puede obtener una expresión explícita para el coproducto que actúa sobre un elemento homogéneo de orden m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

donde el símbolo, que debería aparecer como ш, el sha, denota el producto de la mezcla . Esto se expresa en la segunda suma, que se toma sobre todas las mezclas ( p , m − p ) . La mezcla es ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}$

Por convención, se supone que Sh( m, 0) y Sh(0, m ) son iguales a {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. También es conveniente tomar los productos tensoriales puros y como iguales a 1 para p = 0 y p = m , respectivamente (el producto vacío en ). La mezcla se sigue directamente del primer axioma de un coálgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en la mezcla riffle: la mezcla riffle simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle v_{k}}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

donde los productos están en , y donde la suma es sobre todos los subconjuntos de . ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

Como antes, se conserva la calificación del álgebra:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

Conde

La counit se da por la proyección del componente de campo desde el álgebra. Esto se puede escribir como para y para . Por homomorfismo bajo el producto tensorial , esto se extiende a ${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

Es sencillo verificar que este conteo satisface el axioma necesario para la coalgebra : ${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Trabajando esto explícitamente, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

donde, para el último paso, se ha hecho uso del isomorfismo , como corresponde al axioma definitorio del conteo. ${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$

Biálgebra

Una biálgebra define tanto la multiplicación como la comultiplicación y requiere que sean compatibles.

Multiplicación

La multiplicación se da mediante un operador

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

que, en este caso, ya estaba dado como producto tensorial "interno". Es decir,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

Es decir, lo anterior debería dejar en claro por qué se necesita usar el símbolo: en realidad, el era una y la misma cosa que ; y la falta de precisión en la notación aquí llevaría a un caos absoluto. Para reforzar esto: el producto tensorial del álgebra tensorial corresponde a la multiplicación utilizada en la definición de un álgebra, mientras que el producto tensorial es el requerido en la definición de comultiplicación en una coalgebra. ¡Estos dos productos tensoriales no son lo mismo! ${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Unidad

La unidad para el álgebra

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

es solo la incrustación, de modo que

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

Que la unidad sea compatible con el producto tensorial es "trivial": es simplemente parte de la definición estándar del producto tensorial de espacios vectoriales. Es decir, para el elemento de cuerpo k y cualquier Más detalladamente, los axiomas para un álgebra asociativa requieren los dos homomorfismos (o diagramas conmutativos): ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k\otimes x=kx}$ ${\displaystyle x\in TV.}$

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

en , y que simétricamente, en , que ${\displaystyle K\boxtimes TV}$ ${\displaystyle TV\boxtimes K}$

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

donde el lado derecho de estas ecuaciones debe entenderse como el producto escalar.

Compatibilidad

La unidad y el conteo, y la multiplicación y la comultiplicación, deben satisfacer condiciones de compatibilidad. Es fácil ver que

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

De manera similar, la unidad es compatible con la comultiplicación:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Lo anterior requiere el uso del isomorfismo para funcionar; sin esto, se pierde la linealidad. ${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

con el lado derecho haciendo uso del isomorfismo.

La multiplicación y el conteo son compatibles:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

siempre que x o y no sean elementos de , y en caso contrario, se tiene multiplicación escalar en el campo: Lo más difícil de verificar es la compatibilidad de la multiplicación y la comultiplicación: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

donde intercambia elementos. La condición de compatibilidad solo necesita verificarse en ; la compatibilidad total se deduce como una extensión homomórfica para todos los de La verificación es detallada pero sencilla; no se proporciona aquí, excepto para el resultado final: ${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$ ${\displaystyle V\subset TV}$ ${\displaystyle TV.}$

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

Una expresión explícita para esto fue dada en la sección de coalgebra, más arriba. ${\displaystyle v,w\in V,}$

Álgebra de Hopf

El álgebra de Hopf añade un antípoda a los axiomas de la biálgebra. El antípoda de está dado por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$

${\displaystyle S(k)=k}$

A esto a veces se le llama la "antiidentidad". El antípoda de está dado por ${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$

${\displaystyle S(v)=-v}$

y por ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

Esto se extiende homomórficamente a

${\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}$

Compatibilidad

La compatibilidad del antípoda con la multiplicación y la comultiplicación requiere que

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Esto es fácil de verificar componente por componente : ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

De manera similar, en : ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Recuerde que

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

Y eso

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

Para cualquiera que no esté en ${\displaystyle x\in TV}$ ${\displaystyle K.}$

Se puede proceder de manera similar, por homomorfismo, verificando que el antípoda inserta los signos cancelativos apropiados en la mezcla, comenzando con la condición de compatibilidad activada y procediendo por inducción. ${\displaystyle T^{2}V}$

Coálgebra cocompleta colibre

Se puede definir un coproducto diferente en el álgebra tensorial, más simple que el dado anteriormente. Se da por

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

Aquí, como antes, se utiliza el truco de la notación (recordándolo trivialmente). ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K}$ ${\displaystyle v\otimes 1=v}$

Este coproducto da lugar a una coalgebra. Describe una coalgebra que es dual a la estructura del álgebra en T ( V ^∗ ), donde V ^∗ denota el espacio vectorial dual de las aplicaciones lineales V → F . De la misma manera que el álgebra tensorial es un álgebra libre , la coalgebra correspondiente se denomina co-libre cocompleta. Con el producto habitual, no es una biálgebra. Puede convertirse en una biálgebra con el producto donde (i,j) denota el coeficiente binomial para . Esta biálgebra se conoce como álgebra de Hopf de potencia dividida . ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

La diferencia entre ésta y la otra coálgebra se ve más fácilmente en el término. Aquí, uno tiene que ${\displaystyle T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1}$

para , donde claramente falta un término mezclado, en comparación con antes. ${\displaystyle v,w\in V}$

Véase también

• Espacio vectorial trenzado
• Álgebra de Hopf trenzada
• Categoría monoidal
• Álgebra multilineal
• Espacio de mierda

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra I. Capítulos 1-3. Elementos de matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 3-540-64243-9. (Véase el Capítulo 3 §5)

• Serge Lang (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (3.ª ed.), Springer Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4