Coalgebra cofree

En álgebra , la co-coalgebra libre de un espacio vectorial o módulo es una co-coalgebra análoga del álgebra libre de un espacio vectorial. La co-coalgebra libre de cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo existe, aunque es más complicada de lo que se podría esperar por analogía con el álgebra libre.

Definición

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo F , entonces la coalgebra libre C  ( V ), de V , es una coalgebra junto con una función lineal C  ( V ) → V , tal que cualquier función lineal de una coalgebra X a V se factoriza a través de un homomorfismo de coalgebra de X a C  ( V ). En otras palabras, el funtor C es adjunto derecho al funtor olvidadizo de coalgebras a espacios vectoriales.

La coálgebra libre de un espacio vectorial siempre existe y es única hasta el isomorfismo canónico .

Las coalgebras co-conmutativas co-libres se definen de manera similar y pueden construirse como la coalgebra co-conmutativa más grande en la coalgebra co-libre.

Construcción

C  ( V ) puede construirse como una compleción de la coalgebra tensorial T ( V ) de V . Para k ∈ N = {0, 1, 2, ...}, sea T ^k V la potencia tensorial k -vez de V :

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,}$

con T ⁰ V = F , y T ¹ V = V . Entonces T ( V ) es la suma directa de todos los T ^k V :

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

Además de la estructura de álgebra graduada dada por los isomorfismos del producto tensorial T ^j V ⊗ T ^k V → T ^{j + k} V para j , k ∈ N , T ( V ) tiene una estructura de coalgebra graduada Δ : T ( V ) → T ( V ) ⊠ T ( V ) definida extendiendo

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

por linealidad a todo T ( V ).

Aquí, el símbolo de producto tensorial ⊠ se utiliza para indicar el producto tensorial utilizado para definir una coalgebra; no debe confundirse con el producto tensorial ⊗, que se utiliza para definir el operador de multiplicación bilineal del álgebra tensorial. Los dos actúan en espacios diferentes, sobre objetos diferentes. Se puede encontrar una discusión adicional sobre este punto en el artículo sobre álgebra tensorial .

La suma anterior utiliza un truco abreviado, definiendo como la unidad en el campo . Por ejemplo, este truco abreviado da, para el caso de en la suma anterior, el resultado que ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1}$

para . De manera similar, para y , se obtiene ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle v,w\in V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.}$

Tenga en cuenta que no es necesario escribir nunca, ya que se trata simplemente de una simple multiplicación escalar en el álgebra; es decir, uno tiene trivialmente que ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

Con el producto usual, este coproducto no convierte a T ( V ) en una biálgebra , sino que es dual a la estructura del álgebra en T ( V ^∗ ), donde V ^∗ denota el espacio vectorial dual de las aplicaciones lineales V → F . Se puede convertir en una biálgebra con el producto donde (i,j) denota el coeficiente binomial . Esta biálgebra se conoce como álgebra de Hopf de potencia dividida . El producto es dual a la estructura de coalgebra en T ( V ^∗ ), lo que convierte al álgebra tensorial en una biálgebra. ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

Aquí un elemento de T ( V ) define una forma lineal en T ( V ^∗ ) utilizando los emparejamientos no degenerados

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

inducida por la evaluación, y la dualidad entre el coproducto en T ( V ) y el producto en T ( V ^∗ ) significa que

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

Esta dualidad se extiende a un emparejamiento no degenerado

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

dónde

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

es el producto directo de las potencias tensoriales de V . (La suma directa T ( V ) es el subespacio del producto directo para el cual solo un número finito de componentes son distintos de cero). Sin embargo, el coproducto Δ en T ( V ) solo se extiende a una función lineal

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

con valores en el producto tensorial completo , que en este caso es

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

y contiene el producto tensorial como un subespacio propio:

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ s.t. }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

La coalgebra tensorial completa C  ( V ) es el subespacio C más grande   que satisface

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ and }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

lo cual existe porque si C ₁ y C ₂ satisfacen estas condiciones, entonces también lo hace su suma C ₁ + C ₂ .

Resulta ^[1] que C  ( V ) es el subespacio de todos los elementos representativos :

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

Además, por el principio de finitud para coalgebras, cualquier f ∈ C  ( V ) debe pertenecer a una subcoálgebra de dimensión finita de C  ( V ). Usando el emparejamiento de dualidad con T ( V ^∗ ), se deduce que f ∈ C  ( V ) si y solo si el núcleo de f en T ( V ^∗ ) contiene un ideal bilateral de codimensión finita. De manera equivalente,

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

es la unión de los aniquiladores I  ⁰ de los ideales de codimensión finita I   en T ( V ^∗ ), que son isomorfos a los duales de los cocientes del álgebra de dimensión finita T ( V ^∗ )/ I .

Ejemplo

Cuando V = F , T ( V ^∗ ) es el álgebra polinómica F [ t ] en una variable t , y el producto directo

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

puede identificarse con el espacio vectorial F [[ τ ]] de la serie de potencias formales

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}}$

en un τ indeterminado . El coproducto Δ en el subespacio F [ τ ] está determinado por

${\displaystyle \Delta (\tau ^{k})=\sum _{i+j=k}\tau ^{i}\otimes \tau ^{j}}$

y C  ( V ) es el subespacio más grande de F [[ τ ]] en el que esto se extiende a una estructura de coalgebra.

La dualidad F [[ τ ]] × F [ t ] → F está determinada por τ ^j ( t ^k ) = δ _jk de modo que

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}b_{k}t^{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b_{k}.}$

Si se pone t = τ ⁻¹ , este es el término constante en el producto de dos series formales de Laurent . Por lo tanto, dado un polinomio p ( t ) con término principal t ^N , la serie formal de Laurent

${\displaystyle {\frac {\tau ^{j-N}}{p(\tau ^{-1})}}={\frac {\tau ^{j}}{\tau ^{N}p(\tau ^{-1})}}}$

es una serie de potencias formales para cualquier j ∈ N , y aniquila el ideal I ( p ) generado por p para j < N . Como F [ t ]/ I ( p ) tiene dimensión N , estas series de potencias formales abarcan el aniquilador de I ( p ). Además, todas pertenecen a la localización de F [ τ ] en el ideal generado por τ , es decir, tienen la forma f ( τ )/ g ( τ ) donde f y g son polinomios, y g tiene un término constante distinto de cero. Este es el espacio de funciones racionales en τ que son regulares en cero. Por el contrario, cualquier función racional propia aniquila un ideal de la forma I ( p ).

Cualquier ideal no nulo de F [ t ] es principal , con cociente de dimensión finita. Por lo tanto, C  ( V ) es la suma de los aniquiladores de los ideales principales I ( p ), es decir, el espacio de funciones racionales regulares en cero.

Referencias

1. Hazewinkel 2003

• Block, Richard E.; Leroux, Pierre (1985), "Coalgebras duales generalizadas de álgebras, con aplicaciones a las coalgebras libres", Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN  0022-4049, MR  0782637
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Coalgebras libres de cobalto y recursividad multivariable", Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi :10.1016/S0022-4049(03)00013-6, ISSN  0022-4049, MR  1992043
• Coalgebra libre de coágulos en el laboratorio n