carbongebra

Espacio vectorial V equipado con un mapa lineal V → V ⊗ V

En matemáticas , las coalgebras o cogebras son estructuras que son duales (en el sentido teórico de categorías de flechas invertidas ) a álgebras asociativas unitales . Los axiomas de las álgebras asociativas unitales se pueden formular en términos de diagramas conmutativos . Girando todas las flechas se obtienen los axiomas de las coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad ( espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general al revés. En dimensiones finitas, esta dualidad va en ambas direcciones (ver más abajo).

Las coalgebras ocurren naturalmente en varios contextos (por ejemplo, teoría de la representación , álgebras envolventes universales y esquemas de grupos ).

También existen las F-coalgebras , con importantes aplicaciones en informática .

Discusión informal

Un ejemplo frecuente de coalgebras ocurre en la teoría de la representación y, en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea primordial, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y de espín . Para ello se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas con momentos angulares y , una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total dado el estado combinado . Esto lo proporciona el operador de momento angular total , que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Puede escribirse como un producto tensorial "externo". ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle j_{A}}$ ${\displaystyle j_{B}}$ ${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$ ${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

La palabra "externo" aparece aquí, en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también puede estar equipado con un segundo producto tensor, el "externo", o el coproducto , que tiene la forma anterior. Se enfatiza que son dos productos diferentes al recordar que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es simplemente una simple multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este contexto, el coproducto es el mapa.

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

eso toma

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Para este ejemplo, se puede tomar como una de las representaciones de espín del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección de sentido común. Este coproducto se puede elevar a toda el álgebra tensorial, mediante un lema simple que se aplica a objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre , por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto se puede extender a toda el álgebra. Al examinar el levantamiento en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto aleatorio , esencialmente porque los dos factores anteriores, la izquierda y la derecha, deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$

La forma peculiar de que aparezca solo una vez en el coproducto, en lugar de (por ejemplo) definir, es para mantener la linealidad: para este ejemplo (y para la teoría de la representación en general), el coproducto debe ser lineal. Como regla general, el coproducto en la teoría de la representación es reducible; los factores vienen dados por la regla de Littlewood-Richardson . (La regla de Littlewood-Richardson transmite la misma idea que los coeficientes de Clebsch-Gordan, pero en un contexto más general). ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

La definición formal de coalgebra que figura a continuación abstrae este caso especial particular y sus propiedades requeridas en un entorno general.

Definicion formal

Formalmente, una coalgebra sobre un campo K es un espacio vectorial C sobre K junto con K -maps lineales Δ: C → C ⊗ C y ε: C → K tales que

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Aquí ⊗ se refiere al producto tensorial sobre K e id es la función identidad ).

De manera equivalente, los dos diagramas siguientes conmutan :

En el primer diagrama, C ⊗ ( C ⊗ C ) se identifica con ( C ⊗ C ) ⊗ C ; los dos son naturalmente isomórficos . ^[1] De manera similar, en el segundo diagrama se identifican los espacios naturalmente isomorfos C , C ⊗ K y K ⊗ C. ^[2]

El primer diagrama es el dual del que expresa la asociatividad de la multiplicación del álgebra (llamada coasociatividad de la comultiplicación); el segundo diagrama es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa . En consecuencia, el mapa Δ se llama comultiplicación ( o coproducto ) de C y ε es elunidad deC.​

Ejemplos

Tome un conjunto arbitrario S y forme el K -espacio vectorial C = K ^{( S )} con base S , de la siguiente manera. Los elementos de este espacio vectorial C son aquellas funciones de S a K que asignan todos los elementos de S , excepto un número finito, a cero; identifique el elemento s de S con la función que asigna s a 1 y todos los demás elementos de S a 0. Defina

Δ( s ) = s ⊗ s y ε( s ) = 1 para todo s en S .

Por linealidad, tanto Δ como ε pueden extenderse de forma única a todo C. El espacio vectorial C se convierte en una coalgebra con comultiplicación Δ y unidad ε.

Como segundo ejemplo, considere el anillo polinómico K [ X ] en un X indeterminado . Esto se convierte en una coalgebra (la coalgebra de potencia dividida ^{[3] [4]} ) si para todo n ≥ 0 se define:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Nuevamente, debido a la linealidad, esto es suficiente para definir Δ y ε de forma única en todo K [ X ]. Ahora bien, K [ X ] es a la vez un álgebra asociativa unital y una coalgebra, y las dos estructuras son compatibles. Objetos como éste se denominan biálgebras y, de hecho, la mayoría de las coalgebras importantes consideradas en la práctica son biálgebras.

Ejemplos de coalgebras incluyen el álgebra tensorial , el álgebra exterior , las álgebras de Hopf y las biálgebras de Lie . A diferencia del caso polinomial anterior, ninguno de estos es conmutativo. Por lo tanto, el coproducto se convierte en el producto aleatorio , en lugar de la estructura de poder dividido mencionada anteriormente. El producto aleatorio es apropiado porque preserva el orden de los términos que aparecen en el producto, como lo necesitan las álgebras no conmutativas.

La homología singular de un espacio topológico forma una coalgebra graduada siempre que se cumple el isomorfismo de Künneth , por ejemplo, si los coeficientes se consideran un campo. ^[5]

Si C es el espacio vectorial K con base { s , c }, considere Δ: C → C ⊗ C está dado por

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s

y ε: C → K está dado por

ε( s ) = 0

ε( c ) = 1

En esta situación, ( C , Δ, ε) es una coalgebra conocida como coalgebra trigonométrica . ^{[6] [7]}

Para un poset P localmente finito con un conjunto de intervalos J , defina la coalgebra de incidencia C con J como base. La comultiplicación y la unidad se definen como

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ for }}x\leq z\ .}$

${\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}$

Los intervalos de longitud cero corresponden a puntos de P y son elementos similares a grupos. ^[8]

Dimensiones finitas

En dimensiones finitas, la dualidad entre álgebras y coalgebras es más cercana: el dual de un álgebra de dimensión finita (asociativa unital) es una coalgebra, mientras que el dual de una coalgebra de dimensión finita es un álgebra (asociativa unital). En general, el dual de un álgebra puede no ser una coalgebra.

El punto clave es que en dimensiones finitas, ( A ⊗ A ) ^∗ y A ^∗ ⊗ A ^∗ son isomórficos.

Para distinguirlos: en general, álgebra y coalgebra son nociones duales (lo que significa que sus axiomas son duales: invierta las flechas), mientras que para dimensiones finitas, también son objetos duales (lo que significa que una coalgebra es el objeto dual de un álgebra y viceversa). ).

Si A es una K -álgebra asociativa unital de dimensión finita , entonces su K -dual A ^∗ que consta de todos los K -maps lineales de A a K es una coalgebra. La multiplicación de A puede verse como un mapa lineal A ⊗ A → A , que cuando se dualiza produce un mapa lineal A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . En el caso de dimensión finita, ( A ⊗ A ) ^∗ es naturalmente isomorfo a A ^∗ ⊗ A ^∗ , por lo que esto define una comultiplicación en A ^∗ . La unidad de A ^∗ viene dada evaluando funcionales lineales en 1.

Notación de Sweedler

Cuando se trabaja con coalgebras, una determinada notación para la comultiplicación simplifica considerablemente las fórmulas y se ha vuelto bastante popular. Dado un elemento c de la coalgebra ( C , Δ, ε), existen elementos c^{( yo  )}
₍₁₎y C^{( yo  )}
₍₂₎en C tal que

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

Tenga en cuenta que ni el número de términos de esta suma ni los valores exactos de cada uno o están determinados de forma única por ; sólo hay una promesa de que hay un número finito de términos y que la suma total de todos estos términos tiene el valor correcto . ${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}$ ${\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$ ${\displaystyle \Delta (c)}$

En la notación de Sweedler , ^[9] (llamada así en honor a Moss Sweedler ), esto se abrevia como

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

El hecho de que ε sea una unidad se puede expresar con la siguiente fórmula

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Aquí se entiende que las sumas tienen el mismo número de términos, y las mismas listas de valores para y , que en la suma anterior para . ${\displaystyle c_{(1)}}$ ${\displaystyle c_{(2)}}$ ${\displaystyle \Delta (c)}$

La coasociatividad de Δ se puede expresar como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

En la notación de Sweedler, ambas expresiones se escriben como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Algunos autores también omiten los símbolos de suma; en esta notación resumida de Sweedler, se escribe

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

y

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Siempre que se encuentra una variable con un índice reducido y entre paréntesis en una expresión de este tipo, se implica un símbolo de suma para esa variable.

Otros conceptos y hechos

Una coalgebra ( C , Δ, ε ) se llama co-commutativa si , donde σ: C ⊗ C → C ⊗ C es el mapa lineal K definido por σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c para todo c , d en C . En la notación sin suma de Sweedler, C es co-conmutativo si y sólo si ${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

para todo c en C . (Es importante comprender que la suma implícita es significativa aquí: no se requiere que todos los sumandos sean iguales por pares, solo que las sumas sean iguales, un requisito mucho más débil).

Un elemento tipo grupo (o elemento tipo conjunto ) es un elemento x tal que Δ( x ) = x ⊗ x y ε ( x ) = 1 . Al contrario de lo que sugiere esta convención de nomenclatura, los elementos grupales no siempre forman un grupo y, en general, sólo forman un conjunto. Los elementos grupales de un álgebra de Hopf forman un grupo. Un elemento primitivo es un elemento x que satisface Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Los elementos primitivos de un álgebra de Hopf forman un álgebra de Lie . ^{[10] [11]}

Si ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) y ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) son dos coalgebras sobre el mismo campo K , entonces un morfismo de coalgebra de C ₁ a C ₂ es un mapa K -lineal f  : C ₁ → C ₂ tal que y . En la notación sumaria de Sweedler, la primera de estas propiedades puede escribirse como: ${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$ ${\displaystyle \epsilon _{2}\circ f=\epsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

La composición de dos morfismos de coalgebra es nuevamente un morfismo de coalgebra, y las coalgebras sobre K junto con esta noción de morfismo forman una categoría .

Un subespacio lineal I en C se llama coideal si I ⊆ ker( ε ) y Δ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . En ese caso, el espacio cociente C / I se convierte en una coalgebra de forma natural.

Un subespacio D de C se llama subcoálgebra si Δ( D ) ⊆ D ⊗ D ; en ese caso, D es en sí mismo una coalgebra, con la restricción de ε a D como unidad.

El núcleo de cada morfismo de coalgebra f  : C ₁ → C ₂ es un coideal en C ₁ , y la imagen es una subcoálgebra de C ₂ . Los teoremas de isomorfismo comunes son válidos para coalgebras, por lo que, por ejemplo, C ₁ /ker( f ) es isomorfo a im( f ).

Si A es una K -álgebra asociativa unital de dimensión finita , entonces A ^{∗ es una coalgebra de dimensión finita y, de hecho, toda coalgebra de dimensión finita surge de esta manera a partir de algún álgebra de dimensión finita (es decir, de la} K -dual de la coalgebra ). Bajo esta correspondencia, las álgebras conmutativas de dimensión finita corresponden a las coalgebras coconmutativas de dimensión finita. Así, en el caso de dimensión finita, las teorías de álgebras y coalgebras son duales; estudiar uno equivale a estudiar el otro. Sin embargo, las relaciones divergen en el caso de dimensión infinita: mientras que el K -dual de cada coalgebra es un álgebra, el K -dual de un álgebra de dimensión infinita no tiene por qué ser una coalgebra.

Cada coalgebra es la suma de sus subcoálgebras de dimensión finita, algo que no es cierto para las álgebras. De manera abstracta, las coalgebras son generalizaciones, o duales, de álgebras asociativas unitales de dimensión finita.

Correspondiente al concepto de representación para álgebras es una corepresentación o comodulo .

Ver también

• coalgebra colibre
• Medición de la coalgebra
• dialgebra

Referencias

1. Yokonuma (1992). "Proposición 1.7". Espacios tensoriales y álgebra exterior. pag. 12.
2. Yokonuma (1992). "Proposición 1.4". Espacios tensoriales y álgebra exterior. pag. 10.
3. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 3.
4. Véase también Raianu, Serban. Coalgebras a partir de fórmulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en Wayback Machine , p. 2.
5. "Apuntes de conferencias como referencia" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012 . Consultado el 31 de octubre de 2008 .
6. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 4.y Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 55., Ex. 1.1.5.
7. Raianu, serbio. Coalgebras a partir de fórmulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en Wayback Machine , p. 1.
8. Montgomery (1993) p.61
9. Underwood (2011) p.35
10. Mikhalev, Aleksandr Vasil'evich; Pilz, Günter, eds. (2002). El manual conciso de álgebra . Springer-Verlag . pag. 307, C.42. ISBN 0792370724.
11. Abe, Eiichi (2004). Álgebras de Hopf . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 74. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 59.ISBN​ 0-521-60489-3.

Otras lecturas

• Bloquear, Richard E.; Leroux, Pierre (1985), "Coalgebras duales generalizadas de álgebras, con aplicaciones a coalgebras colibres", Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN  0022-4049, SEÑOR  0782637, Zbl  0556.16005
• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Álgebras de Hopf: una introducción , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 235 (1ª ed.), Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl  0962.16026.
• Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comodules sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Cofree coalgebras y recursividad multivariable", Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN  0022-4049, Señor  1992043, Zbl  1048.16022
• Montgomery, Susan (1993), Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos , Serie de conferencias regionales de matemáticas, vol. 82, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-0738-2, Zbl  0793.16029
• Underwood, Robert G. (2011), Introducción a las álgebras de Hopf , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl  1234.16022
• Yokonuma, Takeo (1992), Espacios tensoriales y álgebra exterior , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 108, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-4564-0, Zbl  0754.15028
• Capítulo III, sección 11 en Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.

enlaces externos

• William Chin: una breve introducción a la teoría de la representación coalgebra