En álgebra , una coalgebra de medición de dos álgebras A y B es un enriquecimiento de coalgebra del conjunto de homomorfismos de A a B. En otras palabras, si se piensa que las coalgebras son una especie de análogo lineal de conjuntos, entonces la coalgebra de medición es una especie de análogo lineal del conjunto de homomorfismos de A a B. En particular, sus elementos grupales son (esencialmente) los homomorfismos de A a B. Sweedler (1968, 1969) introdujo la medición de las coalgebras .
Definición
Se dice que una coalgebra C con un mapa lineal de C × A a B mide A a B si conserva el producto del álgebra y la identidad (en el sentido de la coalgebra). Si pensamos en los elementos de C como aplicaciones lineales de A a B , esto significa que c ( a 1 a 2 ) = Σ c 1 ( a 1 ) c 2 ( a 2 ) donde Σ c 1 ⊗ c 2 es el coproducto de c , y c multiplica identidades por la unidad de c . En particular, si c es similar a un grupo , esto simplemente establece que c es un homomorfismo de A a B. Una coalgebra de medición es una coalgebra universal que mide de A a B en el sentido de que cualquier coalgebra que mida de A a B se puede asignar a ella de una manera natural única.
Ejemplos
- Los elementos en forma de grupo de una coalgebra de medición de A a B son los homomorfismos de A a B.
- Los elementos primitivos de una coalgebra de medición de A a B son las derivaciones de A a B.
- Si A es el álgebra de funciones reales continuas en un espacio compacto de Hausdorff X y B son los números reales, entonces la coalgebra de medición de A a B se puede identificar con medidas finitamente soportadas en X. Este puede ser el origen del término "medición de coalgebra".
- En el caso especial en el que A = B , la coalgebra de medición tiene una estructura natural de álgebra de Hopf , llamada álgebra de Hopf del álgebra A.
Referencias
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-5262-0, SEÑOR 2724822, Zbl 1211.16023
- Sweedler, Moss E. (1968), "El álgebra de Hopf de un álgebra aplicada a la teoría de campos", J. Algebra , 8 (3): 262–276, doi :10.1016/0021-8693(68)90059-8, SEÑOR 0222053
- Sweedler, Moss E. (1969), Álgebras de Hopf, Serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, Inc., Nueva York, ISBN 9780805392548, SEÑOR 0252485, Zbl 0194.32901
