Categoría enriquecida

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría enriquecida generaliza la idea de una categoría reemplazando conjuntos de hom con objetos de una categoría monoide general . Está motivado por la observación de que, en muchas aplicaciones prácticas, el hom-set a menudo tiene una estructura adicional que debe respetarse, por ejemplo, la de ser un espacio vectorial de morfismos o un espacio topológico de morfismos. En una categoría enriquecida, el conjunto de morfismos (el hom-set) asociado con cada par de objetos se reemplaza por un objeto en alguna categoría monoidal fija de "hom-objetos". Para emular la composición (asociativa) de morfismos en una categoría ordinaria, la categoría hom debe tener un medio para componer objetos hom de manera asociativa: es decir, debe haber una operación binaria sobre los objetos que nos proporcione al menos la estructura de una categoría monoidal , aunque en algunos contextos la operación también puede necesitar ser conmutativa y quizás también tener un adjunto derecho (es decir, hacer que la categoría sea monoide simétrica o incluso monoide cerrada simétrica , respectivamente). ^{[ cita necesaria ]}

La teoría de categorías enriquecida abarca así dentro del mismo marco una amplia variedad de estructuras que incluyen

categorías ordinarias donde el hom-set conlleva una estructura adicional más allá de ser un conjunto. Es decir, hay operaciones o propiedades de morfismos que deben ser respetadas por la composición (por ejemplo, la existencia de 2 celdas entre morfismos y su composición horizontal en una categoría de 2 , o la operación de suma sobre morfismos en una categoría abeliana )
entidades tipo categoría que no tienen ninguna noción de morfismo individual pero cuyos objetos homólogos tienen aspectos compositivos similares (por ejemplo, preordenes donde la regla de composición asegura la transitividad, o los espacios métricos de Lawvere , donde los objetos homólogos son distancias numéricas y los La regla de composición proporciona la desigualdad del triángulo).

En el caso de que la categoría hom-objeto sea la categoría de conjuntos con el producto cartesiano habitual, las definiciones de categoría enriquecida, funtor enriquecido, etc... se reducen a las definiciones originales de la teoría de categorías ordinarias.

Se dice que una categoría enriquecida con objetos hom de la categoría monoidal M es una categoría enriquecida sobre M o una categoría enriquecida en M , o simplemente una categoría M. Debido a la preferencia de Mac Lane por la letra V al referirse a la categoría monoidal, las categorías enriquecidas a veces también se denominan generalmente categorías V.

Definición

Sea $(M, \otimes, I, α, λ, ρ)$ una categoría monoide . Entonces, una categoría C enriquecida (alternativamente, en situaciones donde la elección de la categoría monoidal debe ser explícita, una categoría enriquecida sobre M , o M - categoría ), consta de

una clase ob ( C ) de objetos de C ,
un objeto $C (a, b)$ de M para cada par de objetos a , b en C , usado para definir una flecha en C como una flecha en M , $f:a\rightarrow b$ $f:I\rightarrow C(a,b)$
una flecha $id a : I \to C (a, a)$ en M que designa una identidad para cada objeto a en C , y
una flecha $° abc : C (b, c) \otimes C (a, b) \to C (a, c)$ en M que designa una composición para cada triple de objetos a , b , c en C , utilizada para definir la composición de y en C junto con tres diagramas de conmutación, que se analizan a continuación. $f:a\rightarrow b$ $g:b\rightarrow c$ $g\circ _{\textbf {C}}f={^{\circ }}_{abc}(g\otimes f)$

El primer diagrama expresa la asociatividad de la composición:

Es decir, el requisito de asociatividad ahora lo asume el asociador de categoría monoidal M.

Para el caso de que M sea la categoría de conjuntos y $(\otimes, I, α, λ, ρ)$ sea la estructura monoidal $(\times, {•}, ...)$ dada por el producto cartesiano , el conjunto terminal de un solo punto, y los isomorfismos canónicos que inducen, entonces cada $C (a, b)$ es un conjunto cuyos elementos pueden considerarse como "morfismos individuales" de C , mientras que °, ahora una función, define cómo se componen los morfismos consecutivos. En este caso, cada camino que conduce a $C (a, d)$ en el primer diagrama corresponde a una de las dos formas de componer tres morfismos individuales consecutivos $a \to b \to c \to d$ , es decir, elementos de $C (a, b)$ , $C (b, c)$ y $C (c, d)$ . La conmutatividad del diagrama es entonces simplemente la afirmación de que ambos órdenes de composición dan el mismo resultado, exactamente como se requiere para las categorías ordinarias.

Lo que es nuevo aquí es que lo anterior expresa el requisito de asociatividad sin ninguna referencia explícita a morfismos individuales en la categoría enriquecida C ; nuevamente, estos diagramas son para morfismos en la categoría monoidal M , y no en C , lo que hace que el concepto de asociatividad de composición significativa en el caso general donde los objetos hom $C (a, b)$ son abstractos, y C mismo ni siquiera necesita tener ninguna noción de morfismo individual.

La noción de que una categoría ordinaria debe tener morfismos de identidad se reemplaza por el segundo y tercer diagrama, que expresan la identidad en términos de unitores izquierdo y derecho :

Volviendo al caso donde M es la categoría de conjuntos con producto cartesiano, los morfismos $id a : I \to C (a, a)$ se convierten en funciones del conjunto de un punto I y deben entonces, para cualquier objeto dado a , identificar un objeto particular. elemento de cada conjunto $C (a, a)$ , algo que entonces podemos considerar como el "morfismo de identidad para a en C ". La conmutatividad de los dos últimos diagramas es entonces la afirmación de que las composiciones (según lo definido por las funciones °) que involucran estos distinguidos "morfismos de identidad en C " individuales se comportan exactamente según las reglas de identidad para categorías ordinarias.

Tenga en cuenta que aquí se hace referencia a varias nociones distintas de "identidad":

el objeto de identidad monoidal $I$ de M , siendo una identidad para ⊗ sólo en el sentido teórico monoide , e incluso entonces sólo hasta el isomorfismo canónico $(λ, ρ)$ .
el morfismo de identidad $1 C (a, b) : C (a, b) \to C (a, b)$ que M tiene para cada uno de sus objetos en virtud de ser (al menos) una categoría ordinaria.
la identidad de categoría enriquecida $id a : I \to C (a, a)$ para cada objeto a en C , que es nuevamente un morfismo de M que, incluso en el caso en el que se considera que C tiene morfismos individuales propios, no es necesariamente identificando uno específico.

Ejemplos de categorías enriquecidas

Las categorías ordinarias son categorías enriquecidas con ( Set , ×, {•}), la categoría de conjuntos con producto cartesiano como operación monoidal, como se señaló anteriormente.
Las 2 categorías son categorías enriquecidas con Cat , la categoría de categorías pequeñas , con una estructura monoidal dada por el producto cartesiano. En este caso las 2 celdas entre morfismos a → b y la regla de composición vertical que las relaciona corresponden a los morfismos de la categoría ordinaria C ( a , b ) y su propia regla de composición.
Las categorías localmente pequeñas son categorías enriquecidas ( SmSet , ×), la categoría de conjuntos pequeños con producto cartesiano como operación monoidal. (Una categoría localmente pequeña es aquella cuyos objetos homólogos son conjuntos pequeños).
Las categorías localmente finitas , por analogía, son categorías enriquecidas ( FinSet , ×), la categoría de conjuntos finitos con producto cartesiano como operación monoidal.
Si C es una categoría monoidal cerrada, entonces C se enriquece en sí mismo.
Los conjuntos preordenados son categorías enriquecidas sobre una determinada categoría monoide, 2 , que consta de dos objetos y una única flecha de no identidad entre ellos que podemos escribir como FALSO → VERDADERO , conjunción como la operación monoide y VERDADERO como su identidad monoide. Los objetos hom 2 ( a , b ) simplemente niegan o afirman una relación binaria particular en el par de objetos dado ( a , b ); Para tener una notación más familiar, podemos escribir esta relación como $a \leq b$ . La existencia de las composiciones y la identidad requeridas para una categoría enriquecida en 2 se traduce inmediatamente a los siguientes axiomas respectivamente

b ≤ c y a ≤ b ⇒ a ≤ c (transitividad)

VERDADERO ⇒ a ≤ a (reflexividad)

que no son otros que los axiomas de que ≤ sea un preorden. Y dado que todos los diagramas en 2 conmutan, este es el único contenido de los axiomas de categorías enriquecidas para categorías enriquecidas en 2 .

Los espacios métricos generalizados de William Lawvere , también conocidos como espacios pseudocuasimétricos , son categorías enriquecidas sobre los números reales extendidos no negativos $R +\infty$ , donde a este último se le da una estructura de categorías ordinaria a través de la inversa de su orden habitual (es decir, existe un morfismo r → s si ff r ≥ s ) y una estructura monoidal mediante la suma (+) y cero (0). Los objetos hom $R +\infty (a, b)$ son esencialmente distancias d( a , b ), y la existencia de composición e identidad se traduce en

d( b , c ) + d( a , b ) ≥ d( a , c ) (desigualdad del triángulo)

0 ≥ re( a , a )

Las categorías con morfismos cero son categorías enriquecidas ( Set* , ∧), la categoría de conjuntos puntiagudos con producto smash como operación monoidal; el punto especial de un objeto hom Hom( A , B ) corresponde al morfismo cero de A a B .
La categoría Ab de grupos abelianos y la categoría R-Mod de módulos sobre un anillo conmutativo , y la categoría Vect de espacios vectoriales sobre un campo dado se enriquecen sobre sí mismas, donde los morfismos heredan la estructura algebraica "puntualmente". De manera más general, las categorías preaditivas son categorías enriquecidas ( Ab , ⊗) con producto tensorial como operación monoidal (pensando en los grupos abelianos como Z -módulos).

Relación con functores monoidales

Si hay un functor monoidal de una categoría monoidal M a una categoría monoidal N , entonces cualquier categoría enriquecida en M puede reinterpretarse como una categoría enriquecida en N. Cada categoría monoidal M tiene un funtor monoidal M ( I , –) para la categoría de conjuntos, por lo que cualquier categoría enriquecida tiene una categoría ordinaria subyacente. En muchos ejemplos (como los anteriores) este funtor es fiel , por lo que una categoría enriquecida sobre M puede describirse como una categoría ordinaria con cierta estructura o propiedades adicionales.

Functores enriquecidos

Un funtor enriquecido es la generalización apropiada de la noción de funtor a categorías enriquecidas. Los functores enriquecidos son entonces mapas entre categorías enriquecidas que respetan la estructura enriquecida.

Si C y D son M -categorías (es decir, categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal M ), un functor M -enriquecido T : C → D es un mapa que asigna a cada objeto de C un objeto de D y para cada par de objetos a y b en C proporciona un morfismo en M T _ab : C ( a , b ) → D ( T ( a ), T ( b )) entre los objetos hom de C y D (que son objetos en M ), satisfaciendo Versiones enriquecidas de los axiomas de un functor, a saber, preservación de la identidad y la composición.

Debido a que los objetos hom no necesitan ubicarse en una categoría enriquecida, no se puede hablar de un morfismo particular. Ya no existe la noción de un morfismo de identidad, ni de una composición particular de dos morfismos. En cambio, los morfismos de la unidad a un objeto hom deben considerarse como una selección de una identidad, y los morfismos del producto monoidal deben considerarse como una composición. Los axiomas funtoriales habituales se reemplazan por los diagramas conmutativos correspondientes que involucran estos morfismos.

En detalle, se tiene que el diagrama

conmuta, lo que equivale a la ecuación

T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)},

donde I es el objeto unitario de M . Esto es análogo a la regla F (id _a ) = id _{F ( a )} para functores ordinarios. Además, se exige que el diagrama

conmutar, que es análoga a la regla F ( fg ) = F ( f ) F ( g ) para functores ordinarios.

Ver también

Referencias

Kelly, GM (2005) [1982]. Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida. Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías. vol. 10.
Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
Lawvere, FW (2002) [1973]. Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas. Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías. vol. 1.
Categoría enriquecida en el n Lab