Espacio métrico generalizado

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías , un espacio métrico generalizado es un espacio métrico pero sin la propiedad de simetría y algunas otras propiedades. ^[1] Precisamente, es una categoría enriquecida con , la compactificación de un punto de . La noción fue introducida en 1973 por Lawvere, quien notó que un espacio métrico puede verse como un tipo particular de categoría. ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El punto de vista categórico es útil ya que, mediante el lema de Yoneda , un espacio métrico generalizado puede integrarse en una categoría mucho más grande en la que, por ejemplo, se puede construir la completitud de Cauchy del espacio.

Notas

1. es decir, la propiedad de que elementos distintos tienen una distancia distinta de cero entre ellos y la propiedad de que la distancia entre dos elementos es siempre finita.

Referencias

• Lawvere, F. William (1973). "Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas". Rediconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano . 43 : 135-166. doi :10.1007/BF02924844.
  • Lawvere, FW (2002). "Espacios métricos, lógica generalizada y categorías cerradas" (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías (1): 1–37.
• Borceux, Francisco; Dejean, Dominique (1986). "Completación de Cauchy en teoría de categorías". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 27 (2): 133-146.
• Bonsangue, MM; Van Breugel, F.; Rutten, JJMM (1998). "Espacios métricos generalizados: completitud, topología y dominios de potencia mediante la incrustación de Yoneda". Ciencias de la computación teórica . 193 (1–2): 1–51. doi :10.1016/S0304-3975(97)00042-X.

Lectura adicional

• https://golem.ph.utexas.edu/category/2023/05/metric_spaces_as_enriched_categories_ii.html#more
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2022/01/optimal_transport_and_enriched_2.html#more
• https://ncatlab.org/nlab/show/metric+space#LawvereMetricSpace