Compleciones en la teoría de categorías

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, existen varias formas ( completaciones ) de ampliar una categoría dada de una manera análoga a una completación en topología . Estas son: (ignorando los asuntos de teoría de conjuntos para simplificar),

• cocomplementación libre , completitud libre . Se obtienen añadiendo libremente colimites o límites. Explícitamente, la cocomplementación libre de una categoría C es la incrustación de Yoneda de C en la categoría de prehaces en C. ^{[1] [2]} La cocomplementación libre de C es la cocomplementación libre del opuesto de C. ^[3 ]
  • ind-completion . Esto se obtiene agregando libremente colimits filtrados .
• La compleción de Cauchy de una categoría C es aproximadamente el cierre de C en alguna categoría ambiental de modo que todos los funtores preservan los límites. ^{[4] [5]} Por ejemplo, si un espacio métrico se considera como una categoría enriquecida (véase espacio métrico generalizado ), entonces la compleción de Cauchy del mismo coincide con la compleción habitual del espacio.
• La compleción de Isbell (también llamada compleción reflexiva ), introducida por Isbell en 1960, ^[6] es en resumen la categoría de punto fijo de la adjunción de conjugación de Isbell . ^{[7] [8]} No debe confundirse con la envolvente de Isbell, que también fue introducida por Isbell.
• La envoltura de Karoubi o completitud idempotente de una categoría C es (aproximadamente) la ampliación universal de C de modo que cada idempotente es un idempotente dividido. ^[9]
• Finalización exacta

Notas

1. Día y falta 2007
2. Completado gratuito en nlab
3. Completado libre en nlab
4. Borceux y Dejean 1986
5. Categoría completa de Cauchy en nlab
6. Isbell 1960
7. Tramos estrechos, terminaciones Isbell y módulos semitropicales, publicado por Simon Willerton.
8. Avery y Leinster 2021
9. Sobre Karoubi en nlab

Referencias

• Avery, Tom; Leinster, Tom (2021), "Conjugación de Isbell y completitud reflexiva" (PDF) , Teoría y aplicaciones de categorías , 36 : 306–347, arXiv : 2102.08290
• Borceux, Francisco; Dejean, Dominique (1986), "Completación de Cauchy en la teoría de categorías", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 27 (2): 133–146
• Carboni, A.; Vitale, EM (1998), "Completaciones regulares y exactas", Journal of Pure and Applied Algebra , 125 (1–3): 79–116, doi :10.1016/S0022-4049(96)00115-6
• Day, Brian J.; Lack, Stephen (2007), "Límites de funtores pequeños", Journal of Pure and Applied Algebra , 210 (3): 651–663, arXiv : math/0610439 , doi :10.1016/j.jpaa.2006.10.019
• Isbell, JR (1960), "Subcategorías adecuadas", Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi :10.1215/ijm/1255456274
• "finalización libre", ncatlab.org
• "completado libre", ncatlab.org
• "Categoría completa de Cauchy", ncatlab.org
• "Sobre Karoubi", ncatlab.org
• Willerton, Simon (2013), "Tramos estrechos, terminaciones de Isbell y módulos semitropicales", The n-Category Café , arXiv : 1302.4370

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/59291/completion-of-a-category