Categoría filtrada

En teoría de categorías , las categorías filtradas generalizan la noción de conjunto dirigido entendido como categoría (de ahí que se la denomine categoría dirigida; mientras que algunos utilizan categoría dirigida como sinónimo de categoría filtrada). Existe una noción dual de categoría cofiltrada , que se recordará a continuación.

Categorías filtradas

Una categoría se filtra cuando ${\displaystyle J}$

• No está vacío,
• por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:j\to k}$ ${\displaystyle f':j'\to k}$ ${\displaystyle J}$
• por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tales que . ${\displaystyle u,v:i\to j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:j\to k}$ ${\displaystyle wu=wv}$

Un colimite filtrado es un colimite de un funtor donde es una categoría filtrada. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Categorías cofiltradas

Una categoría se cofiltra si se filtra la categoría opuesta . En detalle, una categoría se cofiltra cuando ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$

• No está vacío,
• por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:k\to j}$ ${\displaystyle f':k\to j'}$ ${\displaystyle J}$
• por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tales que . ${\displaystyle u,v:j\to i}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:k\to j}$ ${\displaystyle uw=vw}$

Un límite cofiltrado es un límite de un funtor donde es una categoría cofiltrada. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Objetos ind y pro-objetos

Dada una categoría pequeña , un prehaz de conjuntos que es un colimite filtrado pequeño de prehaces representables, se denomina ind-objeto de la categoría . Los ind-objetos de una categoría forman una subcategoría completa en la categoría de funtores (prehaces) . La categoría de pro-objetos en es la opuesta de la categoría de ind-objetos en la categoría opuesta . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Ind(C)}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}}$

Categorías filtradas por κ

Existe una variante de "categoría filtrada" conocida como "categoría κ-filtrada", que se define de la siguiente manera. Esta comienza con la siguiente observación: las tres condiciones en la definición de categoría filtrada anterior dicen respectivamente que existe un cocone sobre cualquier diagrama en la forma , o . La existencia de cocones para estas tres formas de diagramas implica que existen cocones para cualquier diagrama finito; en otras palabras, una categoría se filtra (según la definición anterior) si y solo si hay un cocone sobre cualquier diagrama finito . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d:D\to J}$

Extendiendo esto, dado un cardinal regular κ, se define que una categoría está filtrada por κ si hay un cocone sobre cada diagrama en de cardinalidad menor que κ. (Un diagrama pequeño es de cardinalidad κ si el conjunto de morfismos de su dominio es de cardinalidad κ). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle J}$

Un colimite filtrado κ es un colimite de un funtor donde es una categoría filtrada κ. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Referencias

• Artin, M. , Grothendieck, A. y Verdier, J.-L. Séminario de Geometría Algébrique du Bois Marie ( SGA 4 ). Apuntes de conferencias de matemáticas 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, sección IX.1.