Producto interior

Mapeo de formas p a formas p-1

En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivada interior , multiplicación interior , multiplicación interna , derivada interna , operador de inserción o derivación interna ) es una (anti)derivación de grado −1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad suave . El producto interior, nombrado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interior . El producto interior a veces se escribe como ^[1] ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ ${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner } \omega .}$

Definición

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por lo tanto, si es un campo vectorial en la variedad , entonces es la función que envía una forma a la forma definida por la propiedad que para cualquier campo vectorial ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (p-1)}$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega }$ $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

Cuando es un campo escalar (forma 0), por convención. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$

El producto interior es la antiderivación única de grado −1 en el álgebra exterior tal que en las formas uno donde es el emparejamiento de dualidad entre y el vector Explícitamente, si es una forma y es una forma, entonces La relación anterior dice que el producto interior obedece a una regla graduada de Leibniz . Una operación que satisface la linealidad y una regla de Leibniz se llama derivación. ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=\left(\iota _{X}\beta \right)\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge \left(\iota _{X}\gamma \right).}$$

Propiedades

Si en coordenadas locales el campo vectorial está dado por ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

entonces el producto interior está dado por donde es la forma obtenida al omitir de . $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n},}$$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge ...\wedge dx_{n}}$ ${\displaystyle dx_{r}}$ ${\displaystyle dx_{1}\wedge ...\wedge dx_{n}}$

Por antisimetría de formas, y por lo tanto Esto puede compararse con la derivada exterior que tiene la propiedad $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d\circ d=0.}$

El producto interior respecto del conmutador de dos campos vectoriales satisface la identidad Demostración. Para cualquier forma k , y de manera similar para el otro resultado. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$

Identidad de Cartan

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de las formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan ^[2] o fórmula mágica de Cartan ) : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

donde se utilizó el anticonmutador . Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en geometría simpléctica y relatividad general : véase el mapa de momentos . ^[3] La fórmula de homotopía de Cartan recibe su nombre de Élie Cartan . ^[4]

Demostración por cálculo directo ^[5]

Como los campos vectoriales son integrables localmente, siempre podemos encontrar un sistema de coordenadas local tal que el campo vectorial corresponda a la derivada parcial con respecto a la primera coordenada, es decir, . ${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\partial _{1}}$

Por la linealidad del producto interior, la derivada exterior y la derivada de Lie, basta con demostrar la fórmula mágica de Cartan para las formas monomiales. Sólo hay dos casos: ${\displaystyle k}$

Caso 1: El cálculo directo arroja: ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}}$$

Caso 2: El cálculo directo arroja: ${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}}$$

Demostración por álgebra abstracta, atribuida a Shiing-Shen Chern ^[4]

La derivada exterior es una antiderivación del álgebra exterior. De manera similar, el producto interior con un campo vectorial también es una antiderivación. Por otra parte, la derivada de Lie es una derivación. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{X}}$

El anticonmutador de dos antiderivaciones es una derivación.

Para demostrar que dos derivaciones del álgebra exterior son iguales, basta con demostrar que coinciden en un conjunto de generadores. Localmente, el álgebra exterior se genera mediante las formas 0 (funciones suaves ) y sus diferenciales, las formas 1 exactas ( ). Verifique la fórmula mágica de Cartan en estos dos casos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

Véase también

• Producto de tapa  – Método en topología algebraica
• Producto interno  – Generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
• Contracción tensorial  – Operación en matemáticas y física

Notas

1. El carácter ⨼ es U+2A3C PRODUCTO INTERIOR en Unicode
2. Tu, Sec 20.5.
3. Existe otra fórmula llamada "fórmula de Cartan". Véase Álgebra de Steenrod .
4. La "fórmula mágica de Cartan" se debe a Élie o a Henri?, MathOverflow , 2010-09-21 , consultado el 2018-06-25
5. Prueba elemental de la fórmula mágica de Cartan , Oleg Zubelevich

Referencias

• Theodore Frankel, La geometría de la física: una introducción ; Cambridge University Press, 3.ª ed., 2011
• Loring W. Tu, Introducción a las variedades , 2.ª edición, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6