Distribución (geometría diferencial)

En geometría diferencial , una disciplina dentro de las matemáticas , una distribución en una variedad es una asignación de subespacios vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. En las situaciones más comunes, se pide que una distribución sea un subfibrado vectorial del fibrado tangente . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle TM}$

Las distribuciones que satisfacen una condición de integrabilidad adicional dan lugar a foliaciones , es decir, particiones de la variedad en subvariedades más pequeñas. Estas nociones tienen varias aplicaciones en muchos campos de las matemáticas, incluidos los sistemas integrables , la geometría de Poisson , la geometría no conmutativa , la geometría subriemanniana y la topología diferencial .

Aunque comparten el mismo nombre, las distribuciones presentadas en este artículo no tienen nada que ver con distribuciones en el sentido del análisis.

Definición

Sea una variedad suave; una distribución (suave) asigna a cualquier punto un subespacio vectorial de forma suave. Más precisamente, consiste en una colección de subespacios vectoriales con la siguiente propiedad: Alrededor de cualquier existe un entorno y una colección de campos vectoriales tales que, para cualquier punto , abarcan ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle N_{x}\subset M}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle y\in N_{x}}$ ${\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.}$

El conjunto de campos vectoriales suaves también se denomina base local de . No es necesario que sean linealmente independientes en cada punto y, por lo tanto, no son formalmente una base de espacio vectorial en cada punto; por lo tanto, el término conjunto generador local puede ser más apropiado. La notación se utiliza para denotar tanto la asignación como el subconjunto . ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}}$ ${\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}$

Distribuciones regulares

Dado un entero , una distribución uniforme en se llama regular de rango si todos los subespacios tienen la misma dimensión . Localmente, esto equivale a pedir que cada base local esté dada por campos vectoriales linealmente independientes . ${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

De manera más compacta, una distribución regular es un subfibrado vectorial de rango (de hecho, esta es la definición más utilizada). A veces, una distribución de rango se denomina distribución de plano y, cuando se habla de distribuciones de hiperplano . ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=m-1}$

Clases especiales de distribuciones

A menos que se indique lo contrario, por "distribución" nos referimos a una distribución regular suave (en el sentido explicado anteriormente).

Distribuciones involutivas

Dada una distribución , sus secciones consisten en campos vectoriales en que forman un subespacio vectorial del espacio de todos los campos vectoriales en . (Notación: es el espacio de secciones de ) Una distribución se llama involutiva si también es una subálgebra de Lie : en otras palabras, para cualesquiera dos campos vectoriales , el corchete de Lie pertenece a . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$

Localmente, esta condición significa que para cada punto existe una base local de la distribución en un entorno de tal que, para todo , el corchete de Lie está en el espacio de , es decir, es una combinación lineal de ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

Las distribuciones involutivas son un ingrediente fundamental en el estudio de los sistemas integrables . Una idea relacionada aparece en la mecánica hamiltoniana : se dice que dos funciones y en una variedad simpléctica están en involución mutua si su corchete de Poisson se anula. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Distribuciones y foliaciones integrables

Una variedad integral para una distribución de rangos es una subvariedad de dimensión tal que para cada . Una distribución se llama integrable si a través de cualquier punto hay una variedad integral. Los espacios base del fibrado son, por lo tanto, variedades integrales disjuntas, maximales y conexas , también llamadas hojas ; es decir, define una foliación n-dimensional de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$ ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

Localmente, la integrabilidad significa que para cada punto existe una carta local tal que, para cada , el espacio está abarcado por los vectores de coordenadas . En otras palabras, cada punto admite una carta de foliación, es decir, la distribución es tangente a las hojas de una foliación. Además, esta caracterización local coincide con la definición de integrabilidad para las estructuras a , cuando es el grupo de matrices de bloques triangulares superiores reales invertibles (con bloques y ). ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \Delta _{y}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle (m-n,m-n)}$

Es fácil ver que cualquier distribución integrable es automáticamente involutiva. La inversa es menos trivial pero se cumple según el teorema de Frobenius .

Distribuciones débilmente regulares

Dada cualquier distribución , la bandera de Lie asociada es una calificación, definida como ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

donde , y . En otras palabras, denota el conjunto de campos vectoriales abarcados por los corchetes de Lie iterados de elementos en . Algunos autores utilizan una gradación decreciente negativa para la definición. ${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$

Entonces se llama débilmente regular (o simplemente regular por algunos autores) si existe una secuencia de subconjuntos de vectores anidados tales que (por lo tanto ). ^[1] Nótese que, en tal caso, la bandera de Lie asociada se estabiliza en un cierto punto , ya que los rangos de están acotados desde arriba por . La cadena de números enteros se llama entonces vector de crecimiento de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$ ${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle T^{i}M}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$ ${\displaystyle \Delta }$

Toda distribución débilmente regular tiene asociado un fibrado vectorial graduado. Además, el corchete de Lie de los cuerpos vectoriales desciende, para cualquier , a un morfismo de fibrado -lineal , llamado -curvatura . En particular, la -curvatura se desvanece de manera idéntica si y solo si la distribución es involutiva. $${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$ ${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Juntando las curvaturas se obtiene un morfismo , también llamado corchete de Levi , que forma un haz de álgebras de Lie nilpotentes; por esta razón, también se llama nilpotentización de . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \Delta }$

El fibrado , sin embargo, en general no es trivial localmente, ya que las álgebras de Lie no son isomorfas cuando se varía el punto . Si esto sucede, la distribución débilmente regular también se llama regular (o fuertemente regular por algunos autores). ^{[ aclaración necesaria ]} Nótese que los nombres (fuertemente, débilmente) regulares utilizados aquí no tienen ninguna relación con la noción de regularidad discutida anteriormente (que siempre se supone), es decir, la dimensión de los espacios es constante. ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Distribuciones generadoras de corchetes

Una distribución se denomina generadora de corchetes (o no holonómica , o se dice que satisface la condición de Hörmander ) si tomar un número finito de corchetes de Lie de elementos en es suficiente para generar todo el espacio de campos vectoriales en . Con la notación introducida anteriormente, dicha condición se puede escribir como con certeza ; entonces se dice también que es generadora de corchetes en pasos o tiene profundidad . ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Claramente, la bandera de Lie asociada de una distribución generadora de corchetes se estabiliza en el punto . Aunque ser débilmente regular y ser generadora de corchetes son dos propiedades independientes (ver los ejemplos a continuación), cuando una distribución satisface ambas, el entero de las dos definiciones es el mismo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Gracias al teorema de Chow-Rashevskii , dada una distribución generadora de corchetes en una variedad conexa, dos puntos cualesquiera en pueden unirse mediante una trayectoria tangente a la distribución. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos de distribuciones regulares

Distribuciones integrables

• Cualquier campo vectorial en define una distribución de rango 1, estableciendo , que es automáticamente integrable: la imagen de cualquier curva integral es una variedad integral. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$
• La distribución trivial de rango en se genera a partir de los primeros campos de vectores de coordenadas . Es automáticamente integrable y las variedades integrales se definen mediante las ecuaciones , para cualquier constante . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$ ${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$
• En general, cualquier distribución involutiva/integrable es débilmente regular (con para cada ), pero nunca genera corchetes. ${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle i}$

Distribuciones no integrables

• La distribución Martinet en está dada por , para ; equivalentemente, es generada por los campos vectoriales y . Es generadora de corchetes ya que , pero no es débilmente regular: tiene rango 3 en todas partes excepto en la superficie . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle z=0}$
• La distribución de contacto en está dada por , para ; equivalentemente, es generada por los campos vectoriales y , para . Es débilmente regular, con vector de crecimiento , y generadora de corchetes, con . También se puede definir una estructura de contacto abstracta en una variedad como una distribución de hiperplano que es máximamente no integrable, es decir, está lo más lejos posible de ser involutiva. Un análogo del teorema de Darboux muestra que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle (2n,2n+1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M^{2n+1}}$
• La distribución de Engel en está dada por , para y ; equivalentemente, es generada por los campos vectoriales y . Es débilmente regular, con vector de crecimiento , y genera corchetes. También se puede definir una estructura de Engel abstracta en una variedad como una distribución de rango 2 débilmente regular tal que tiene rango 3 y tiene rango 4; Engel demostró que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente. ^[4] ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$ ${\displaystyle (2,3,4)}$ ${\displaystyle M^{4}}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$
• En general, una estructura de Goursat en una variedad es una distribución de rango 2 que es débilmente regular y genera corchetes, con vector de crecimiento . Para y se recuperan, respectivamente, distribuciones de contacto en variedades tridimensionales y distribuciones de Engel. Las estructuras de Goursat son localmente difeomórficas a la distribución de Cartan de los fibrados jet . ${\displaystyle M^{k+2}}$ ${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Distribuciones singulares

Una distribución singular , una distribución generalizada o una distribución de Stefan-Sussmann es una distribución uniforme que no es regular. Esto significa que los subespacios pueden tener dimensiones diferentes y, por lo tanto, el subconjunto ya no es un subconjunto uniforme. ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$

En particular, la cantidad de elementos en una base local que abarca cambiará con , y esos campos vectoriales ya no serán linealmente independientes en todas partes. No es difícil ver que la dimensión de es menor que la de semicontinua , de modo que en puntos especiales la dimensión es menor que en puntos cercanos. ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Integrabilidad y foliaciones singulares

Las definiciones de variedades integrales y de integrabilidad dadas anteriormente se aplican también al caso singular (eliminando el requisito de la dimensión fija). Sin embargo, el teorema de Frobenius no se cumple en este contexto y la involutividad en general no es suficiente para la integrabilidad (existen contraejemplos en dimensiones bajas).

Después de varios resultados parciales, ^[5] el problema de integrabilidad para distribuciones singulares fue resuelto completamente mediante un teorema demostrado independientemente por Stefan ^{[6] [7]} y Sussmann. ^{[8] [9]} Este afirma que una distribución singular es integrable si y solo si se cumplen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \Delta }$

• ${\displaystyle \Delta }$se genera mediante una familia de campos vectoriales; ${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$
• ${\displaystyle \Delta }$es invariante con respecto a cada , es decir , donde es el flujo de , y . ${\displaystyle X\in F}$ ${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$ ${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$

De manera similar al caso regular, una distribución singular integrable define una foliación singular , que intuitivamente consiste en una partición de en subvariedades (las variedades integrales máximas de ) de diferentes dimensiones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

La definición de foliación singular se puede precisar de varias maneras equivalentes. En realidad, en la literatura existe una plétora de variaciones, reformulaciones y generalizaciones del teorema de Stefan-Sussman, que utilizan diferentes nociones de foliación singular según las aplicaciones que se tengan en mente, por ejemplo, geometría de Poisson ^{[10] [11]} o geometría no conmutativa . ^{[12] [13]}

Ejemplos

• Dada una acción de grupo de Lie de un grupo de Lie sobre una variedad , sus generadores infinitesimales generan una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las órbitas de la acción de grupo. La distribución/foliación es regular si y solo si la acción es libre. ${\displaystyle M}$
• Dada una variedad de Poisson , la imagen de es una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas simplécticas de . La distribución/foliación es regular si y solo si la variedad de Poisson es regular. ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$
• En términos más generales, la imagen de la función de anclaje de cualquier algebroide de Lie define una distribución singular que es automáticamente integrable, y las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas del algebroide de Lie. La distribución/foliación es regular si y solo si tiene rango constante, es decir, el algebroide de Lie es regular. Considerando, respectivamente, el algebroide de Lie de acción y el algebroide de Lie cotangente , se recuperan los dos ejemplos anteriores. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• En sistemas dinámicos , una distribución singular surge del conjunto de campos vectoriales que conmutan con uno dado.
• También hay ejemplos y aplicaciones en la teoría de control , donde la distribución generalizada representa restricciones infinitesimales del sistema.

Referencias

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2. Chow, Wei-Liang (1 de diciembre de 1940). "Über Systeme von liearren partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung". Mathematische Annalen (en alemán). 117 (1): 98-105. doi :10.1007/BF01450011. ISSN  1432-1807. S2CID  121523670.
3. Rashevsky, PK (1938). "Dos puntos cualesquiera de un espacio totalmente no holonómico pueden estar conectados por una línea admisible". Uch. Zap. Ped. Inst. Im. Liebknechta, Ser. Phys. Math. (en ruso). 2 : 83–94.
4. Engel, Friedrich (1889). "Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen". Leipzig. Ber. (en alemán). 41 : 157-176.
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6. Stefan, P. (1974). "Accesibilidad y foliaciones con singularidades". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 80 (6): 1142–1145. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN  0002-9904.
7. Stefan, P. (1974). "Conjuntos accesibles, órbitas y foliaciones con singularidades". Actas de la London Mathematical Society . s3-29 (4): 699–713. doi :10.1112/plms/s3-29.4.699. ISSN  1460-244X.
8. Sussmann, Hector J. (1973). "Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de sistemas con singularidades". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 79 (1): 197–199. doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN  0002-9904.
9. Sussmann, Héctor J. (1973). "Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de distribuciones". Transactions of the American Mathematical Society . 180 : 171–188. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2 . ​​ISSN  0002-9947.
10. Androulidakis, Iakovos; Zambon, Marco (28 de abril de 2016). "Foliaciones singulares de Stefan–Sussmann, subalgebroides singulares y sus haces asociados". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 13 (Supp. 1): 1641001–1641267. Código Bibliográfico :2016IJGMM..1341001A. doi :10.1142/S0219887816410012. ISSN  0219-8878.
11. Laurent-Gengoux, Camille; Lavau, Sylvain; Strobl, Thomas (2020). "La mentira universal ∞-algebroide de una foliación singular". ELibM – Doc. Matemáticas . 25 (2020): 1571–1652. doi :10.25537/dm.2020v25.1571-1652.
12. Debord, Claire (1 de julio de 2001). "Grupoides holonomicos de foliaciones singulares". Journal of Differential Geometry . 58 (3). doi : 10.4310/jdg/1090348356 . ISSN  0022-040X. S2CID  54714044.
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Libros, apuntes y enlaces externos

• William M. Boothby. Sección IV. 8 en Introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann, Academic Press, San Diego, California, 2003.
• John M. Lee, Capítulo 19 en Introducción a las variedades suaves, Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag, 2003.
• Richard Montgomery, capítulos 2, 4 y 6 de Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones. Encuestas matemáticas y monografías 91. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2002.
• Álvaro del Pino, Aspectos topológicos en el estudio de distribuciones tangentes. Textos de Matemática. Serie B, 48 . Universidad de Coimbra, 2019.
• "Distribución involutiva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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