mentira algebroide

Versión infinitesimal del grupoide de Lie.

En matemáticas , un algebroide de Lie es un paquete de vectores junto con un corchete de Lie en su espacio de secciones y un morfismo de paquete de vectores , que satisface una regla de Leibniz. Por tanto, se puede considerar un algebroide de Lie como una "generalización de muchos objetos" de un álgebra de Lie . ${\displaystyle A\rightarrow M}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$

Los algebroides de Lie desempeñan un papel similar en la teoría de los grupoides de Lie al que desempeñan las álgebras de Lie en la teoría de los grupos de Lie : reducir los problemas globales a infinitesimales. De hecho, cualquier grupoide de Lie da lugar a un algebroide de Lie, que es el paquete vertical del mapa fuente restringido a las unidades. Sin embargo, a diferencia de las álgebras de Lie, no todos los algebroides de Lie surgen de un grupoide de Lie.

Los algebroides de Lie fueron introducidos en 1967 por Jean Pradines. ^[1]

Definición y conceptos básicos

Un algebroide de Lie es un triple que consta de ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• un paquete de vectores sobre una variedad ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• un soporte de mentira en su espacio de secciones ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• un morfismo de haces de vectores , llamado ancla , donde es el haz tangente de ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

tal que el ancla y la ménsula cumplan la siguiente regla de Leibniz:

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]}$

donde y es la derivada de a lo largo del campo vectorial . Aquí, es solo un escalar (puntual), al igual que el producto escalar. ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A),f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho (X)f}$ ${\displaystyle \rho (X)f\cdot Y}$

A menudo se escribe cuando el corchete y el ancla se desprenden claramente del contexto; algunos autores denotan los algebroides de Lie por , sugiriendo un "límite" de los grupoides de Lie cuando las flechas que denotan el origen y el destino se vuelven "infinitesimalmente cercanas". ^[2] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A\Rightarrow M}$

Primeras propiedades

De la definición se desprende que

• para cada , el núcleo es un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie de isotropía en ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)=\ker(\rho _{x})}$ ${\displaystyle x}$
• El núcleo es un paquete (no necesariamente localmente trivial) de álgebras de Lie, llamado paquete de álgebra de Lie de isotropía. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(A)=\ker(\rho )}$
• la imagen es una distribución singular que es integrable, es decir, admite subvariedades sumergidas máximas , llamadas órbitas , que satisfacen para cada . De manera equivalente, las órbitas pueden describirse explícitamente como conjuntos de puntos que están unidos por caminos A , es decir, pares de caminos en y en tales que y ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho )\subseteq TM}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} (\rho _{x})=T_{x}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (a:I\to A,\gamma :I\to M)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a(t)\in A_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle \rho (a(t))=\gamma '(t)}$
• el mapa de anclaje desciende a un mapa entre secciones que es un morfismo de álgebra de Lie, es decir ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :\Gamma (A)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]}$

para todos . ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A)}$

La propiedad que induce un morfismo del álgebra de Lie se tomó como axioma en la definición original del algebroide de Lie. ^[1] Tal redundancia, a pesar de ser conocida desde un punto de vista algebraico ya antes de la definición de Pradine, ^[3] no se advirtió hasta mucho más tarde. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \rho }$

Subalgebroides e ideales.

Un subalgebroide de Lie de un algebroide de Lie es un subconjunto vectorial de la restricción tal que toma valores en y es un subálgebra de Lie de . Claramente, admite una estructura algebroide de Lie única, tal que es un morfismo de álgebra de Lie. Con el lenguaje que se presenta a continuación, la inclusión es un morfismo algebroide de Lie. ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle A_{\mid M'}\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{\mid A'}}$ ${\displaystyle TM'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A'):=\{\alpha \in \Gamma (A)\mid \alpha _{\mid M'}\in \Gamma (A')\}}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle A'\to M'}$ ${\displaystyle \Gamma (A,A')\to \Gamma (A')}$ ${\displaystyle A'\hookrightarrow A}$

Un subalgebroide de Lie se llama ancho si . En analogía con la definición estándar de álgebra de Lie, un ideal de un algebroide de Lie es un subalgebroide de Lie amplio, tal que es un ideal de Lie. Esta noción resultó ser muy restrictiva, ya que se obliga a estar dentro del paquete de isotropía . Por esta razón, se ha introducido la noción más flexible de sistema ideal infinitesimal . ^[6] ${\displaystyle M'=M}$ ${\displaystyle I\subseteq A}$ ${\displaystyle \Gamma (I)\subseteq \Gamma (A)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$

Morfismos

Un morfismo algebroide de Lie entre dos algebroides de Lie y con la misma base es un morfismo de haz vectorial que es compatible con los corchetes de Lie, es decir, para cada , y con los anclajes, es decir . ${\displaystyle (A_{1},[\cdot ,\cdot ]_{A_{1}},\rho _{1})}$ ${\displaystyle (A_{2},[\cdot ,\cdot ]_{A_{2}},\rho _{2})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle \phi ([\alpha ,\beta ]_{A_{1}})=[\phi (\alpha ),\phi (\beta )]_{A_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (A_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{2}\circ \phi =\rho _{1}}$

Se puede formular una noción similar para morfismos con diferentes bases, pero la compatibilidad con los corchetes de Lie se vuelve más complicada. ^[7] De manera equivalente, se puede pedir que la gráfica de sea un subalgebroide del producto directo (que se presenta a continuación). ^[8] ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$

Los algebroides de Lie junto con sus morfismos forman una categoría .

Ejemplos

Casos triviales y extremos

• Dada cualquier variedad , su algebroide de Lie tangente es el paquete tangente junto con el soporte de Lie de campos vectoriales y la identidad de como ancla. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$
• Dada cualquier variedad , el paquete de vectores cero es un algebroide de Lie con soporte y ancla cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• Los álgebras de Lie sobre un punto son lo mismo que las álgebras de Lie . ${\displaystyle A\to \{*\}}$
• De manera más general, cualquier paquete de álgebras de Lie es un algebroide de Lie con anclaje cero y corchete de Lie definido puntualmente.

Ejemplos de geometría diferencial

• Dada una foliación en , su algebroide de foliación es el subconjunto involutivo asociado , con corchetes y ancla inducidos desde el algebroide de Lie tangente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq TM}$
• Dada la acción de un álgebra de Lie sobre una variedad , su algebroide de acción es el paquete de vectores trivial , con anclaje dado por la acción del álgebra de Lie y corchetes determinados únicamente por el corchete de en secciones constantes y por la identidad de Leibniz. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M\to {\mathfrak {g}}}$
• Dado un paquete G principal sobre una variedad , su algebroide de Atiyah es el ajuste del algebroide de Lie en la siguiente secuencia corta y exacta : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A=TP/G}$

  ${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to TP/G\xrightarrow {\rho } TM\to 0.}$

El espacio de secciones del algebroide de Atiyah es el álgebra de Lie de campos vectoriales invariantes en , su paquete de isotropía del álgebra de Lie es isomorfo al paquete de vectores adjunto , y las divisiones derechas de la secuencia anterior son conexiones principales en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P}$

• Dado un paquete de vectores , su algebro lineal general , denotado por o , es el paquete de vectores cuyas secciones son derivaciones de , es decir, operadores diferenciales de primer orden que admiten un campo vectorial tal que para cada . El ancla es simplemente la asignación y el soporte de Lie lo da el conmutador de operadores diferenciales. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle \mathrm {Der} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \rho (D)\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle D(f\sigma )=fD(\sigma )+\rho (D)(f)\sigma }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),\sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle D\mapsto \rho (D)}$
• Dada una variedad de Poisson , su algebroide cotangente es el paquete de vectores cotangente , con corchete de Lie y mapa de anclaje . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle A=T^{*}M}$ ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$
• Dada una forma 2 cerrada , el paquete de vectores es un algebroide de Lie con anclaje de la proyección en el primer componente y soporte de Lie. ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle A_{\omega }:=TM\times \mathbb {R} \to M}$
  $${\displaystyle [(X,f),(Y,g)]:={\Big (}[X,Y],{\mathcal {L}}_{X}(g)-{\mathcal {L}}_{Y}(f)-\omega (X,Y){\Big )}.}$$
  En realidad, el corchete anterior se puede definir para cualquier forma 2 , pero es un algebroide de Lie si y solo si está cerrado. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

Construcciones de otros algebroides de Lie

• Dado cualquier algebroide de Lie , existe un algebroide de Lie , llamado algebroide tangente , que se obtiene considerando el fibrado tangente de y y el diferencial del ancla. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle (TA\to TM,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
• Dado cualquier algebroide de Lie , existe un algebroide de Lie , llamado algebroide de k-jet , que se obtiene considerando el haz de k-jet de , con el soporte de Lie definido únicamente por y un ancla . ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle (J^{k}A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle [j^{k}\alpha ,j^{k}\beta ]:=j^{k}[\alpha ,\beta ]_{A}}$ ${\displaystyle \rho (j_{x}^{k}\alpha ):=\rho _{A}(\alpha (x))}$
• Dados dos algebroides de Lie y , su producto directo es el único algebroide de Lie con anclaje y tal que es un morfismo de álgebra de Lie. ${\displaystyle A_{1}\to M_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}\to M_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\to M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})\mapsto \rho _{1}(\alpha _{1})\oplus \rho _{2}(\alpha _{2})\in TM_{1}\oplus TM_{2}\cong T(M_{1}\times M_{2}),}$ ${\displaystyle \Gamma (A_{1})\oplus \Gamma (A_{2})\to \Gamma (A_{1}\times A_{2}),\alpha _{1}\oplus \alpha _{2}\mapsto \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}\alpha _{1}+\mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}\alpha _{2}}$
• Dado un algebroide de Lie y un mapa cuyo diferencial es transversal al mapa de anclaje (por ejemplo, es suficiente para que sea una inmersión sobreyectiva ), el algebroide de retroceso es el único algebroide de Lie , con el paquete de vectores de retroceso y la proyección sobre el primer componente, tal que es un morfismo algebroide de Lie. ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ]_{A},\rho _{A})}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$ ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{!}A\to M'}$ ${\displaystyle f^{!}A:=TM'\times _{TM}A\to M'}$ ${\displaystyle \rho _{f^{!}A}:f^{!}A\to TM'}$ ${\displaystyle f^{!}A\to A}$

Clases importantes de algebroides de Lie

Algebroides de Lie totalmente intransitivos

Un algebroide de Lie se llama totalmente intransitivo si el mapa de anclaje es cero. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

Los paquetes de álgebras de Lie (de ahí también las álgebras de Lie) son totalmente intransitivos. En realidad, esto agota por completo la lista de algebroides de Lie totalmente intransitivos: de hecho, si es totalmente intransitivo, debe coincidir con su paquete de isotropía del álgebra de Lie. ${\displaystyle A}$

Algebroides de mentira transitivos

Un algebroide de Lie se llama transitivo si el mapa de anclaje es sobreyectivo. Como consecuencia: ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• hay una secuencia corta exacta
  $${\displaystyle 0\to \ker(\rho )\to A\xrightarrow {\rho } TM\to 0;}$$
• la división por la derecha de define las conexiones de un paquete principal en ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• el paquete de isotropía es localmente trivial (como paquete de álgebras de Lie); ${\displaystyle \ker(\rho )}$
• el retroceso de existe para cada . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:M'\to M}$

Los ejemplos prototípicos de algebroides de Lie transitivos son los algebroides de Atiyah. Por ejemplo:

• Los algebroides tangentes son trivialmente transitivos (de hecho, son el algebroide de Atiyah del paquete principal ) ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• Las álgebras de Lie son trivialmente transitivas (de hecho, son el algebroide de Atiyah del paquete principal , para una integración de ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to *}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Los algebroides lineales generales son transitivos (de hecho, son algebroides de Atiyah del haz de marcos ). ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$

En analogía con los algebroides de Atiyah, un algebroide de Lie transitivo arbitrario también se llama secuencia abstracta de Atiyah , y su paquete de álgebra de isotropía también se llama paquete adjunto . Sin embargo, es importante enfatizar que no todo algebroide de Lie transitivo es un algebroide de Atiyah. Por ejemplo: ${\displaystyle \ker(\rho )}$

• los retrocesos de los algebroides transitivos son transitivos
• Los algebroides cotangentes asociados a variedades de Poisson son transitivos si y sólo si la estructura de Poisson no es degenerada. ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$
• Los algebroides de mentira definidos por 2 formas cerradas son transitivos ${\displaystyle A_{\omega }}$

Estos ejemplos son muy relevantes en la teoría de la integración del algebroide de Lie (ver más abajo): si bien cualquier algebroide de Atiyah es integrable (a un grupoide de calibre), no todos los algebroides de Lie transitivos son integrables.

Algebroides de mentira regulares

Un algebroide de Lie se llama regular si el mapa de anclaje es de rango constante. Como consecuencia ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

• la imagen de define una foliación regular sobre ; ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$
• la restricción de sobre cada hoja es un algebroide de Lie transitivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$

Por ejemplo:

• cualquier algebroide de Lie transitivo es regular (el ancla tiene rango máximo);
• cualquier algebroide de Lie totalmente intransitivo es regular (el ancla tiene rango cero);
• los algebroides de foliación son siempre regulares;
• Los algebroides cotangentes asociados a variedades de Poisson son regulares si y sólo si la estructura de Poisson es regular. ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Otros conceptos relacionados

Comportamiento

Una acción de un algebroide de Lie sobre una variedad P a lo largo de un mapa suave consiste en un morfismo de álgebra de Lie ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \mu :P\to M}$

$${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$$

${\displaystyle p\in P,X\in \Gamma (A),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$

$${\displaystyle d_{p}\mu (a(X)_{p})=\rho _{\mu (p)}(X_{\mu (p)}),\quad a(f\cdot X)=(f\circ \mu )\cdot a(X).}$$

${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A\to \{*\}}$ ${\displaystyle P\to \{*\}}$

Conexiones

Dado un algebroide de Lie , una conexión A en un paquete de vectores consta de un mapa bilineal ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \nabla :\Gamma (A)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E),\quad (\alpha ,s)\mapsto \nabla _{\alpha }(s)}$$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$

$${\displaystyle \nabla _{\alpha }(fs)=f\nabla _{\alpha }(s)+{\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}(f)s}$$

derivada de Lie. ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A),s\in \Gamma (E),f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rho (\alpha )}}$ ${\displaystyle \rho (\alpha )}$

La curvatura de una conexión A es el mapa bilineal. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$

$${\displaystyle R_{\nabla }:\Gamma (A)\times \Gamma (A)\to \mathrm {Hom} (E,E),\quad (\alpha ,\beta )\mapsto \nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }-\nabla _{[\alpha ,\beta ]},}$$

plano. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R_{\nabla }=0}$

Por supuesto, cuando , recuperamos la noción estándar de conexión sobre un haz de vectores , así como las de curvatura y planitud. ${\displaystyle A=TM}$

Representaciones

Una representación de un algebroide de Lie es un paquete de vectores junto con una conexión A plana . De manera equivalente, una representación es un morfismo algebroide de Lie . ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle A\to {\mathfrak {gl}}(E)}$

El conjunto de clases de isomorfismo de representaciones de un algebroide de Lie tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de haces de vectores. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle A\to M}$

Los ejemplos incluyen los siguientes:

• Cuando , una conexión se simplifica a un mapa lineal y la condición de planitud la convierte en un morfismo de álgebra de Lie, recuperamos la noción estándar de representación de un álgebra de Lie . ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Cuando y es una representación del álgebra de Lie , el paquete de vectores trivial es automáticamente una representación de ${\displaystyle A={\mathfrak {g}}\times M\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\times M\to M}$ ${\displaystyle A}$
• Las representaciones del algebroide tangente son haces de vectores dotados de conexiones planas. ${\displaystyle A=TM}$
• Cada algebroide de Lie tiene una representación natural en el haz de líneas , es decir, el producto tensorial entre los haces de líneas determinantes de y de . Se puede asociar una clase de cohomología en (ver más abajo) conocida como clase modular del algebroide de Lie. ^[9] Para el algebro cotangente asociado a una variedad de Poisson se recupera la clase modular de . ^[10] ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle Q_{A}:=\wedge ^{top}A\otimes \wedge ^{top}T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle H^{1}(A,Q_{A})}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Tenga en cuenta que un grupoide de Lie arbitrario no tiene una representación canónica en su algebroide de Lie, desempeñando el papel de representación adjunta de los grupos de Lie en sus álgebras de Lie. Sin embargo, esto se vuelve posible si se permite la noción más general de representación hasta la homotopía .

Cohomología algebroide de mentira

Considere un algebroide de Lie y una representación . Denotando por el espacio de - formas diferenciales con valores en el paquete de vectores , se puede definir un diferencial con la siguiente fórmula similar a Koszul: ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(A,E):=\Gamma (\wedge ^{n}A^{*}\otimes E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d^{n}:\Omega ^{n}(A,E)\to \Omega ^{n+1}(A,E)}$

$${\displaystyle d\omega (\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}):=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\nabla _{\alpha _{i}}{\big (}\omega (\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,\alpha _{n}){\big )}-\sum _{i<j}^{n}(-1)^{i+j+1}\omega ([\alpha _{i},\alpha _{j}],\alpha _{0},\ldots ,{\widehat {\alpha _{i}}},\ldots ,{\widehat {\alpha _{j}}},\ldots ,\alpha _{n})}$$

complejo de cocadenacohomología algebroide ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (\Omega ^{n}(A,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H^{*}(A,E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\nabla )}$

Esta definición general recupera teorías de cohomología muy conocidas:

• La cohomología de un algebroide de Lie coincide con la cohomología de Chevalley-Eilenberg de un álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• La cohomología de un algebroide de Lie tangente coincide con la cohomología de De Rham . ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle M}$
• La cohomología de una foliación algebroide de Lie coincide con la cohomología foliar de la foliación . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• La cohomología del algebroide de Lie cotangente asociado a una estructura de Poisson coincide con la cohomología de Poisson de . ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Correspondencia grupoide de Lie-algebroide de Lie

La construcción estándar que asocia un álgebra de Lie a un grupo de Lie se generaliza a esta configuración: a cada grupoide de Lie se puede asociar canónicamente un algebroide de Lie definido de la siguiente manera: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$

• el haz de vectores es , donde es el haz vertical de la fibra fuente y es el mapa de unidades grupoide; ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)=A:=u^{*}T^{s}G}$ ${\displaystyle T^{s}G\subseteq TG}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle u:M\to G}$
• las secciones de se identifican con los campos vectoriales invariantes a la derecha en , de modo que hereda un corchete de Lie; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$
• el mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino . ${\displaystyle \rho :=dt_{\mid A}:A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$

Por supuesto, surge una construcción simétrica cuando se intercambia el papel de los mapas de origen y de destino, y se reemplazan los campos vectoriales invariantes a la derecha por otros a la izquierda; un isomorfismo entre los dos algebroides de Lie resultantes vendrá dado por el diferencial del mapa inverso . ${\displaystyle i:G\to G}$

El flujo de una sección es la bisección de 1 parámetro , definida por , donde es el flujo del correspondiente campo vectorial invariante a la derecha . Esto permite definir el análogo del mapa exponencial para grupos de Lie como . ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }\in \mathrm {Bis} (G)}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\epsilon }(x):=\phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }(1_{x})}$ ${\displaystyle \phi _{\tilde {\alpha }}^{\epsilon }\in \mathrm {Diff} (G)}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle \exp :\Gamma (A)\to \mathrm {Bis} (G),\exp(\alpha )(x):=\phi _{\alpha }^{1}(x)}$

funtor de mentira

El mapeo que envía un grupoide de Lie a un algebroide de Lie es en realidad parte de una construcción categórica. De hecho, cualquier morfismo grupoide de Lie se puede diferenciar en un morfismo entre los algebroides de Lie asociados. ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle d\phi _{\mid \mathrm {Lie} (G_{1})}:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$

Esta construcción define un funtor desde la categoría de grupoides de Lie y sus morfismos hasta la categoría de algebroides de Lie y sus morfismos, llamado funtor de Lie .

Estructuras y propiedades inducidas de grupoides a algebroides.

Sea un grupoide de Lie y su algebroide de Lie asociado. Entonces ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle (A\to M,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$

• Las álgebras de isotropía son las álgebras de Lie de los grupos de isotropía. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}(A)}$ ${\displaystyle G_{x}}$
• Las órbitas de coinciden con las órbitas de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle G}$es transitiva y es una inmersión si y sólo si es transitiva ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle A}$
• una acción de on induce una acción de (llamada acción infinitesimal ), definida por ${\displaystyle m:G\times _{M}P\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle a:\Gamma (A)\to {\mathfrak {X}}(P)}$ ${\displaystyle A}$
  $${\displaystyle a(\alpha )_{p}:=d_{1_{\mu (p)}}m(\cdot ,p)(\alpha _{\mu (p)})=d_{(1_{\mu (p)},p)}m(\alpha _{\mu (p)},0)}$$
• una representación de on en un paquete de vectores induce una representación de on , definida por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E\to M}$
  $${\displaystyle \nabla _{\alpha }\sigma (x):={\frac {d}{d\epsilon }}_{\mid \epsilon =0}{\Big (}\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x){\Big )}^{-1}\cdot \sigma {\Big (}t(\phi _{\alpha }^{\epsilon }(x)){\Big )}}$$
  Además, existe un morfismo de semirings , que se convierte en un isomorfismo si es simplemente conexo en fuente. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)\to \mathrm {Rep} (A)}$ ${\displaystyle G}$
• existe un morfismo , llamado morfismo de Van Est, desde la cohomología diferenciable de con coeficientes en alguna representación hasta la cohomología de con coeficientes en la representación inducida en . Además, si las fibras de están conectadas homólogamente , entonces es un isomorfismo para y es inyectivo para . ^[11] ${\displaystyle VE^{k}:H_{d}^{k}(G,E)\to H^{k}(A,E)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle VE^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle k=n+1}$

Ejemplos

• El algebroide de Lie de un grupo de Lie es el álgebra de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \{*\}}$
• El algebroide de Lie tanto del grupoide par como del grupoide fundamental es el algebroide tangente. ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TM\to M}$
• El algebroide de Lie del grupoide unitario es el algebroide cero ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times 0\to M}$
• El algebroide de Lie de un paquete de grupos de Lie es el paquete de álgebra de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide de acción es el algebroide de acción. ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide de calibre es el algebroide de Atiyah. ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TP/G\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide lineal general es el algebroide lineal general ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(E)\to M}$
• El algebroide de Lie tanto del grupoide de holonomía como del grupoide de monodromía es el algebroide de foliación. ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$
• El algebroide de Lie de un grupoide tangente es el algebroide tangente , por ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle TA\to TM}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$
• El algebroide de Lie de un grupoide a reacción es el algebroide a reacción , por ejemplo ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}A\to M}$ ${\displaystyle A=\mathrm {Lie} (G)}$

Ejemplo detallado 1

Describamos el algebroide de Lie asociado al grupoide par . Dado que el mapa fuente es , las fibras son del tipo , de modo que el espacio vertical es . Usando el mapa unitario , se obtiene el paquete vectorial . ${\displaystyle G:=M\times M}$ ${\displaystyle s:G\to M:(p,q)\mapsto q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M\times \{q\}}$ ${\displaystyle T^{s}G=\bigcup _{q\in M}TM\times \{q\}\subset TM\times TM}$ ${\displaystyle u:M\to G:q\mapsto (q,q)}$ ${\displaystyle A:=u^{*}T^{s}G=\bigcup _{q\in M}T_{q}M=TM}$

La extensión de secciones a campos vectoriales invariantes a la derecha es simple y la extensión de una función suave desde a una función invariante a la derecha es . Por lo tanto, el corchete es solo el corchete de Lie de los campos vectoriales tangentes y el mapa de anclaje es solo la identidad. ${\displaystyle X\in \Gamma (A)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\in {\mathfrak {X}}(G)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=X(p)\oplus 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplo detallado 2

Considere el grupoide (acción) Mentira

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\rightrightarrows \mathbb {R} ^{2}}$

donde está el mapa objetivo (es decir, la acción correcta de on ) ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle ((x,y),e^{i\theta })\mapsto {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

La fibra sobre un punto son todas copias de , por lo que ese es el paquete de vectores trivial . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p=(x,y)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle u^{*}(T^{s}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1)))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to \mathbb {R} ^{2}}$

Dado que su mapa de anclaje está dado por el diferencial del mapa objetivo, hay dos casos para las álgebras de Lie de isotropía, correspondientes a las fibras de : ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\times U(1)\to T\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T^{t}(\mathbb {R} ^{2}\times U(1))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t^{-1}(0)\cong &U(1)\\t^{-1}(p)\cong &\{(a,u)\in \mathbb {R} ^{2}\times U(1):ua=p\}\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la isotropía sobre el origen es , mientras que en todos los demás lugares es cero. ${\displaystyle U(1)}$

Integración de un algebroide de Lie

Teoremas de mentira

Un algebroide de Lie se llama integrable si es isomorfo a algún grupoide de Lie . El análogo del teorema clásico de Lie I establece que: ^[12] ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Si es un algebroide de Lie integrable, entonces existe un grupoide de Lie único (hasta isomorfismo) simplemente conectado que se integra . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

De manera similar, un morfismo entre algebroides de Lie integrables se llama integrable si es el diferencial de algún morfismo entre dos integraciones de y . El análogo del teorema clásico de Lie II establece que: ^[13] ${\displaystyle F:A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle F=d\phi _{\mid A}}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

Si es un morfismo de algebroides de Lie integrables y es simplemente conexo, entonces existe un morfismo único de grupoides de Lie que se integran . ${\displaystyle F:\mathrm {Lie} (G_{1})\to \mathrm {Lie} (G_{2})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \phi :G_{1}\to G_{2}}$ ${\displaystyle F}$

En particular, al elegir como grupoide lineal general de un paquete de vectores , se deduce que cualquier representación de un algebroide de Lie integrable se integra a una representación de su grupoide de Lie integrante simplemente conexo. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle GL(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$

Por otro lado, no existe un análogo del teorema clásico de Lie III , es decir, no siempre es posible retroceder de cualquier algebroide de Lie a un grupoide de Lie. Pradines afirmó que tal afirmación era válida ^[14] y el primer ejemplo explícito de algebroides de Lie no integrables, procedente, por ejemplo, de la teoría de la foliación, apareció sólo varios años después. ^[15] A pesar de varios resultados parciales, incluida una solución completa en el caso transitivo, ^[16] las obstrucciones generales para que un algebroide de Lie arbitrario sea integrable no fueron descubiertas hasta 2003 por Crainic y Fernandes . ^[17] Adoptando un enfoque más general, se puede ver que cada algebroide de Lie se integra en un grupoide de Lie apilado . ^{[18] [19]}

grupoide weinstein

Dado cualquier algebroide de Lie , el candidato natural para una integración está dado por el grupoide de Weinstein , donde denota el espacio de -caminos y la relación de -homotopía entre ellos. De hecho, se puede demostrar que es un grupoide topológico simplemente conexo, con la multiplicación inducida por la concatenación de caminos. Además, si es integrable, admite una estructura suave tal que coincida con el grupoide de Lie único -simplemente conexo integrante . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A):=P(A)/\sim }$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$

En consecuencia, el único obstáculo a la integrabilidad reside en la suavidad de . Este enfoque condujo a la introducción de objetos llamados grupos monodromía , asociados a cualquier algebroide de Lie, y al siguiente resultado fundamental: ^[17] ${\displaystyle G(A)}$

Un algebroide de Lie es integrable si y sólo si sus grupos monodromía son uniformemente discretos.

Tal afirmación se simplifica en el caso transitivo:

Un algebroide de Lie transitivo es integrable si y sólo si sus grupos de monodromía son discretos.

Los resultados anteriores muestran también que cada algebroide de Lie admite una integración a un grupoide de Lie local (en términos generales, un grupoide de Lie donde la multiplicación se define solo en una vecindad alrededor de los elementos de identidad).

Ejemplos integrables

• Las álgebras de Lie siempre son integrables (según el teorema de Lie III)
• Los algebroides de Atiyah de un paquete principal siempre son integrables (al grupoide de calibre de ese paquete principal)
• Los algebroides de mentira con anclaje inyectivo (de ahí los algebroides de foliación) siempre son integrables (según el teorema de Frobenius )
• Los paquetes de álgebra de Lie siempre son integrables ^[20]
• Los algebroides de acción de Lie siempre son integrables (pero la integración no es necesariamente un grupoide de acción de Lie) ^[21]
• Cualquier subalgebroide de Lie de un algebroide de Lie integrable es integrable. ^[12]

Un ejemplo no integrable

Considere el algebroide de Lie asociado a una forma 2 cerrada y el grupo de períodos esféricos asociados a , es decir, la imagen del siguiente homomorfismo de grupo del segundo grupo de homotopía de ${\displaystyle A_{\omega }=TM\times \mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathrm {Im} (\Phi )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \Phi :\pi _{2}(M)\to \mathbb {R} :\quad [f]\mapsto \int _{S^{2}}f^{*}\omega .}$$

Como es transitivo, es integrable si y sólo si es el algebroide de Atyah de algún paquete principal; un análisis cuidadoso muestra que esto sucede si y sólo si el subgrupo es un retículo , es decir, es discreto. Un ejemplo explícito en el que dicha condición falla se da tomando y para la forma de área. Aquí resulta ser , que es denso en . ${\displaystyle A_{\omega }}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M=S^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {pr} _{1}^{*}\sigma +{\sqrt {2}}\mathrm {pr} _{2}^{*}\sigma \in \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Omega ^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ver también

• algebroide R
• mentira bialgebroide

Referencias

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3. JC, Herz (1953). "Pseudoálgebras de mentira". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 236 : 1935-1937.
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Libros y apuntes de conferencias.

• Alan Weinstein, Groupoides: unificando la simetría interna y externa, AMS Notices , 43 (1996), 744-752. También disponible en arXiv:math/9602220.
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• Ieke Moerdijk, Janez Mrčun, Introducción a las foliaciones y los grupoides de mentira , Cambridge U. Press, 2010.