Conectividad homológica

Concepto de álgebra

En topología algebraica , la conectividad homológica es una propiedad que describe un espacio topológico basado en sus grupos de homología . ^[1]

Definiciones

Fondo

X está homólogamente conectado si su grupo de homología 0 es igual a Z , es decir , o equivalentemente, su grupo de homología reducido 0 es trivial :. ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0}$

• Por ejemplo, cuando X es un gráfico y su conjunto de componentes conectados es C , y (ver homología del gráfico ). Por lo tanto, la conectividad homológica es equivalente a que el gráfico tenga un solo componente conectado, lo que equivale a la conectividad del gráfico . Es similar a la noción de espacio conectado . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}}$

X está homólogamente conectado en 1 si está homólogamente conectado y, además, su 1º grupo de homología es trivial, es decir . ^[1] ${\displaystyle H_{1}(X)\cong 0}$

• Por ejemplo, cuando X es un gráfico conectado con un conjunto de vértices V y un conjunto de aristas E ,. Por lo tanto, la conectividad 1 homológica es equivalente a que el gráfico sea un árbol . Informalmente, corresponde a que X no tenga "agujeros" con un límite unidimensional, lo cual es similar a la noción de un espacio simplemente conectado . ${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}}$

En general, para cualquier número entero k , X está homólogamente k-conectado si sus grupos de homología reducidos de orden 0, 1, ..., k son todos triviales. Tenga en cuenta que el grupo de homología reducido es igual al grupo de homología para 1,..., k (solo el grupo de homología reducido 0 es diferente).

Conectividad

La conectividad homológica de X , denotada conn _H (X) , es la mayor k ≥ 0 para la cual X está homólogamente k -conectado. Ejemplos:

• Si todos los grupos de homología reducidos de X son triviales, entonces conn _H (X) = infinito . Esto es válido, por ejemplo, para cualquier pelota .
• Si el grupo 0 es trivial pero el grupo 1 no lo es, entonces conn _H (X) = 0 . Esto es válido, por ejemplo, para un gráfico conexo con un ciclo.
• Si todos los grupos de homología reducida no son triviales, entonces conn _H (X) = -1 . Esto es válido para cualquier espacio desconectado.
• La conectividad del espacio vacío es, por convención, conn _H (X) = -2 .

Algunos cálculos se vuelven más simples si la conectividad se define con un desplazamiento de 2, es decir ,. ^[2] La eta del espacio vacío es 0, que es su valor más pequeño posible. La eta de cualquier espacio desconectado es 1. ${\displaystyle \eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2}$

Dependencia del campo de coeficientes.

La definición básica considera grupos de homología con coeficientes enteros. Considerar grupos de homología con otros coeficientes conduce a otras definiciones de conectividad. Por ejemplo, X es F ₂ -homológicamente conexo 1 si su primer grupo de homología con coeficientes de F ₂ (el campo cíclico de tamaño 2) es trivial, es decir: . ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0}$

Conectividad homológica en espacios específicos.

Para conocer la conectividad homológica de complejos simpliciales, consulte homología simplicial . Se calculó la conectividad homológica para varios espacios, entre ellos:

• El complejo de independencia de un gráfico; ^{[3] [4]}
• Un complejo simplicial bidimensional aleatorio ; ^[1]
• Un complejo simplicial aleatorio de k dimensiones; ^[5]
• Un hipergrafo aleatorio ; ^[6]
• Un complejo de Čech aleatorio . ^[7]

Relación con la conectividad homotópica

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homológica con la conectividad homotópica , denotada por . ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$

Para cualquier X que sea simplemente conexo, es decir, las conectividades son las mismas: ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$

$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)}$$

X ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$

$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$

Conectividad homotópica

Ver también

El juego de Meshulam es un juego que se juega en un gráfico G , que puede usarse para calcular un límite inferior de la conectividad homológica del complejo de independenciade G.

Referencias

1. Linial*, Nathan; Meshulam*, Roy (1 de agosto de 2006). "Conectividad homológica de 2 complejos aleatorios". Combinatoria . 26 (4): 475–487. doi :10.1007/s00493-006-0027-9. ISSN  1439-6912. S2CID  10826092.
2. Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (1 de octubre de 2017). "Sobre una conjetura de Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 87 (2): 203–211. doi :10.1007/s12188-016-0160-3. ISSN  1865-8784. S2CID  119139740.
3. Meshulam, Roy (1 de mayo de 2003). "Números de dominación y homología". Revista de teoría combinatoria, serie A. 102 (2): 321–330. doi : 10.1016/s0097-3165(03)00045-1 . ISSN  0097-3165.
4. Adamaszek, Michał; Barmak, Jonathan Ariel (6 de noviembre de 2011). "Sobre un límite inferior para la conectividad del complejo de independencia de un grafo". Matemáticas discretas . 311 (21): 2566–2569. doi : 10.1016/j.disc.2011.06.010 . ISSN  0012-365X.
5. Meshulam, R.; Wallach, N. (2009). "Conectividad homológica de complejos aleatorios de k-dimensionales". Algoritmos y estructuras aleatorias . 34 (3): 408–417. arXiv : matemáticas/0609773 . doi :10.1002/rsa.20238. ISSN  1098-2418. S2CID  8065082.
6. Cooley, Oliver; Haxell, Penny ; Kang, Mihyun ; Sprüssel, Philipp (4 de abril de 2016). "Conectividad homológica de hipergrafías aleatorias". arXiv : 1604.00842 [matemáticas.CO].
7. Bobrowski, Omer (12 de junio de 2019). "Conectividad homológica en complejos aleatorios de Čech". arXiv : 1906.04861 [matemáticas.PR].