Bialgebroid de mentira

Estructura matemática en geometría diferencial no riemanniana

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas, un bialgebroide de Lie consiste en dos álgebroides de Lie compatibles definidos en fibrados vectoriales duales. Los bialgebroides de Lie son la versión de fibrado vectorial de las biálgebras de Lie .

Definición

Nociones preliminares

Un algebroide de Lie consiste en una operación antisimétrica bilineal sobre las secciones de un fibrado vectorial sobre una variedad suave , junto con un morfismo de fibrado vectorial sujeto a la regla de Leibniz. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho :A\to TM}$

${\displaystyle [\phi ,f\cdot \psi ]=\rho (\phi )[f]\cdot \psi +f\cdot [\phi ,\psi ],}$

y la identidad de Jacobi

${\displaystyle [\phi ,[\psi _{1},\psi _{2}]]=[[\phi ,\psi _{1}],\psi _{2}]+[\psi _{1},[\phi ,\psi _{2}]]}$

donde son secciones de y es una función suave en . ${\displaystyle \phi ,\psi _{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

El corchete de Lie se puede extender a campos multivectoriales graduados simétricos a través de la regla de Leibniz ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{A}}$ ${\displaystyle \Gamma (\wedge A)}$

${\displaystyle [\Phi \wedge \Psi ,\mathrm {X} ]_{A}=\Phi \wedge [\Psi ,\mathrm {X} ]_{A}+(-1)^{|\Psi |(|\mathrm {X} |-1)}[\Phi ,\mathrm {X} ]_{A}\wedge \Psi }$

para campos multivectoriales homogéneos . ${\displaystyle \phi ,\psi ,X}$

La diferencial algebroide de Lie es un operador -lineal en las formas -de grado 1 sujeto a la regla de Leibniz. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega _{A}(M)=\Gamma (\wedge A^{*})}$

${\displaystyle d_{A}(\alpha \wedge \beta )=(d_{A}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{|\alpha |}\alpha \wedge d_{A}\beta }$

para -formas y . Se caracteriza únicamente por las condiciones ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle (d_{A}f)(\phi )=\rho (\phi )[f]}$

y

${\displaystyle (d_{A}\alpha )[\phi ,\psi ]=\rho (\phi )[\alpha (\psi )]-\rho (\psi )[\alpha (\phi )]-\alpha [\phi ,\psi ]}$

para funciones en , -1-formas y secciones de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha \in \Gamma (A^{*})}$ ${\displaystyle \phi ,\psi }$ ${\displaystyle A}$

La definición

Un bialgebroide de Lie consta de dos algebroides de Lie y en los fibrados vectoriales duales y , sujeto a la compatibilidad ${\displaystyle (A,\rho _{A},[\cdot ,\cdot ]_{A})}$ ${\displaystyle (A^{*},\rho _{*},[\cdot ,\cdot ]_{*})}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A^{*}\to M}$

${\displaystyle d_{*}[\phi ,\psi ]_{A}=[d_{*}\phi ,\psi ]_{A}+[\phi ,d_{*}\psi ]_{A}}$

para todas las secciones de . Aquí se denota la diferencial algebroidal de Lie de la cual también opera en los campos multivectoriales . ${\displaystyle \phi ,\psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma (\wedge A)}$

Simetría de la definición

Se puede demostrar que la definición es simétrica en y , es decir, es un bialgebroide de Lie si y sólo si es. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle (A^{*},A)}$

Ejemplos

1. Una biálgebra de Lie consta de dos álgebras de Lie y de espacios vectoriales duales y de manera que la diferencial de Chevalley-Eilenberg es una derivación del corchete . ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ]_{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}^{*},[\cdot ,\cdot ]_{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. Una variedad de Poisson da lugar naturalmente a un bialgebroide de Lie en (con el corchete conmutador de los campos vectoriales tangentes) y (con el corchete de Lie inducido por la estructura de Poisson). La diferencial es y la compatibilidad se sigue entonces de la identidad de Jacobi del corchete de Schouten. ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle d_{*}=[\pi ,\cdot ]}$

Versión infinitesimal de un grupoide de Poisson

Es bien sabido que la versión infinitesimal de un grupoide de Lie es un algebroide de Lie (como caso especial, la versión infinitesimal de un grupo de Lie es un álgebra de Lie). Por lo tanto, cabe preguntarse qué estructuras deben diferenciarse para obtener un bialgebroide de Lie.

Definición de grupoide de Poisson

Un grupoide de Poisson es un grupoide de Lie junto con una estructura de Poisson en tal que el gráfico de la función de multiplicación es coisotrópico. Un ejemplo de un grupoide de Poisson-Lie es un grupo de Poisson-Lie (donde es un punto). Otro ejemplo es un grupoide simpléctico (donde la estructura de Poisson no es degenerada en ). ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m\subset G\times G\times (G,-\pi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TG}$

Diferenciación de la estructura

Recordemos la construcción de un álgebroide de Lie a partir de un grupoide de Lie. Tomamos las fibras -tangentes (o equivalentemente las fibras -tangentes) y consideramos su fibrado vectorial retirado hacia la variedad base . Una sección de este fibrado vectorial puede identificarse con un cuerpo vectorial -invariante en el que se forma un álgebra de Lie con respecto al corchete del conmutador en . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TG}$

Tomamos así el algebroide de Lie del grupoide de Poisson. Se puede demostrar que la estructura de Poisson induce una estructura de Poisson lineal con fibras en . De manera análoga a la construcción del algebroide de Lie cotangente de una variedad de Poisson, existe una estructura algebroide de Lie en inducida por esta estructura de Poisson. De manera análoga al caso de la variedad de Poisson, se puede demostrar que y forman un bialgebroide de Lie. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Doble de un bialgebroide de Lie y superlengua de bialgebroides de Lie

Para las biálgebras de Lie existe la noción de ternas de Manin, es decir, pueden estar dotadas de la estructura de un álgebra de Lie tal que y son subálgebras y contienen la representación de en , viceversa. La estructura de suma es simplemente ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{*})}$ ${\displaystyle c={\mathfrak {g}}+{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=[X,Y]_{g}+\mathrm {ad} _{\alpha }Y-\mathrm {ad} _{\beta }X+[\alpha ,\beta ]_{*}+\mathrm {ad} _{X}^{*}\beta -\mathrm {ad} _{Y}^{*}\alpha }$.

Algebroides de Courant

Resulta que la generalización ingenua a los álgebroides de Lie ya no da lugar a un álgebroide de Lie. En su lugar, hay que modificar la identidad de Jacobi o violar la simetría antisimétrica y, por lo tanto, se llega a los álgebroides de Courant . ^[1]

Superlenguaje

El superlenguaje apropiado de un algebroide de Lie es , la supervariedad cuyo espacio de (super)funciones son las -formas. En este espacio, el algebroide de Lie se puede codificar mediante su diferencial de algebroide de Lie, que es simplemente un campo vectorial impar. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi A}$ ${\displaystyle A}$

Como primera estimación, la superrealización de un bialgebroide de Lie debería ser . Pero, lamentablemente, no es una diferencial, básicamente porque no es un algebroide de Lie. En su lugar, si utilizamos la variedad N-graduada más grande a la que podemos elevar y como campos vectoriales hamiltonianos impares, entonces sus cuadrados de suma a si y solo si es un bialgebroide de Lie. ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle \Pi A+\Pi A^{*}}$ ${\displaystyle d_{A}+d_{*}|\Pi A+\Pi A^{*}}$ ${\displaystyle A+A^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}[2]A[1]=T^{*}[2]A^{*}[1]}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle d_{*}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$

Referencias

1. Z.-J. Liu, A. Weinstein y P. Xu: Triples de Manin para bialgebroides de Lie, Journ. of diff. geom. vol. 45, págs. 547–574 (1997)

• C. Albert y P. Dazord: Théorie des groupoïdes symplectiques: Capítulo II, Groupoïdes symplectiques. (en Publications du Département de Mathématiques de l'Université Claude Bernard, Lyon I, nouvelle série, págs. 27–99, 1990)
• Y. Kosmann-Schwarzbach: El bialgebroide de Lie de una variedad de Poisson-Nijenhuis. (Lett. Math. Phys., 38:421–428, 1996)
• K. Mackenzie, P. Xu: Integración de bialgebroides de Lie (1997),
• K. Mackenzie, P. Xu: Bialgebroides de Lie y grupoides de Poisson (Duke J. Math, 1994)
• A. Weinstein: Grupoides simplécticos y variedades de Poisson (AMS Bull, 1987),