Cohomología del álgebra de mentiras

Teoría de cohomología para álgebras de Lie

En matemáticas , la cohomología del álgebra de Lie es una teoría de cohomología para las álgebras de Lie . Fue introducido por primera vez en 1929 por Élie Cartan para estudiar la topología de grupos de Lie y espacios homogéneos ^[1] relacionando los métodos cohomológicos de Georges de Rham con las propiedades del álgebra de Lie. Posteriormente, Claude Chevalley y Samuel Eilenberg (1948) lo ampliaron a coeficientes en un módulo de Lie  arbitrario . ^[2]

Motivación

Si es un grupo de Lie compacto simplemente conexo , entonces está determinado por su álgebra de Lie, por lo que debería ser posible calcular su cohomología a partir del álgebra de Lie. Esto puede hacerse de la siguiente manera. Su cohomología es la cohomología de De Rham del complejo de formas diferenciales en . Utilizando un proceso de promediación, este complejo puede reemplazarse por el complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda . Mientras tanto, las formas invariantes a la izquierda están determinadas por sus valores en la identidad, de modo que el espacio de formas diferenciales invariantes a la izquierda puede identificarse con el álgebra exterior del álgebra de Lie, con un diferencial adecuado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La construcción de este diferencial en un álgebra exterior tiene sentido para cualquier álgebra de Lie, por lo que se utiliza para definir la cohomología del álgebra de Lie para todas las álgebras de Lie. De manera más general, se utiliza una construcción similar para definir la cohomología del álgebra de Lie con coeficientes en un módulo.

Si es un grupo de Lie no compacto simplemente conexo , la cohomología del álgebra de Lie asociada no necesariamente reproduce la cohomología de De Rham de . La razón de esto es que el paso del complejo de todas las formas diferenciales al complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda utiliza un proceso de promediación que sólo tiene sentido para grupos compactos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Definición

Sea un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R con álgebra envolvente universal , y sea M una representación de (equivalentemente, un módulo). Considerando R como una representación trivial de , se definen los grupos de cohomología ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(consulte el functor Ext para conocer la definición de Ext). De manera equivalente, estos son los funtores derivados por la derecha del funtor del submódulo invariante exacto izquierdo

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

De manera análoga, se puede definir la homología del álgebra de Lie como

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

(consulte el funtor Tor para conocer la definición de Tor), que es equivalente a los funtores derivados por la izquierda del funtor de coinvariantes exactas por la derecha.

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

Algunos resultados básicos importantes sobre la cohomología de las álgebras de Lie incluyen los lemas de Whitehead , el teorema de Weyl y el teorema de descomposición de Levi .

Complejo Chevalley-Eilenberg

Sea un álgebra de Lie sobre un campo , con una acción izquierda en el módulo . Los elementos del complejo Chevalley-Eilenberg ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}$

se llaman cocadenas de a . Una cocadena homogénea de a es, por tanto, una función multilineal alterna . Cuando se genera finitamente como espacio vectorial, el complejo de Chevalley-Eilenberg es canónicamente isomorfo al producto tensorial , donde denota el espacio vectorial dual de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El corchete de Lie on induce una aplicación de transposición por dualidad. Esto último es suficiente para definir una derivación del complejo de cocadenas desde a extendiéndolo según la regla graduada de Leibniz. De la identidad Jacobi se desprende que satisface y es de hecho un diferencial. En este contexto, se considera un módulo trivial, mientras que se pueden considerar constantes. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}$

En general, denotemos la acción izquierda de on y considérela como una aplicación . El diferencial de Chevalley-Eilenberg es entonces la derivación única que extiende y de acuerdo con la regla graduada de Leibniz , la condición de nilpotencia que se deriva del homomorfismo del álgebra de Lie de a y la identidad de Jacobi en . ${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Explícitamente, el diferencial de la -cocadena es la -cocadena dada por: ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}$

donde el signo de intercalación significa omitir ese argumento.

Cuando es un grupo de Lie real con álgebra de Lie , el complejo Chevalley-Eilenberg también puede identificarse canónicamente con el espacio de formas invariantes a la izquierda con valores en , denotado por . El diferencial de Chevalley-Eilenberg puede entonces considerarse como una restricción de la derivada covariante en el haz de fibras trivial, equipado con la conexión equivariante asociada con la acción izquierda de on . En el caso particular en el que está equipado con la acción trivial de , el diferencial de Chevalley-Eilenberg coincide con la restricción del diferencial de De Rham al subespacio de formas diferenciales invariantes a la izquierda. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}$ ${\displaystyle G\times M\rightarrow G}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}$

Cohomología en pequeñas dimensiones.

El grupo de cohomología cero son (por definición) los invariantes del álgebra de Lie que actúan sobre el módulo:

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

El primer grupo de cohomología es el espacio Der de derivaciones módulo el espacio Ider de derivaciones internas

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$,

donde una derivación es un mapa del álgebra de Lie tal que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

y se llama interior si está dado por

${\displaystyle dx=xa~}$

para algunos en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$

El segundo grupo de cohomología.

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

es el espacio de clases de equivalencia de extensiones de álgebra de Lie

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

del álgebra de Lie por el módulo . ${\displaystyle M}$

De manera similar, cualquier elemento del grupo de cohomología proporciona una clase de equivalencia de formas de extender el álgebra de Lie a un " álgebra de Lie" con grado cero y grado . ^[4] Un álgebra de Lie es un álgebra de Lie homotópica con términos distintos de cero sólo en grados 0 a . ${\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplos

Cohomología en el módulo trivial.

Cuando , como se mencionó anteriormente, el complejo Chevalley-Eilenberg coincide con el complejo de-Rham para un grupo de Lie compacto correspondiente . En este caso conlleva la acción trivial de , so for each . ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle xa=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},a\in M}$

• El grupo de cohomología cero es . ${\displaystyle M}$
• Primera cohomología: dada una derivación , para todos y , entonces las derivaciones satisfacen para todos los conmutadores, por lo que el ideal está contenido en el núcleo de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle xdy=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D([x,y])=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle D}$
  • Si , como es el caso de las álgebras de Lie simples , entonces , el espacio de derivaciones es trivial, por lo que la primera cohomología es trivial. ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\equiv 0}$
  • Si es abeliano, es decir , entonces cualquier funcional lineal es de hecho una derivación, y el conjunto de derivaciones internas es trivial ya que satisfacen para cualquiera . Entonces el primer grupo de cohomología en este caso es . A la luz de la correspondencia de De-Rham, esto muestra la importancia del supuesto compacto, ya que este es el primer grupo de cohomología del -toro visto como un grupo abeliano, y también puede verse como un grupo abeliano de dimensión , pero tiene triviales cohomología. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0}$ ${\displaystyle D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M}$ ${\displaystyle Dx=xa=0}$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Segunda cohomología: El segundo grupo de cohomología es el espacio de clases de equivalencia de extensiones centrales.

$${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.}$$

aquí

Cohomología en el módulo adjunto.

Cuando , la acción es la acción adjunta ,. ${\displaystyle M={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y}$

• El grupo de cohomología cero es el centro. ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$
• Primera cohomología: las derivaciones internas están dadas por , por lo que son precisamente la imagen de El primer grupo de cohomología es el espacio de derivaciones externas . ${\displaystyle Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x}$ ${\displaystyle {\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).}$

Ver también

• Formalismo BRST en física teórica.
• Cohomología de Gelfand-Fuks

Referencias

1. Cartan, Élie (1929). "Sur les invariantes integrados de ciertos espacios homogéneos clos". Annales de la Société Polonesa de Mathématique . 8 : 181–225.
2. Koszul, Jean-Louis (1950). "Homología y cohomología de los álgebras de mentira". Boletín de la Société Mathématique de France . 78 : 65-127. doi : 10.24033/bsmf.1410 . Archivado desde el original el 21 de abril de 2019 . Consultado el 3 de mayo de 2019 .
3. Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 240.
4. Báez, John C .; Crans, Alissa S. (2004). "Álgebra VI de dimensiones superiores: álgebras de 2 mentiras". Teoría y Aplicaciones de Categorías . 12 : 492–528. arXiv : matemáticas/0307263 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 7263B. CiteSeerX 10.1.1.435.9259 . 

• Chevalley, Claude ; Eilenberg, Samuel (1948), "Teoría de cohomología de grupos de Lie y álgebras de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , 63 (1), Providence, RI: American Mathematical Society : 85–124, doi : 10.2307/1990637 , ISSN  0002 -9947, JSTOR  1990637, SEÑOR  0024908
• Hilton, Peter J .; Stammbach, Urs (1997), Un curso de álgebra homológica , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 4 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2, señor  1438546
• Knapp, Anthony W. (1988), Grupos de Lie, álgebras de Lie y cohomología , Mathematical Notes, vol. 34, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08498-5, señor  0938524