mentira grupoide

En matemáticas , un grupoide de Lie es un grupoide donde el conjunto de objetos y el conjunto de morfismos son múltiples , todas las operaciones de categoría (fuente y destino, composición, mapa de asignación de identidad e inversión) son fluidas, y las operaciones de origen y destino ${\displaystyle \operatorname {Ob} }$ ${\displaystyle \operatorname {Mor} }$

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

son inmersiones .

Por lo tanto, se puede pensar en un grupoide de Lie como una "generalización de muchos objetos" de un grupo de Lie , del mismo modo que un grupoide es una generalización de muchos objetos de un grupo . En consecuencia, mientras que los grupos de Lie proporcionan un modelo natural para simetrías continuas (clásicas) , los grupoides de Lie se utilizan a menudo como modelo para (y surgen de) simetrías generalizadas y dependientes de puntos. ^[1] Ampliando la correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, los grupoides de Lie son las contrapartes globales de los algebroides de Lie .

Los grupoides de mentira fueron introducidos por Charles Ehresmann ^{[2] [3]} con el nombre de grupoides diferenciables .

Definición y conceptos básicos

Un grupoide de mentira consiste en

• dos colectores lisos y ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• dos inmersiones sobreyectivas (llamadas, respectivamente, proyecciones de origen y de destino ) ${\displaystyle s,t:G\to M}$
• un mapa (llamado mapa de multiplicación o composición), donde usamos la notación ${\displaystyle m:G^{(2)}:=\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\}\to G}$ ${\displaystyle gh:=m(g,h)}$
• un mapa (llamado mapa de unidades o mapa de inclusión de objetos), donde usamos la notación ${\displaystyle u:M\to G}$ ${\displaystyle 1_{x}:=u(x)}$
• un mapa (llamado inversión ), donde usamos la notación ${\displaystyle i:G\to G}$ ${\displaystyle g^{-1}:=i(g)}$

tal que

• la composición satisface y para cada cosa para la que se define la composición ${\displaystyle s(gh)=s(h)}$ ${\displaystyle t(gh)=t(g)}$ ${\displaystyle g,h\in G}$
• la composición es asociativa , es decir, para cada cosa para la cual se define la composición ${\displaystyle g(hl)=(gh)l}$ ${\displaystyle g,h,l\in G}$
• ${\displaystyle u}$funciona como una identidad , es decir, para todos y para todos ${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g1_{s(g)}=g}$ ${\displaystyle 1_{t(g)}g=g}$ ${\displaystyle g\in G}$
• ${\displaystyle i}$funciona como inverso , es decir, y para cada . ${\displaystyle g^{-1}g=1_{s(g)}}$ ${\displaystyle gg^{-1}=1_{t(g)}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Usando el lenguaje de la teoría de categorías , un grupoide de Lie se puede definir de manera más compacta como un grupoide (es decir, una categoría pequeña donde todos los morfismos son invertibles) de manera que los conjuntos de objetos y de morfismos son múltiples, los mapas ,, y son suaves . y y son sumersiones. Por lo tanto, un grupoide de Lie no es simplemente un objeto grupoide en la categoría de variedades suaves : hay que preguntarse por la propiedad adicional de que y son sumersiones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Los grupoides de mentira a menudo se indican con , donde las dos flechas representan el origen y el destino. La notación también se utiliza con frecuencia, especialmente cuando se enfatiza la estructura simple del nervio asociado . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$

Para incluir ejemplos más naturales, en general no se requiere que la variedad sea Hausdorff o segunda contable (mientras y todos los demás espacios lo son). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Definiciones alternativas

La definición original de Ehresmann requería y poseer una estructura suave tal que solo sea suave y los mapas y sean sumersiones (es decir, tengan un rango localmente constante ). Esta definición resultó ser demasiado débil y Pradines la reemplazó por la que se utiliza actualmente. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$

Si bien algunos autores ^[5] introdujeron definiciones más débiles que no requerían ni debían ser inmersiones, estas propiedades son fundamentales para desarrollar toda la teoría de Lie de los grupoides y algebroides. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Primeras propiedades

El hecho de que el mapa de origen y de destino de un grupoide de Lie sean inmersiones suaves tiene algunas consecuencias inmediatas: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• las -fibras , las -fibras y el conjunto de morfismos componibles son subvariedades ; ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$
• el mapa de inversión es un difeomorfismo ; ${\displaystyle i}$
• el mapa de la unidad es una incrustación suave ; ${\displaystyle u}$
• los grupos de isotropía son grupos de Lie ; ${\displaystyle G_{x}}$
• las órbitas son subvariedades sumergidas ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$
• la fibra en un punto es un haz principal sobre la órbita en ese punto. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$

Subobjetos y morfismos

Un subgrupoide de Lie de un grupoide de Lie es un subgrupoide (es decir, una subcategoría de la categoría ) con el requisito adicional de que sea una subvariedad sumergida. En cuanto a una subcategoría, un subgrupoide (Lie) se llama ancho si . Cualquier grupoide de Lie tiene dos subgrupoides amplios canónicos: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• la unidad/identidad Subgrupo de mentiras ; ${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$
• el subgrupoide interno , es decir, el conjunto de grupos de isotropía (que, sin embargo, pueden no ser suaves en general). ${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$

Un subgrupoide de Lie normal es un subgrupoide de Lie amplio en su interior, de manera que, para cada uno con , uno tiene . Los grupos de isotropía de son, por tanto, subgrupos normales de los grupos de isotropía de . ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle h\in H,g\in G}$ ${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$ ${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Un morfismo grupoide de Lie entre dos grupoides de Lie y es un morfismo grupoide (es decir, un functor entre las categorías y ), donde ambos y son suaves. El núcleo de un morfismo entre grupoides de Lie sobre la misma variedad base es automáticamente un subgrupoide de Lie normal. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$

El cociente tiene una estructura grupoide natural tal que la proyección es un morfismo grupoide; sin embargo, a diferencia de los cocientes de grupos de Lie , es posible que no sea un grupoide de Lie en general. En consecuencia, los teoremas de isomorfismo para grupoides no pueden especializarse en toda la categoría de grupoides de Lie, sino solo en clases especiales. ^[6] ${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$ ${\displaystyle G/\ker(F)}$

Un grupoide de Lie se llama abeliano si sus grupos de Lie de isotropía son abelianos . Por razones similares a las anteriores, si bien la definición de abelianización de un grupo se extiende a los grupoides de la teoría de conjuntos, en el caso de Lie el análogo del cociente puede no existir o no ser uniforme. ^[7] ${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$

bisecciones

Una bisección de un grupoide de Lie es un mapa suave tal que y es un difeomorfismo de . Para superar la falta de simetría entre la fuente y el objetivo, una bisección se puede definir de manera equivalente como una subvariedad tal que y son difeomorfismos; la relación entre las dos definiciones está dada por . ^[8] ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle b:M\to G}$ ${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$ ${\displaystyle t\circ b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle B=b(M)}$

El conjunto de bisecciones forma un grupo , con la multiplicación definida como ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$

$${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$

$${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$

${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$ ${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$

Al grupo de bisecciones se le puede dar la topología compacta-abierta , así como una estructura (de dimensión infinita) de variedad de Fréchet compatible con la estructura del grupo, convirtiéndolo en un grupo de Fréchet-Lie.

Una bisección local se define de manera análoga, pero la multiplicación entre bisecciones locales, por supuesto, solo se define parcialmente. ${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$

Ejemplos

Casos triviales y extremos

• Los grupoides de Lie con un objeto son lo mismo que los grupos de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• Dada cualquier variedad , existe un grupoide de Lie llamado grupoide par , con precisamente un morfismo de cualquier objeto a cualquier otro. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• Los dos ejemplos anteriores son casos particulares del grupoide trivial , con mapas de estructura ,,, y . ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s(x,g,y)=y}$ ${\displaystyle t(x,g,y)=x}$ ${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$ ${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$ ${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$
• Dada cualquier variedad , existe un grupoide de Lie llamado grupoide unitario , con precisamente un morfismo de un objeto a sí mismo, es decir, la identidad, y sin morfismos entre diferentes objetos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• De manera más general, los grupos de Lie son lo mismo que un paquete de grupos de Lie (no necesariamente localmente triviales). Por ejemplo, cualquier paquete de vectores es un paquete de grupos abelianos, por lo que es, en particular, un grupoide de Lie (n abeliano). ${\displaystyle s=t}$

Construcciones de otros grupoides de Lie

• Dado cualquier grupoide de Lie y una inmersión sobreyectiva , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide de retroceso o grupoide inducido , donde contiene tripletas tales que y , y la multiplicación se define mediante la multiplicación de . Por ejemplo, el retroceso del grupoide par de es el grupoide par de . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$ ${\displaystyle (x,g,y)}$ ${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$ ${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Dados dos grupoides de Lie cualesquiera y , hay un grupoide de Lie , llamado su producto directo , de modo que los morfismos grupoides y son inmersiones sobreyectivas. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide tangente , que se obtiene considerando el paquete tangente de y y el diferencial de los mapas de estructura. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide cotangente , obtenido considerando el paquete cotangente de , el dual del algebroide de Lie (ver más abajo) y mapas de estructura adecuados que involucran los diferenciales de las traslaciones izquierda y derecha. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide de chorro , obtenido considerando los k-jets de las bisecciones locales de (con estructura suave heredada del haz de chorros de ) y estableciendo ,, y . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$ ${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$ ${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$ ${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$ ${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$

Ejemplos de geometría diferencial

• Dada una inmersión , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide de inmersión o grupoide de pares de fibras , cuyos mapas de estructura se inducen a partir del grupoide de pares (la condición de que sea una inmersión asegura la suavidad de ). Si es un punto, se recupera el par grupoide. ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$ ${\displaystyle N}$
• Dado un grupo de Lie que actúa sobre una variedad , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide de acción o grupoide de traducción , con un morfismo para cada triplete con . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$ ${\displaystyle gx=y}$
• Dado cualquier paquete de vectores , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide lineal general , con morfismos entre isomorfismos lineales entre las fibras y . Por ejemplo, si es el paquete de vectores trivial de rango , entonces es el grupoide de acción. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$
• Cualquier paquete principal con grupo de estructura define un grupoide de Lie , donde actúa sobre los pares componente a componente, llamado grupoide de calibre . La multiplicación se define mediante representantes compatibles como en el grupoide par. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$
• Cualquier foliación en una variedad define dos grupoides de Lie, (o ) y , llamados respectivamente monodromía/homotopía/grupoide fundamental y grupoide de holonomía de , cuyos morfismos consisten en clases de equivalencia de homotopía , respectivamente holonomía , de caminos que se encuentran enteramente en una hoja de . Por ejemplo, cuando se trata de la foliación trivial con una sola hoja, se recupera, respectivamente, el grupoide fundamental y el grupoide par de . En cambio, cuando se trata de una foliación simple, es decir, la foliación por fibras (conectadas) de una inmersión , su grupoide holonómico es precisamente el grupoide de inmersión pero su grupoide monodromía puede incluso no ser el de Hausdorff, por un criterio general en términos de ciclos de desaparición. ^[9] En general, muchas foliaciones elementales dan lugar a grupoides de monodromía y holonomía que no son de Hausdorff. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$
• Dado cualquier pseudogrupo , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide germen , dotado de la topología de gavilla y con mapas de estructura análogos a los del grupoide de chorro. Este es otro ejemplo natural de grupoide de Lie cuyo espacio de flecha no es Hausdorff ni segundo contable. ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$

Clases importantes de grupoides de Lie

Tenga en cuenta que algunas de las siguientes clases ya tienen sentido en la categoría de grupoides topológicos o teóricos de conjuntos .

Grupoides transitivos

Un grupoide de Lie es transitivo (en la literatura antigua también se llama conectado) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• sólo hay una órbita;
• hay al menos un morfismo entre dos objetos cualesquiera;
• el mapa (también conocido como ancla de ) es sobreyectivo. ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Los grupoides de calibre constituyen los ejemplos prototípicos de grupoides de Lie transitivos: de hecho, cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo al grupoide de calibre de algún paquete principal, es decir, el -paquete , para cualquier punto . Por ejemplo: ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$ ${\displaystyle x\in M}$

• el grupoide trivial de Lie es transitivo y surge del paquete principal trivial . Como casos particulares, los grupos de Lie y los grupoides de pares son trivialmente transitivos y surgen, respectivamente, del paquete principal y del paquete principal ; ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times M\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to {*}}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• un grupoide de acción es transitivo si y sólo si la acción del grupo es transitiva , y en tal caso surge del paquete principal con grupo estructural el grupo de isotropía (en un punto arbitrario); ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to M}$
• el grupoide lineal general de es transitivo y surge del paquete de marcos ; ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$
• Los grupoides de retroceso, los grupoides de chorro y los grupoides tangentes son transitivos si y solo si son transitivos. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Como un ejemplo menos trivial de la correspondencia entre grupoides de Lie transitivos y haces principales, considere el grupoide fundamental de una variedad suave (conectada) . Se trata naturalmente de un grupoide topológico, que además es transitivo; se puede ver que es isomorfo al grupoide de calibre de la cubierta universal de . En consecuencia, hereda una estructura suave que lo convierte en un grupoide de Lie. ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

Los grupoides de inmersiones son un ejemplo de grupoides de Lie no transitivos, cuyas órbitas son precisamente las fibras de . ${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$

Una noción más fuerte de transitividad requiere que el ancla sea una inmersión sobreyectiva. Tal condición también se llama trivialidad local , porque se vuelve localmente isomorfa (como grupoide de Lie) a un grupoide trivial sobre cualquier abierto (como consecuencia de la trivialidad local de los paquetes principales). ^[6] ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$

Cuando el espacio es contable en segundo lugar, la transitividad implica trivialidad local. En consecuencia, estas dos condiciones son equivalentes para muchos ejemplos pero no para todos: por ejemplo, si es un pseudogrupo transitivo, su grupoide germen es transitivo pero no localmente trivial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$

Grupoides adecuados

Un grupoide de Lie se llama adecuado si es un mapa adecuado . Como consecuencia ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$

• todos los grupos de isotropía son compactos ; ${\displaystyle G}$
• todas las órbitas de son subvariedades cerradas; ${\displaystyle G}$
• el espacio de la órbita es Hausdorff . ${\displaystyle M/G}$

Por ejemplo:

• un grupo de Lie es adecuado si y sólo si es compacto;
• los grupoides de pares siempre son adecuados;
• los grupoides unitarios siempre son adecuados;
• un grupoide de acción es adecuado si y sólo si la acción es adecuada ;
• el grupoide fundamental es propio si y sólo si los grupos fundamentales son finitos .

Como se vio anteriormente, la propiedad de los grupoides de Lie es el análogo "correcto" de la compacidad de los grupos de Lie. También se podrían considerar condiciones más "naturales", por ejemplo, pedir que el mapa fuente sea adecuado (entonces se llama s-proper ), o que todo el espacio sea compacto (entonces se llama compact ), pero estos requisitos resultan ser demasiado estrictos. para muchos ejemplos y aplicaciones. ^[10] ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Grupoides Étale

Un grupoide de Lie se llama étale si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• las dimensiones de y son iguales; ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle s}$es un difeomorfismo local ;
• todas las fibras son discretas ${\displaystyle s}$

Como consecuencia, también las fibras α, los grupos de isotropía y las órbitas se vuelven discretos. ${\displaystyle t}$

Por ejemplo:

• un grupo de Lie es étale si y sólo si es discreto;
• los grupoides de pares nunca son étale;
• los grupoides unitarios son siempre étale;
• un grupoide de acción es étale si y sólo si es discreto; ${\displaystyle G}$
• Los grupoides germinales de pseudogrupos son siempre étale.

Grupoides efectivos

Un grupoide étale se llama efectivo si, para dos bisecciones locales cualesquiera , la condición implica . Por ejemplo: ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$

• Los grupos de mentiras son eficaces si y sólo si son triviales;
• los grupoides unitarios siempre son efectivos;
• un grupoide de acción es efectivo si la acción es libre y discreta. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

En general, cualquier grupoide étale eficaz surge como grupoide germinal de algún pseudogrupo. ^[11] Sin embargo, también se puede dar una definición (más complicada) de efectividad, que no asume la propiedad étale.

Grupoides conectados a la fuente

Un grupoide de Lie se llama conexo si todas sus fibras están conectadas . De manera similar, se habla de grupoides simplemente conectados (cuando las fibras están simplemente conectadas ) o grupoides conectados a la fuente k (cuando las fibras están conectadas k , es decir, los primeros grupos de homotopía son triviales). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Tenga en cuenta que no se pide que todo el espacio de flechas satisfaga ninguna hipótesis de conexión. Sin embargo, si hay un grupoide de Lie conectado a una fuente sobre un colector conectado, entonces él mismo está conectado automáticamente . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

Por ejemplo

• Los grupos de mentiras están conectados con su fuente si y sólo si están conectados; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• un grupoide de par está conectado a la fuente si y sólo si está conectado; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$
• los grupoides unitarios siempre están conectados en origen; ${\displaystyle k}$
• los grupoides de acción están conectados a la fuente si y sólo si están conectados; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$
• los grupoides monodromía (de ahí también los grupoides fundamentales) están simplemente conectados en fuente;
• un grupoide de calibre asociado a un paquete principal está conectado en origen si y sólo si el espacio total lo está. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

Otros conceptos relacionados

Acciones y paquetes principales

Recuerde que una acción de un grupoide en un conjunto a lo largo de una función se define mediante una colección de mapas para cada morfismo entre . En consecuencia, una acción de un grupoide de Lie sobre una variedad a lo largo de un mapa suave consiste en una acción grupoide donde los mapas son suaves. Por supuesto, para cada uno hay una acción suave inducida del grupo de isotropía sobre la fibra . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$

Dado un grupoide de Lie , un paquete principal consta de un espacio y una inmersión sobreyectiva invariante tal que ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to N}$

$${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$

${\displaystyle G}$

Cuando hay un grupoide de Lie sobre un punto, se recuperan, respectivamente, las acciones estándar del grupo de Lie y los paquetes principales . ${\displaystyle G}$

Representaciones

Una representación de un grupoide de Lie consiste en una acción del grupoide de Lie sobre un haz de vectores , de modo que la acción es lineal a fibra, es decir, cada biyección es un isomorfismo lineal. De manera equivalente, una representación de on puede describirse como un morfismo grupoide de Lie desde al grupoide lineal general . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(E)}$

Por supuesto, cualquier fibra se convierte en una representación del grupo de isotropía . De manera más general, las representaciones de grupoides de Lie transitivos están determinadas únicamente por las representaciones de sus grupos de isotropía, mediante la construcción del paquete de vectores asociado . ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle G_{x}}$

Ejemplos de representaciones de grupos de Lie incluyen los siguientes:

• Las representaciones de grupos de Lie recuperan las representaciones estándar de grupos de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• Las representaciones de grupoides de pares son paquetes de vectores triviales. ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• las representaciones de grupos unitarios son paquetes de vectores ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$
• Las representaciones del grupoide de acción son : paquetes de vectores equivariantes . ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$
• Las representaciones de grupoides fundamentales son haces de vectores dotados de conexiones planas. ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

El conjunto de clases de isomorfismo de representaciones de un grupoide de Lie tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de haces de vectores. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Cohomología diferenciable

La noción de cohomología diferenciable para los grupos de Lie se generaliza naturalmente también a los grupoides de Lie: la definición se basa en la estructura simple del nervio de , visto como una categoría. ${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Más precisamente, recordemos que el espacio consta de cadenas de morfismos componibles, es decir ${\displaystyle G^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

y considera el mapa . ${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$

Una cocadena diferenciable ${\displaystyle n}$ con coeficientes en alguna representación es una sección suave del paquete de vectores de retroceso . Se denota por el espacio de tales -cocadenas, y se considera el diferencial , definido como ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$ ${\displaystyle C^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Luego se convierte en un complejo de cocadena y su cohomología, denotada por , se llama cohomología diferenciable de con coeficientes en . Tenga en cuenta que, dado que el diferencial en el grado cero es , siempre se tiene . ${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$ ${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$

Por supuesto, la cohomología diferenciable de un grupoide de Lie coincide con la cohomología diferenciable estándar de un grupo de Lie (en particular, para grupos discretos se recupera la cohomología de grupo habitual ). Por otro lado, para cualquier grupoide de Lie adecuado , se puede demostrar que para cada . ^[12] ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$ ${\displaystyle n>0}$

El algebroide de Lie de un grupoide de Lie

Cualquier grupoide de Lie tiene asociado un algebroide de Lie , obtenido con una construcción similar a la que asocia un álgebra de Lie a cualquier grupo de Lieː ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$

• el paquete de vectores es el paquete vertical con respecto al mapa fuente, restringido a los elementos tangentes a las identidades, es decir ; ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}}$
• el corchete de Lie se obtiene identificándolo con los campos vectoriales invariantes a la izquierda en y transportando su corchete de Lie a ; ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• el mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino restringido a . ${\displaystyle A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$ ${\displaystyle A}$

La correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie se generaliza hasta cierto punto y se extiende también a los grupoides de Lie: los dos primeros teoremas de Lie (también conocidos como teorema de subgrupos-subálgebras y teorema de homomorfismos) pueden adaptarse fácilmente a este entorno.

En particular, como en la teoría de Lie estándar, para cualquier grupoide de Lie conectado en s hay un grupoide de Lie simplemente conectado en s único (hasta el isomorfismo) con el mismo algebroide de Lie de , y un difeomorfismo local que es un morfismo grupoide. Por ejemplo, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}\to G}$

• dada cualquier variedad conectada, su grupoide par está conectado en s pero no simplemente en s, mientras que su grupoide fundamental sí lo está. Ambos tienen el mismo algebroide de Lie, es decir, el paquete tangente , y el difeomorfismo local viene dado por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$
• dada cualquier foliación en , su grupoide holonómico está conectado en s pero no simplemente en s, mientras que su grupoide monodromía sí lo está. Ambos tienen el mismo algebroide de Lie, es decir, el algebroide de foliación , y el difeomorfismo local viene dado por (ya que las clases de homotopía son más pequeñas que las de holonomía). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\gamma ]}$

Sin embargo, no existe un análogo del tercer teorema de Lie : si bien varias clases de algebroides de Lie son integrables, hay ejemplos de algebroides de Lie, por ejemplo relacionados con la teoría de la foliación , que no admiten un grupoide de Lie integrador. ^[13] Las obstrucciones generales a la existencia de dicha integración dependen de la topología de . ^[14] ${\displaystyle G}$

equivalencia morita

Como se analizó anteriormente, la noción estándar de (iso)morfismo de grupoides (considerados como functores entre categorías ) se restringe naturalmente a los grupoides de Lie. Sin embargo, existe una noción más burda de equivalencia, llamada equivalencia de Morita, que es más flexible y útil en las aplicaciones.

Primero, un mapa de Morita (también conocido como equivalencia débil o equivalencia esencial) entre dos grupoides de Lie y consiste en un morfismo de grupoide de Lie de G a H que además es completamente fiel y esencialmente sobreyectivo (adaptando estas nociones categóricas al contexto fluido). Decimos que dos grupoides de Lie son equivalentes a Morita si y sólo si existe un tercer grupoide de Lie junto con dos mapas de Morita de G a K y de H a K. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle K_{1}\rightrightarrows K_{0}}$

Una descripción más explícita de la equivalencia de Morita (por ejemplo, útil para comprobar que es una relación de equivalencia ) requiere la existencia de dos sumersiones sobreyectivas y, junto con una acción izquierda y una acción derecha, conmutando entre sí y convirtiéndose en una bi-acción principal. manojo. ^[15] ${\displaystyle P\to G_{0}}$ ${\displaystyle P\to H_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

invariancia de morita

Muchas propiedades de los grupoides de Lie, por ejemplo, ser propio, ser Hausdorff o ser transitivo, son invariantes de Morita. Por otro lado, ser étale no es invariante de Morita.

Además, una equivalencia entre Morita y preserva su geometría transversal , es decir, induce: ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$

• un homeomorfismo entre los espacios de órbita y ; ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ ${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$
• un isomorfismo entre los grupos de isotropía en puntos correspondientes y ; ${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$
• un isomorfismo entre las representaciones normales de los grupos de isotropía en los puntos correspondientes y . ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$

Por último, las cohomologías diferenciables de dos grupoides de Lie equivalentes de Morita son isomorfas. ^[12]

Ejemplos

• Los grupoides isomórficos de Lie son trivialmente equivalentes a Morita.
• Dos grupos de Lie son equivalentes de Morita si y sólo si son isomorfos como grupos de Lie.
• Dos grupoides unitarios son equivalentes de Morita si y solo si las variedades base son difeomorfas.
• Cualquier grupoide de Lie transitivo es equivalente a Morita a sus grupos de isotropía.
• Dado un grupoide de Lie y una inmersión sobreyectiva , el grupoide de retroceso es equivalente a Morita . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$
• Dada una acción de grupo de Lie libre y adecuada de on (por lo tanto, el cociente es una variedad), el grupoide de acción es equivalente de Morita al grupoide unitario . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle u(M/G)\rightrightarrows M/G}$
• Un grupoide de Lie es equivalente a Morita a un grupoide de Étale si y sólo si todos los grupos de isotropía son discretos. ^[dieciséis] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo concreto del último ejemplo es el siguiente. Sea M una variedad lisa y una tapa abierta de . Su grupoide Čech está definido por las uniones disjuntas y , donde . El mapa de origen y de destino se definen como las incrustaciones y , y la multiplicación es obvia si leemos como subconjuntos de M (los puntos compatibles en y en realidad son los mismos en y también se encuentran en ). El grupoide de Čech es, de hecho, el grupoide de retroceso, bajo la obvia inmersión , del grupoide unitario . Como tal, los grupoides de Čech asociados a diferentes cubiertas abiertas son equivalentes a Morita. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$ ${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$ ${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$ ${\displaystyle p:G_{0}\to M}$ ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M}$

Pilas suaves

La investigación de la estructura del espacio orbital de un grupoide de Lie conduce a la noción de una pila suave. Por ejemplo, el espacio orbital es una variedad suave si los grupos de isotropía son triviales (como en el ejemplo del grupoide de Čech), pero no es suave en general. La solución es revertir el problema y definir una pila suave como una clase de grupoides de Lie de equivalencia de Morita. Los objetos geométricos naturales que viven en la pila son los objetos geométricos en los grupoides de Lie invariantes bajo la equivalencia de Morita: un ejemplo es la cohomología del grupoide de Lie.

Dado que la noción de apilamiento suave es bastante general, obviamente todas las variedades suaves son apilamientos suaves. Otras clases de ejemplos incluyen orbifolds , que son (clases de equivalencia de) gruposides de étale Lie adecuados, y espacios orbitales de foliaciones.

Referencias

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Libros

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