Objeto grupoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto grupoide es a la vez una generalización de un grupoide que se construye sobre estructuras más ricas que los conjuntos, y una generalización de un objeto grupo cuando la multiplicación está solo parcialmente definida.

Definición

Un objeto grupoide en una categoría C que admite productos de fibras finitas consiste en un par de objetos junto con cinco morfismos ${\displaystyle R,U}$

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

satisfaciendo los siguientes axiomas de grupoides

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$donde están las dos proyecciones, ${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$
2. (asociatividad) ${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. (unidad) ${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. (inversa) , , . ^[1] ${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$ ${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$ ${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$

Ejemplos

Agrupar objetos

Un objeto grupo es un caso especial de un objeto grupoide, donde y . Por lo tanto, se recuperan grupos topológicos tomando la categoría de espacios topológicos , o grupos de Lie tomando la categoría de variedades , etc. ${\displaystyle R=U}$ ${\displaystyle s=t}$

Grupoides

Un objeto grupoide en la categoría de conjuntos es precisamente un grupoide en el sentido usual: una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. De hecho, dada una categoría de este tipo C , tomemos U como el conjunto de todos los objetos en C , R como el conjunto de todas las flechas en C , los cinco morfismos dados por , , y . Cuando el término "grupoide" puede referirse naturalmente a un objeto grupoide en alguna categoría particular en mente, el término conjunto grupoide se usa para referirse a un objeto grupoide en la categoría de conjuntos. ${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$ ${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$ ${\displaystyle e(x)=1_{x}}$ ${\displaystyle i(f)=f^{-1}}$

Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior con grupos de Lie, un objeto grupoide en la categoría de variedades no es necesariamente un grupoide de Lie , ya que las funciones s y t no satisfacen requisitos adicionales (no son necesariamente sumersiones ).

Esquemas de grupoides

Un esquema grupoide S es un objeto grupoide en la categoría de esquemas sobre algún esquema base fijo S . Si , entonces un esquema grupoide (donde son necesariamente el mapa de estructura) es lo mismo que un esquema grupoide . Un esquema grupoide también se denomina grupoide algebraico , ^[2] para transmitir la idea de que es una generalización de los grupos algebraicos y sus acciones. ${\displaystyle U=S}$ ${\displaystyle s=t}$

Por ejemplo, supongamos que un grupo algebraico G actúa desde la derecha sobre un esquema U. Entonces, tomemos , s la proyección, t la acción dada. Esto determina un esquema grupoide. ${\displaystyle R=U\times G}$

Construcciones

Dado un objeto grupoide ( R , U ), el ecualizador de , si lo hay, es un objeto grupo llamado grupo de inercia del grupoide. El coecualizador del mismo diagrama, si lo hay, es el cociente del grupoide. ${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U}$

Cada objeto grupoide de una categoría C (si lo hay) puede considerarse como un funtor contravariante de C a la categoría de grupoides. De esta manera, cada objeto grupoide determina un preapilamiento en grupoides. Este preapilamiento no es una pila , pero se puede apilar para generar una pila.

El uso principal de la noción es que proporciona un atlas para una pila. Más específicamente, sea la categoría de ( R ⇉ U ) {\displaystyle (R\rightrightarrows U)} -torsores. Entonces es una categoría fibrilada en grupoides ; de hecho (en un buen caso), una pila Deligne–Mumford . Por el contrario, cualquier pila DM tiene esta forma. ${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$

Véase también

• Esquema simple

Notas

1. Pilas algebraicas, Cap. 3. § 1.
2. Gillet 1984.

Referencias

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas, archivado desde el original el 2008-05-05 , consultado el 2014-02-11
• Gillet, Henri (1984), "Teoría de la intersección en pilas algebraicas y variedades Q", Actas de la conferencia Luminy sobre teoría K algebraica (Luminy, 1983), Journal of Pure and Applied Algebra , 34 (2–3): 193–240, doi :10.1016/0022-4049(84)90036-7, MR  0772058