Espacio discreto

Tipo de espacio topológico

En topología , un espacio discreto es un ejemplo particularmente simple de un espacio topológico o estructura similar, en el que los puntos forman una secuencia discontinua , lo que significa que están aislados unos de otros en cierto sentido. La topología discreta es la topología más fina que se puede dar en un conjunto. Cada subconjunto es abierto en la topología discreta, de modo que, en particular, cada subconjunto singleton es un conjunto abierto en la topología discreta.

Definiciones

Dado un conjunto : ${\displaystyle X}$

• elLa topología discreta ense define permitiendo que cadasubconjuntodeseaabierto(y, por lo tanto, tambiéncerrado), yes una ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$espacio topológico discreto si está equipado con su topología discreta;
• elLa uniformidad discreta ense define al permitir que cadasuperconjuntode la diagonalensea unentorno, yes un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$espacio uniforme discreto si está dotado de su uniformidad discreta.
• el La métrica discreta se definepara cualquier.En este casose denomina ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$espacio métrico discreto oespacio de puntos aislados .
• aUn subespacio discreto de un espacio topológico dadose refiere a unsubespacio topológicode(un subconjunto dejunto con latopología del subespacioqueinduce sobre él) cuya topología es igual a la topología discreta. Por ejemplo, sitiene sutopología euclidiana, entonces(dotado de la topología del subespacio) es un subespacio discreto deperono lo es. ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$
• Un conjunto es discreto en un espacio métrico porque si para cada existe algún (dependiendo de ) tal que para todo ; un conjunto de este tipo consiste en puntos aislados . Un conjunto es uniformemente discreto en el espacio métrico porque si existe tal que para dos puntos cualesquiera distintos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,y)>\delta }$ ${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

Se dice que un espacio métrico es uniformemente discreto si existe una ${\displaystyle (E,d)}$radio de empaquetamiento tal que, para cualquieratieneo^[1] La topología subyacente a un espacio métrico puede ser discreta, sin que la métrica sea uniformemente discreta: por ejemplo, la métrica habitual en el conjunto ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle d(x,y)>r.}$ ${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Prueba de que un espacio discreto no es necesariamente uniformemente discreto

Consideremos este conjunto usando la métrica usual en los números reales. Entonces, es un espacio discreto, ya que para cada punto podemos rodearlo con el intervalo abierto donde La intersección es por lo tanto trivialmente el singleton Dado que la intersección de un conjunto abierto de los números reales y es abierta para la topología inducida, se sigue que es abierta por lo que los singletons son abiertos y es un espacio discreto. ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}$ ${\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}$ ${\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$

Sin embargo, no puede ser uniformemente discreto. Para ver por qué, supongamos que existe un tal que siempre que Basta con demostrar que hay al menos dos puntos y en que están más cerca uno del otro que Como la distancia entre puntos adyacentes y es , necesitamos encontrar un que satisfaga esta desigualdad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle d(x,y)>r}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)},}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$$

Como siempre hay un número real mayor que cualquier número dado, se deduce que siempre habrá al menos dos puntos que estén más cerca uno del otro que cualquier número positivo, por lo tanto, no es uniformemente discreto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

La uniformidad subyacente en un espacio métrico discreto es la uniformidad discreta, y la topología subyacente en un espacio uniforme discreto es la topología discreta. Por lo tanto, las diferentes nociones de espacio discreto son compatibles entre sí. Por otra parte, la topología subyacente de un espacio uniforme o métrico no discreto puede ser discreta; un ejemplo es el espacio métrico (con métrica heredada de la línea real y dada por ). Este no es la métrica discreta; además, este espacio no es completo y, por lo tanto, no es discreto como espacio uniforme. Sin embargo, es discreto como espacio topológico. Decimos que es topológicamente discreto pero no uniformemente discreto o métricamente discreto . ${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$ ${\displaystyle X}$

Además:

• La dimensión topológica de un espacio discreto es igual a 0.
• Un espacio topológico es discreto si y solo si sus singletons son abiertos, lo que es el caso si y solo si no contiene ningún punto de acumulación .
• Los singletons forman una base para la topología discreta.
• Un espacio uniforme es discreto si y sólo si la diagonal es un entorno . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$
• Todo espacio topológico discreto satisface cada uno de los axiomas de separación ; en particular, todo espacio discreto es Hausdorff , es decir, separado.
• Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito .
• Todo espacio uniforme o métrico discreto es completo .
• Combinando los dos hechos anteriores, todo espacio uniforme o métrico discreto está totalmente acotado si y sólo si es finito.
• Todo espacio métrico discreto está acotado .
• Todo espacio discreto es contable en primer lugar ; además, es contable en segundo lugar si y sólo si es contable .
• Cada espacio discreto está totalmente desconectado .
• Todo espacio discreto no vacío es de segunda categoría .
• Dos espacios discretos cualesquiera con la misma cardinalidad son homeomorfos .
• Todo espacio discreto es metrizable (por la métrica discreta).
• Un espacio finito es metrizable sólo si es discreto.
• Si es un espacio topológico y es un conjunto que lleva la topología discreta, entonces está cubierto uniformemente por (el mapa de proyección es la cobertura deseada) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• La topología del subespacio de los números enteros como subespacio de la recta real es la topología discreta.
• Un espacio discreto es separable si y sólo si es contable.
• Cualquier subespacio topológico de (con su topología euclidiana habitual ) que sea discreto es necesariamente contable . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua , y cualquier función de un espacio uniforme discreto a otro espacio uniforme es uniformemente continua . Es decir, el espacio discreto es libre en el conjunto en la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas o en la categoría de espacios uniformes y aplicaciones uniformemente continuas. Estos hechos son ejemplos de un fenómeno mucho más amplio, en el que las estructuras discretas suelen ser libres en los conjuntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Con los espacios métricos, las cosas son más complicadas, porque hay varias categorías de espacios métricos, dependiendo de lo que se elija para los morfismos . Ciertamente, el espacio métrico discreto es libre cuando los morfismos son todos morfismos uniformemente continuos o todos morfismos continuos, pero esto no dice nada interesante sobre la estructura métrica , solo la estructura uniforme o topológica. Las categorías más relevantes para la estructura métrica se pueden encontrar limitando los morfismos a morfismos continuos de Lipschitz o a morfismos cortos ; sin embargo, estas categorías no tienen objetos libres (en más de un elemento). Sin embargo, el espacio métrico discreto es libre en la categoría de espacios métricos acotados y morfismos continuos de Lipschitz, y es libre en la categoría de espacios métricos acotados por 1 y morfismos cortos. Es decir, cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado es Lipschitz continua, y cualquier función de un espacio métrico discreto a otro espacio métrico acotado por 1 es corta.

Yendo en la otra dirección, una función de un espacio topológico a un espacio discreto es continua si y sólo si es localmente constante en el sentido de que cada punto en tiene un vecindario en el que es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Cada ultrafiltro en un conjunto no vacío puede asociarse con una topología en con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío de es un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado , pero nunca ambos. Dicho de otra manera, cada subconjunto es abierto o cerrado pero (en contraste con la topología discreta) los únicos subconjuntos que son tanto abiertos como cerrados (es decir, clopen ) son y . En comparación, cada subconjunto de es abierto y cerrado en la topología discreta. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos y usos

Una estructura discreta se utiliza a menudo como la "estructura predeterminada" en un conjunto que no tiene ninguna otra topología natural, uniformidad o métrica; las estructuras discretas a menudo se pueden utilizar como ejemplos "extremos" para probar suposiciones particulares. Por ejemplo, cualquier grupo puede considerarse un grupo topológico al darle la topología discreta, lo que implica que los teoremas sobre grupos topológicos se aplican a todos los grupos. De hecho, los analistas pueden referirse a los grupos ordinarios, no topológicos estudiados por los algebristas como " grupos discretos ". En algunos casos, esto se puede aplicar de manera útil, por ejemplo en combinación con la dualidad de Pontryagin . Una variedad 0-dimensional (o variedad diferenciable o analítica) no es nada más que un espacio topológico discreto y numerable (un espacio discreto incontable no es segundo-contable). Por lo tanto, podemos ver cualquier grupo numerable discreto como un grupo de Lie 0-dimensional .

Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto de números naturales es homeomorfo al espacio de números irracionales , con el homeomorfismo dado por la expansión fraccionaria continua . Un producto de copias infinitas numerables del espacio discreto es homeomorfo al conjunto de Cantor ; y de hecho, uniformemente homeomorfo al conjunto de Cantor si usamos la uniformidad del producto en el producto. Tal homeomorfismo se da usando la notación ternaria de números. (Véase espacio de Cantor .) Cada fibra de una función localmente inyectiva es necesariamente un subespacio discreto de su dominio . ${\displaystyle \{0,1\}}$

En los fundamentos de las matemáticas , el estudio de las propiedades de compacidad de los productos de es central para el enfoque topológico del lema del ultrafiltro (equivalentemente, el teorema del ideal primo de Boole ), que es una forma débil del axioma de elección . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Espacios indiscretos

En cierto modo, lo opuesto a la topología discreta es la topología trivial (también llamada topología indiscreta ), que tiene la menor cantidad posible de conjuntos abiertos (solo el conjunto vacío y el espacio mismo). Donde la topología discreta es inicial o libre, la topología indiscreta es final o co-libre : cada función desde un espacio topológico a un espacio indiscreto es continua, etc.

Véase también

• Juego de cilindros
• Lista de topologías
• Geometría del taxi

Referencias

1. Pleasants, Peter AB (2000). "Cuasicristales de diseño: conjuntos de corte y proyección con propiedades preasignadas". En Baake, Michael (ed.). Direcciones en cuasicristales matemáticos . Serie monográfica CRM. Vol. 13. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8.Zbl 0982.52018  .
2. Wilansky 2008, pág. 35.

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraejemplos en topología (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7.MR  0507446.Zbl 0386.54001  .​
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4.OCLC 227923899  .