algebroide de Atiyah

En matemáticas , el algebroide de Atiyah , o secuencia de Atiyah , de un paquete principal ${\displaystyle G}$ sobre una variedad , donde hay un grupo de Lie , es el algebroide de Lie del grupoide de calibre de . Explícitamente, viene dada por la siguiente secuencia corta y exacta de paquetes de vectores sobre : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0.}$

Lleva el nombre de Michael Atiyah , quien introdujo la construcción para estudiar la teoría de la existencia de conexiones analíticas complejas . ^[1] Juega un ejemplo crucial en la integrabilidad de los algebroides de Lie (transitivos) y tiene aplicaciones en la teoría de calibres y la mecánica geométrica .

Definiciones

como una secuencia

Para cualquier haz de fibras sobre un colector , el diferencial de la proyección define una secuencia corta y exacta: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\pi }$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$

${\displaystyle 0\to VP\to TP{\xrightarrow {d\pi }}\pi ^{*}TM\to 0}$

de paquetes de vectores sobre , donde el paquete vertical es el núcleo de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle VP}$ ${\displaystyle d\pi }$

Si es un paquete principal , entonces el grupo actúa sobre los paquetes de vectores en esta secuencia. Además, dado que el paquete vertical es isomorfo al paquete vectorial trivial , donde está el álgebra de Lie de , su cociente por la acción diagonal es el paquete adjunto . En conclusión, el cociente by de la secuencia exacta anterior produce una secuencia exacta corta: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle VP}$ ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle 0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0}$$

secuencia de Atiyah ${\displaystyle P/G\cong M}$ ${\displaystyle P}$

Como algebroide de mentira

Recuerde que cualquier paquete principal tiene un grupoide de Lie asociado , llamado grupoide de calibre , cuyos objetos son puntos de y cuyos morfismos son elementos del cociente de por la acción diagonal de , con origen y destino dados por las dos proyecciones de . Por definición, el algebroide de Atiyah es el algebroide de Lie de su grupoide de calibre. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\times P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to M}$

De ello se deduce que , mientras que el mapa de anclaje está dado por el diferencial , que es invariante. Por último, el núcleo del ancla es isomorfo precisamente a . ${\displaystyle A=TP/G}$ ${\displaystyle A\to TM}$ ${\displaystyle d\pi :TP\to TM}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$

La secuencia de Atiyah produce una secuencia corta y exacta de módulos tomando el espacio de secciones de los haces de vectores. Más precisamente, las secciones del algebroide de Atiyah son el álgebra de Lie de campos vectoriales invariantes bajo el corchete de Lie , que es una extensión del álgebra de Lie de campos vectoriales por los campos vectoriales verticales invariantes. En contextos algebraicos o analíticos, a menudo es conveniente ver la secuencia de Atiyah como una secuencia exacta de haces de secciones locales de haces de vectores. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

• El algebroide de Atiyah del paquete principal es el álgebra de Lie. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to *}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to *}$
• El algebroide de Atiyah del paquete principal es el algebroide tangente ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle TM\to M}$
• Dada una acción transitiva en , el algebroide de Atiyah del paquete principal , con grupo de estructura el grupo de isotropía de la acción en un punto arbitrario, es el algebroide de acción ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\to M}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times M\to M}$
• El algebroide de Atiyah del haz de marcos de un haz de vectores es el algebroide lineal general (a veces también llamado algebroide de Atiyah de ) ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {Der} (E)\to M}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

Transitividad e integrabilidad

El algebroide Atiyah de un paquete principal es siempre: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to M}$

• Transitivo (por lo que su órbita única es el paquete completo y su isotropía del álgebra de Lie es el paquete asociado ) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$
• Integrable (al grupoide calibre de ) ${\displaystyle P}$

Tenga en cuenta que estas dos propiedades son independientes. Los algebroides de Lie integrables no necesitan ser transitivos; por el contrario, los algebroides de Lie transitivos (a menudo llamados secuencias abstractas de Atiyah ) no son necesariamente integrables.

Si bien cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo a algún grupoide de calibre, no todos los algebroides de Lie transitivos son algebroides de Atiyah de algún paquete principal. La integrabilidad es la propiedad crucial para distinguir los dos conceptos: un algebroide de Lie transitivo es integrable si y sólo si es isomorfo al algebroide de Atiyah de algún paquete principal.

Relaciones con conexiones

Las divisiones derechas de la secuencia Atiyah de un paquete principal están en correspondencia biyectiva con las conexiones principales en . De manera similar, las curvaturas de tales conexiones corresponden a las dos formas definidas por: ${\displaystyle \sigma :TM\to A}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle \Omega _{\sigma }\in \Omega ^{2}(M,P[{\mathfrak {g}}])}$

$${\displaystyle \Omega _{\sigma }(X,Y):=[\sigma (X),\sigma (Y)]_{A}-\sigma ([X,Y]_{{\mathfrak {X}}(M)})}$$

Morfismos

Cualquier morfismo de haces principales induce un morfismo algebroide de Lie entre los respectivos algebroides de Atiyah. ${\displaystyle \phi :P\to P'}$ ${\displaystyle d\phi :TP/G\to TP/G'}$

Referencias

1. Atiyah, MF (1957). "Conexiones analíticas complejas en haces de fibras". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 85 (1): 181–207. doi : 10.1090/S0002-9947-1957-0086359-5 . ISSN  0002-9947.

• Michael F. Atiyah (1957), "Conexiones analíticas complejas en haces de fibras", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 85 : 181–207, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0086359-5.
• Janusz Grabowski; Alexei Kotov y Norbert Poncin (2011), "Estructuras geométricas codificadas en la estructura de mentira de un algebroide de Atiyah", Grupos de transformación , 16 : 137–160, arXiv : 0905.1226 , doi : 10.1007/s00031-011-9126-9, disponible como arXiv:0905.1226.
• Kirill Mackenzie (1987), Grupoides de Lie y algebroides de Lie en geometría diferencial , notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 124, COPA, ISBN 978-0-521-34882-9.
• Kirill Mackenzie (2005), Teoría general de los grupoides de mentira y los algebroides de mentira , notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 213, COPA, ISBN 978-0-521-49928-6.
• Tom Mestdag y Bavo Langerock (2005), "Un marco algebroide de Lie para sistemas no holonómicos", J. Phys. R: Matemáticas. Gen. , 38 : 1097–1111, arXiv : math/0410460 , Bibcode : 2005JPhA...38.1097M, doi : 10.1088/0305-4470/38/5/011.