La mecánica geométrica es una rama de las matemáticas que aplica métodos geométricos particulares a muchas áreas de la mecánica , desde la mecánica de partículas y cuerpos rígidos hasta la mecánica de fluidos y la teoría de control .
La mecánica geométrica se aplica principalmente a sistemas para los cuales el espacio de configuración es un grupo de Lie , o un grupo de difeomorfismos , o más generalmente donde algún aspecto del espacio de configuración tiene esta estructura de grupo. Por ejemplo, el espacio de configuración de un cuerpo rígido como un satélite es el grupo de movimientos euclidianos (traslaciones y rotaciones en el espacio), mientras que el espacio de configuración de un cristal líquido es el grupo de difeomorfismos acoplados a un estado interno (simetría de calibre o parámetro de orden).
Una de las ideas principales de la mecánica geométrica es la reducción , que se remonta a la eliminación del nodo por parte de Jacobi en el problema de los 3 cuerpos, pero en su forma moderna se debe a K. Meyer (1973) y de forma independiente a JE Marsden y A. Weinstein ( 1974), ambos inspirados en la obra de Smale (1970). La simetría de un sistema hamiltoniano o lagrangiano da lugar a cantidades conservadas, según el teorema de Noether , y estas cantidades conservadas son las componentes del mapa de momento J. Si P es el espacio de fase y G el grupo de simetría, el mapa de momento es un mapa , y los espacios reducidos son cocientes de los conjuntos de niveles de J por el subgrupo de G conservando el conjunto de niveles en cuestión: para uno define , y este reducido el espacio es una variedad simpléctica si es un valor regular de J .
Uno de los avances importantes que surgen del enfoque geométrico de la mecánica es la incorporación de la geometría a los métodos numéricos. En particular, los integradores simplécticos y variacionales están demostrando ser particularmente precisos para la integración a largo plazo de sistemas hamiltonianos y lagrangianos.
El término "mecánica geométrica" se refiere ocasionalmente a la mecánica del siglo XVII. [1]
Como tema moderno, la mecánica geométrica tiene sus raíces en cuatro obras escritas en la década de 1960. Estos fueron de Vladimir Arnold (1966), Stephen Smale (1970) y Jean-Marie Souriau (1970), y la primera edición de Abraham and Marsden 's Foundation of Mechanics (1967). El trabajo fundamental de Arnold demostró que las ecuaciones de Euler para el cuerpo rígido libre son las ecuaciones para el flujo geodésico en el grupo de rotación SO(3) y trasladó esta idea geométrica a la dinámica de los fluidos ideales, donde el grupo de rotación es reemplazado por el grupo de volumen. -preservar difeomorfismos. El artículo de Smale sobre Topología y Mecánica investiga las cantidades conservadas que surgen del teorema de Noether cuando un grupo de simetrías de Lie actúa sobre un sistema mecánico, y define lo que ahora se llama mapa de momento (que Smale llama momento angular), y plantea preguntas sobre la topología. de las superficies del nivel de energía-momento y el efecto sobre la dinámica. En su libro, Souriau también considera las cantidades conservadas que surgen de la acción de un grupo de simetrías, pero se concentra más en las estructuras geométricas involucradas (por ejemplo, las propiedades de equivarianza de este impulso para una amplia clase de simetrías) y menos en cuestiones de dinámica.
Estas ideas, y particularmente las de Smale, fueron centrales en la segunda edición de Foundations of Mechanics (Abraham y Marsden, 1978).
