Conexión (paquete principal)

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de calibre , una conexión es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo sobre el haz; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. Una conexión G principal en un haz G principal sobre una variedad lisa es un tipo particular de conexión que es compatible con la acción del grupo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Una conexión principal puede verse como un caso especial de la noción de conexión de Ehresmann y, a veces, se la denomina conexión principal de Ehresmann . Da lugar a conexiones (Ehresmann) en cualquier haz de fibras asociado a través de la construcción del haz asociado . En particular, en cualquier paquete de vectores asociado, la conexión principal induce una derivada covariante , un operador que puede diferenciar secciones de ese paquete a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base. Las conexiones principales generalizan a haces principales arbitrarios el concepto de conexión lineal en el haz de marco de una variedad lisa . ${\displaystyle P}$

Definicion formal

Una forma de conexión de haz principal puede considerarse como un operador de proyección en el paquete tangente del paquete principal . El núcleo de la forma de conexión lo dan los subespacios horizontales de la conexión de Ehresmann asociada . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Una conexión se especifica de manera equivalente mediante la elección de un subespacio horizontal para cada espacio tangente al paquete principal . ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle P}$

Se requiere una conexión de paquete principal para que sea compatible con la acción de grupo correcta de on . Esto se puede visualizar como la multiplicación correcta que une los subespacios horizontales entre sí. Esta equivarianza de los subespacios horizontales interpretada en términos de la forma de conexión conduce a sus propiedades de equivarianza características. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle \omega }$

Sea un paquete G principal suave sobre una variedad suave . Entonces, una conexión principal es una forma diferencial 1 con valores en el álgebra de Lie de la cual es equivalente y reproduce los generadores del álgebra de Lie de los campos vectoriales fundamentales en . ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

En otras palabras, es un elemento ω de tal que ${\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$donde denota la multiplicación correcta por y es la representación adjunta en (explícitamente, ); ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}}$
2. si y es el campo vectorial sobre P asociado a ξ al diferenciar la acción de G sobre P , entonces (idénticamente en ). ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{\xi }}$ ${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi }$ ${\displaystyle P}$

A veces, el término conexión principal ${\displaystyle G}$ se refiere al par y en sí mismo se denomina forma de conexión o forma de conexión 1 de la conexión principal. ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Comentarios computacionales

La mayoría de los cálculos no triviales conocidos de conexiones principales se realizan con espacios homogéneos debido a la trivialidad del paquete (co)tangente. (Por ejemplo, sea un paquete principal sobre ) Esto significa que las formas 1 en el espacio total son canónicamente isomorfas a , donde está el álgebra de mentira dual, por lo tanto, las conexiones están en biyección con . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to H\to H/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H/G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}}$

Relación con las conexiones de Ehresmann

Una conexión principal determina una conexión Ehresmann de la siguiente manera. Primero, tenga en cuenta que los campos vectoriales fundamentales que generan la acción en proporcionan un isomorfismo de paquete (que cubre la identidad de ) desde el paquete hasta , donde está el núcleo del mapeo tangente que se llama paquete vertical de . De ello se deduce que determina de forma única un mapa de paquete cuál es la identidad en . Tal proyección está determinada únicamente por su núcleo, que es un subhaz suave de (llamado haz horizontal ) tal que . Ésta es una conexión de Ehresmann. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=\ker(d\pi )}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle TP=V\oplus H}$

Por el contrario, una conexión de Ehresmann (o ) define una conexión principal si y sólo si es equivalente en el sentido de que . ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$

Retroceder a través de la sección de trivialización

Una sección trivializadora de un paquete principal está dada por una sección s de sobre un subconjunto abierto de . Entonces el retroceso s ^* ω de una conexión principal es una forma 1 con valores en . Si la sección s se reemplaza por una nueva sección sg , definida por ( sg )( x ) = s ( x ) g ( x ), donde g : M → G es un mapa suave, entonces . La conexión principal está determinada únicamente por esta familia de formas 1 valoradas, y estas formas 1 también se denominan formas de conexión o formas de conexión 1 , particularmente en la literatura más antigua o más orientada a la física. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Paquete de conexiones principales

El grupo actúa sobre el paquete tangente por traslación correcta. El espacio cociente TP / G también es múltiple y hereda la estructura de un haz de fibras sobre TM que se denotará por dπ : TP / G → TM . Sea ρ: TP / G → M la proyección sobre M . Las fibras del haz TP / G bajo la proyección ρ llevan una estructura aditiva. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TP}$

El paquete TP / G se denomina paquete de conexiones principales (Kobayashi 1957). Una sección Γ de dπ: TP / G → TM tal que Γ : TM → TP / G es un morfismo lineal de haces de vectores sobre M , se puede identificar con una conexión principal en P . Por el contrario, una conexión principal como la definida anteriormente da lugar a dicha sección Γ de TP / G .

Finalmente, sea Γ una conexión principal en este sentido. Sea q : TP → TP / G el mapa del cociente. La distribución horizontal de la conexión es el haz.

${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.}$Vemos nuevamente el vínculo con el haz horizontal y, por tanto, la conexión de Ehresmann.

propiedad afín

Si ω y ω ′ son conexiones principales en un paquete principal P , entonces la diferencia ω ′ − ω es una forma de valor 1 en P que no sólo es G -equivariante, sino horizontal en el sentido de que desaparece en cualquier sección de el paquete vertical V de P . Por lo tanto, es básico y, por lo tanto, está determinado por una forma 1 en M con valores en el paquete adjunto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.}$

Por el contrario, cualquiera de estas formas define (mediante retroceso) una G -forma 1 horizontal equivalente en P , y el espacio de las principales G -conexiones es un espacio afín para este espacio de 1-formas.

Ejemplos

Conexión Maurer-Cartan

Para el paquete principal trivial donde , hay una conexión canónica ^{[1] página 49} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E=G\times X}$

${\displaystyle \omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$

llamada conexión Maurer-Cartan. Se define de la siguiente manera: para un punto defina ${\displaystyle (g,x)\in G\times X}$

${\displaystyle (\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}}$para ${\displaystyle x\in X,g\in G}$

que es una composicion

${\displaystyle T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

definiendo la 1-forma. Tenga en cuenta que

${\displaystyle \omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

es la forma Maurer-Cartan en el grupo de Lie y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}}$

paquete trivial

Para un paquete principal trivial , la sección de identidad dada por define una correspondencia 1-1 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle i:X\to G\times X}$ ${\displaystyle i(x)=i(e,x)}$

${\displaystyle i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})}$

entre conexiones en y formas 1 con valor en ^{[1] página 53} . Para una forma 1 con valor 1 , existe una forma 1 única tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ ${\displaystyle E}$

1. ${\displaystyle {\tilde {A}}(X)=0}$para un vector vertical ${\displaystyle X\in T_{x}E}$
2. ${\displaystyle R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}}$para cualquier ${\displaystyle g\in G}$

Entonces, dada esta forma 1, se puede construir una conexión tomando la suma ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \omega _{MC}+{\tilde {A}}}$

dando una conexión real en . Esta forma 1 única se puede construir mirándola primero restringida a for . Entonces, está determinado por porque y podemos obtenerlo tomando ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (e,x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{(e,x)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}}$

De manera similar, la forma

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}}$

define una forma 1 que proporciona las propiedades 1 y 2 enumeradas anteriormente.

Extendiendo esto a paquetes no triviales

Esta afirmación se puede refinar ^{[1] pg 55} aún más para paquetes no triviales considerando una cobertura abierta con trivializaciones y funciones de transición . Entonces, existe una correspondencia 1-1 entre conexiones y colecciones de formas 1 ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\phi _{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle \{g_{ab}\}_{a,b\in I}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}}$

que satisfacen

${\displaystyle A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}}$

en las intersecciones para la forma Maurer-Cartan en , en forma matricial. ${\displaystyle U_{ab}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{0}=g^{-1}dg}$

Reformulación global del espacio de conexiones

Para un paquete principal , el conjunto de conexiones es un espacio afín ^{[1] página 57} para el espacio vectorial donde está el paquete de vectores adjunto asociado. Esto implica que para dos conexiones cualesquiera existe una forma tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle E_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}+A}$

Denotamos el conjunto de conexiones como , o simplemente si el contexto es claro. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Conexión en el complejo paquete Hopf

Nosotros ^{[1] pg 94} podemos construir como un paquete principal donde y es el mapa de proyección ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]}$

Tenga en cuenta que el álgebra de Lie es solo el plano complejo. La forma 1 definida como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}}$

forma una conexión, que se puede comprobar verificando la definición. Para cualquier fijo tenemos ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}}$

y dado que tenemos -invarianza. Esto se debe a que la acción adjunta es trivial ya que el álgebra de Lie es abeliana. Para construir la división, tenga en cuenta que tenemos una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z\in H_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {Z} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$

donde se define como ${\displaystyle v_{z}}$

${\displaystyle v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda }$

por lo que actúa como incrustante en la fibra (lo que se restringe a la acción correspondiente). Tomando obtenemos ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}}$

donde se sigue la segunda igualdad porque estamos considerando un vector tangente vertical, y . La notación es algo confusa, pero si ampliamos cada término ${\displaystyle z\lambda }$ ${\displaystyle dz(z\lambda )=z\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}}$

se vuelve más claro (dónde ). ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$

Covariante inducida y derivadas exteriores.

Para cualquier representación lineal W de G hay un paquete de vectores asociado sobre M , y una conexión principal induce una derivada covariante en cualquier paquete de vectores de ese tipo. Esta derivada covariante se puede definir utilizando el hecho de que el espacio de secciones de más de M es isomorfo al espacio de funciones G -equivariantes con valor W en P . De manera más general, el espacio de k -formas con valores en se identifica con el espacio de G -formas k equivalentes y horizontales con valores W en P . Si α es tal k -forma, entonces su derivada exterior d α , aunque G -equivariante, ya no es horizontal. Sin embargo, la combinación d α + ω Λ α sí lo es. Esto define una derivada covariante exterior d ^ω desde formas k valoradas en M hasta formas valoradas ( k +1) en M . En particular, cuando k =0, obtenemos una derivada covariante en . ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$

forma de curvatura

La forma de curvatura de una conexión G principal ω es la forma Ω de 2 valores definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

Es G -equivariante y horizontal, por lo tanto corresponde a una forma 2 en M con valores en . La identificación de la curvatura con esta cantidad a veces se denomina ecuación de la segunda estructura (de Cartan) . ^[2] Históricamente, el surgimiento de las ecuaciones estructurales se encuentra en el desarrollo de la conexión de Cartan . Cuando se transponen al contexto de los grupos de Lie , las ecuaciones de estructura se conocen como ecuaciones de Maurer-Cartan : son las mismas ecuaciones, pero en una configuración y notación diferentes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$

Conexiones planas y caracterización de haces con conexiones planas.

Decimos que una conexión es plana si su curvatura forma . Existe una caracterización útil de los haces principales con conexiones planas; es decir, un paquete principal tiene una conexión plana ^{[1] página 68} si y sólo si existe una cobertura abierta con trivializaciones tales que todas las funciones de transición ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega =0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \{U_{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}}$

${\displaystyle g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G}$

son constantes. Esto es útil porque proporciona una receta para construir paquetes principales planos sobre colectores lisos; es decir, tomar una cubierta abierta y definir trivializaciones con funciones de transición constantes. ${\displaystyle G}$

Conexiones en haces de marcos y torsión.

Si el haz principal P es el haz de cuadros , o (más generalmente) si tiene una forma de soldadura , entonces la conexión es un ejemplo de conexión afín , y la curvatura no es la única invariante, ya que la estructura adicional de la forma de soldadura θ , que es una forma equivariante de R ⁿ con valor 1 en P , debe tenerse en cuenta. En particular, la forma de torsión en P , es una forma Θ de 2 valores R ⁿ definida por

${\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .}$

Θ es G -equivariante y horizontal, por lo que desciende a una forma 2 con valor tangente en M , llamada torsión . Esta ecuación a veces se denomina primera ecuación estructural (de Cartan) .

Definición en geometría algebraica

Si X es un esquema (o más generalmente, una pila, una pila derivada o incluso un preapilamiento), podemos asociarle su llamada pila de Rham , denotada como X _dR . Esto tiene la propiedad de que un paquete G principal sobre X _dR es lo mismo que un paquete G con conexión *plana* sobre X .

Referencias

1. Dupont, Johan (agosto de 2003). "Haces de fibras y teoría de Chern-Weil" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2022.
2. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial". Informes de Física . 66 (6): 213–393. Código bibliográfico : 1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1.

• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Ann. Estera. Pura aplicación. , 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID  120972987
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , consultado el 25 de marzo de 2008.