Campo vectorial fundamental

Instrumento en geometría diferencial

En el estudio de las matemáticas y, en especial , de la geometría diferencial , los campos vectoriales fundamentales son un instrumento que describe el comportamiento infinitesimal de una acción de grupo de Lie uniforme sobre una variedad uniforme . Dichos campos vectoriales encuentran aplicaciones importantes en el estudio de la teoría de Lie , la geometría simpléctica y el estudio de las acciones de grupo hamiltonianas .

Motivación

La noción de flujo en una variedad es importante para las aplicaciones en matemáticas y física ^[1] . En particular, si es una variedad uniforme y es un campo vectorial uniforme , nos interesa encontrar curvas integrales para . Más precisamente, dado que nos interesan curvas tales que: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma _{p}:\mathbb {R} \to M}$

${\displaystyle \gamma _{p}'(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,}$

para el cual las soluciones locales están garantizadas por el Teorema de Existencia y Unicidad de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Si además es un campo vectorial completo , entonces el flujo de , definido como la colección de todas las curvas integrales para , es un difeomorfismo de . El flujo dado por es de hecho una acción del grupo de Lie aditivo sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M}$ ${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle M}$

Por el contrario, cada acción suave define un campo vectorial completo mediante la ecuación: ${\displaystyle A:\mathbb {R} \times M\to M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A(t,p).}$

Es entonces un resultado simple ^[2] que existe una correspondencia biyectiva entre acciones en y campos vectoriales completos en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

En el lenguaje de la teoría de flujo, el campo vectorial se denomina generador infinitesimal . ^[3] Intuitivamente, el comportamiento del flujo en cada punto corresponde a la "dirección" indicada por el campo vectorial. Es natural preguntarse si se puede establecer una correspondencia similar entre campos vectoriales y acciones de grupos de Lie más arbitrarias en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

Definición

Sea un grupo de Lie con álgebra de Lie correspondiente . Además, sea una variedad suave dotada de una acción suave . Denotemos la función tal que , llamada función de órbita de correspondiente a . ^[4] Para , el campo vectorial fundamental correspondiente a es cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes: ^{[2] [4] [5]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A:G\times M\to M}$ ${\displaystyle A_{p}:G\to M}$ ${\displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\right)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}A\left(\exp(tX),p\right)}$

donde es la diferencial de un mapa suave y es el vector cero en el espacio vectorial . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0_{T_{p}M}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

Se puede entonces demostrar que el mapa es un homomorfismo del álgebra de Lie . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \Gamma (TM),X\mapsto -X^{\#}}$

Aplicaciones

Grupos de mentiras

El álgebra de Lie de un grupo de Lie puede identificarse con los campos vectoriales invariantes por la izquierda o por la derecha en . Es un resultado bien conocido ^[3] que dichos campos vectoriales son isomorfos a , el espacio tangente en identidad. De hecho, si dejamos que actúe sobre sí mismo mediante multiplicación por la derecha, los campos vectoriales fundamentales correspondientes son precisamente los campos vectoriales invariantes por la izquierda. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle G}$

Acciones grupales hamiltonianas

En la motivación se demostró que existe una correspondencia biyectiva entre acciones suaves y campos vectoriales completos. De manera similar, existe una correspondencia biyectiva entre acciones simplécticas (los difeomorfismos inducidos son todos simplécticos ) y campos vectoriales simplécticos completos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una idea estrechamente relacionada es la de los campos vectoriales hamiltonianos . Dada una variedad simpléctica , decimos que es un campo vectorial hamiltoniano si existe una función suave que satisface: ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle dH=\iota _{X_{H}}\omega }$

donde la función es el producto interior . Esto motiva la definición de una acción de grupo hamiltoniana de la siguiente manera: Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie y es una acción de grupo de sobre una variedad suave , entonces decimos que es una acción de grupo hamiltoniana si existe una función de momento tal que para cada: , ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A:G\times M\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega ,}$

donde y es el campo vectorial fundamental de ${\displaystyle \mu ^{X}:M\to \mathbb {R} ,p\mapsto \langle \mu (p),X\rangle }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Hou, Bo-Yu (1997), Geometría diferencial para físicos , World Scientific Publishing Company , ISBN 978-9810231057
2. Ana Cannas da Silva (2008). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 978-3540421955.
3. Lee, John (2003). Introducción a las variedades lisas . Springer. ISBN 0-387-95448-1.
4. Audin, Michèle (2004). Acciones toroidales sobre variedades simplécticas. Birkhäuser. ISBN 3-7643-2176-8.
5. Libermann, Paulette ; Marle, Charles-Michel (1987). Geometría simpléctica y mecánica analítica . Springer. ISBN 978-9027724380.