En física y matemáticas , un campo vectorial simpléctico es aquel cuyo flujo conserva una forma simpléctica . Es decir, si es una variedad simpléctica con variedad suave y forma simpléctica , entonces un campo vectorial en el álgebra de Lie es simpléctico si su flujo conserva la estructura simpléctica. En otras palabras, la derivada de Lie del campo vectorial debe anularse:
Una definición alternativa es que un campo vectorial es simpléctico si su producto interior con la forma simpléctica es cerrado. [1] (El producto interior da una función de campos vectoriales a 1-formas, lo cual es un isomorfismo debido a la no degeneración de una 2-forma simpléctica). La equivalencia de las definiciones se desprende de la clausura de la forma simpléctica y de la fórmula mágica de Cartan para la derivada de Lie en términos de la derivada exterior .
Si el producto interior de un campo vectorial con la forma simpléctica es una forma exacta (y en particular, una forma cerrada), entonces se denomina campo vectorial hamiltoniano . Si el primer grupo de cohomología de De Rham de la variedad es trivial, todas las formas cerradas son exactas, por lo que todos los campos vectoriales simplécticos son hamiltonianos. Es decir, la obstrucción para que un campo vectorial simpléctico sea hamiltoniano reside en . En particular, los campos vectoriales simplécticos en variedades simplemente conexas son hamiltonianos.
El corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es hamiltoniano y, por lo tanto, la colección de campos vectoriales simplécticos y la colección de campos vectoriales hamiltonianos forman álgebras de Lie .
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