Paquete asociado

En matemáticas , la teoría de haces de fibras con un grupo de estructura (un grupo topológico ) permite una operación de creación de un haz asociado , en el que la fibra típica de un haz cambia de a , ambos espacios topológicos con una acción de grupo de . Para un haz de fibras F con grupo estructural G , las funciones de transición de la fibra (es decir, el cociclo ) en una superposición de dos sistemas de coordenadas U _α y U _β se dan como una función g _{αβ con valor} G en U _α ∩ U _β . Entonces se puede construir un haz de fibras F ' como un nuevo haz de fibras que tenga las mismas funciones de transición, pero posiblemente una fibra diferente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo

Un caso sencillo viene con la tira de Möbius , para la cual es el grupo cíclico de orden 2 ,. Podemos tomar como cualquiera de: la recta de números reales , el intervalo , la recta de números reales menos el punto 0, o el conjunto de dos puntos . La acción de sobre éstos (el elemento no identitario que actúa como en cada caso) es comparable, en un sentido intuitivo. Podríamos decir eso de manera más formal en términos de pegar dos rectángulos juntos : lo que realmente necesitamos es que los datos se identifiquen a sí mismos directamente en un extremo y con el giro en el otro extremo . Estos datos se pueden escribir como una función de parcheo, con valores en G. La construcción del paquete asociado es simplemente la observación de que estos datos funcionan tan bien para como para . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\ \rightarrow \ -x}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$

Construcción

En general, basta con explicar la transición de un haz con fibra , sobre el que actúa, al haz principal asociado (es decir, el haz donde se encuentra la fibra , que se considera que actúa por traslación sobre sí mismo). Entonces podemos ir de a , a través del paquete principal. Los detalles en términos de datos para una cubierta abierta se dan como un caso de descenso . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Esta sección está organizada de la siguiente manera. Primero presentamos el procedimiento general para producir un haz asociado, con una fibra específica, a partir de un haz de fibras determinado. Esto luego se especializa en el caso en que la fibra especificada es un espacio principal homogéneo para la acción izquierda del grupo sobre sí mismo, produciendo el haz principal asociado. Si además se da una acción correcta sobre la fibra del haz principal, describimos cómo construir cualquier haz asociado mediante una construcción de producto de fibra . ^[1]

Paquetes asociados en general

Sea un haz de fibras sobre un espacio topológico X con grupo estructural G y fibra típica F. Por definición, existe una acción izquierda de G (como grupo de transformación ) sobre la fibra F. Supongamos además que esta acción es efectiva . ^[2] Existe una trivialización local del paquete E que consiste en una cubierta abierta U _i de X y una colección de mapas de fibra. ${\textstyle \pi :E\to X}$

$${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$

mapas de transiciónGg _ijU _iU _jG

$${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.}$$

Ahora sea F ′ un espacio topológico específico, equipado con una acción izquierda continua de G . Entonces el paquete asociado a E con la fibra F ′ es un paquete E ′ con una trivialización local subordinada a la cobertura U _i cuyas funciones de transición están dadas por

$${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$

G g _ijuE.en G.g _ijteorema de construcción del haz de fibrasEF

Haz principal asociado a un haz de fibras.

Como antes, supongamos que E es un haz de fibras con un grupo estructural G. En el caso especial en el que G tiene una acción izquierda libre y transitiva sobre F ′, de modo que F ′ es un espacio principal homogéneo para la acción izquierda de G sobre sí mismo, entonces el paquete asociado E ′ se llama paquete G principal asociado con el haz de fibras E . Si, además, la nueva fibra F ′ se identifica con G (de modo que F ′ hereda una acción derecha de G así como una acción izquierda), entonces la acción derecha de G sobre F ′ induce una acción derecha de G sobre E ′ . Con esta elección de identificación, E ′ se convierte en un paquete principal en el sentido habitual. Tenga en cuenta que, aunque no existe una forma canónica de especificar una acción derecha en un espacio principal homogéneo para G , dos acciones cualesquiera producirán haces principales que tienen el mismo haz de fibras subyacente con el grupo estructural G (ya que esto proviene de la acción izquierda de G ), e isomorfos como G -espacios en el sentido de que hay un G -isomorfismo equivalente de paquetes que relacionan los dos.

De esta manera, un haz G principal equipado con una acción correcta a menudo se considera parte de los datos que especifican un haz de fibras con un grupo estructural G , ya que a un haz de fibras se le puede construir el haz principal mediante la construcción del haz asociado. Entonces, como en la siguiente sección, se puede hacer lo contrario y derivar cualquier haz de fibras utilizando un producto de fibra.

Haz de fibras asociado a un haz principal.

Sea π : P → X un paquete G principal y sea ρ : G → Homeo( F ) una acción izquierda continua de G en un espacio F (en la categoría suave, deberíamos tener una acción suave en una variedad suave) . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar esta acción para que sea efectiva.

Defina una acción correcta de G en P × F mediante ^{[3] [4]}

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

Luego identificamos mediante esta acción para obtener el espacio E = P × _ρ F = ( P × F ) / G . Denota la clase de equivalencia de ( p , f ) por [ p , f ]. Tenga en cuenta que

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.}$

Defina un mapa de proyección π _ρ  : E → X por π _ρ ([ p , f ]) = π( p ). Tenga en cuenta que esto está bien definido .

Entonces π _ρ  : E → X es un haz de fibras con fibra F y grupo estructural G . Las funciones de transición vienen dadas por ρ( t _ij ) donde t _ij son las funciones de transición del paquete principal P .

Esta construcción también se puede ver categóricamente . Más precisamente, hay dos aplicaciones continuas , dadas por actuar con G a la derecha sobre P y a la izquierda sobre F. El paquete de vectores asociado es entonces el coecualizador de estos mapas. ${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }F}$

Reducción del grupo estructural.

El concepto que acompaña a los paquetes asociados es la reducción del grupo estructural de un paquete . Preguntamos si existe un paquete tal que el paquete asociado sea , hasta el isomorfismo . Más concretamente, esto pregunta si los datos de transición se pueden escribir consistentemente con valores en . En otras palabras, solicitamos identificar la imagen del mapeo de paquete asociado (que en realidad es un funtor ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

Ejemplos de reducción

Los ejemplos de paquetes de vectores incluyen: la introducción de una métrica que resulta en la reducción del grupo de estructura de un grupo lineal general GL( n ) a un grupo ortogonal O( n ); y la existencia de una estructura compleja en un paquete real que resulta en la reducción del grupo de estructura del grupo lineal general real GL (2 n , R ) al grupo lineal general complejo GL ( n , C ).

Otro caso importante es encontrar una descomposición de un paquete de vectores V de rango n como una suma de Whitney (suma directa) de subpaquetes de rango k y nk , lo que resulta en la reducción del grupo de estructuras de GL( n , R ) a GL( k , R ) × GL( nk , R ).

También se puede expresar la condición para que una foliación se defina como una reducción del paquete tangente a un subgrupo de matriz de bloques, pero aquí la reducción es solo una condición necesaria, existiendo una condición de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .

Ver también

• paquete de espinor

Referencias

1. Todas estas construcciones se deben a Ehresmann (1941-3). Atribuido por Steenrod (1951) página 36
2. La eficacia es un requisito común para los haces de fibras; véase Steenrod (1951). En particular, esta condición es necesaria para asegurar la existencia y unicidad del paquete principal asociado con E.
3. Husemoller, Dale (1994), pág. 45.
4. Sharpe, RW (1997), pág. 37.

Libros

• Steenrod, normando (1951). La topología de los haces de fibras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Haces de fibras (Tercera ed.). Nueva York: Springer . ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer . ISBN 0-387-94732-9.