Representación hasta homotopía

Una representación hasta la homotopía tiene varios significados. Uno de los primeros apareció en física, en los sistemas hamiltonianos restringidos . La idea esencial es elevar una no representación en un cociente a una representación hasta una homotopía fuerte en una resolución del cociente. Como concepto en geometría diferencial , generaliza la noción de representación de un álgebra de Lie a algebroides de Lie y haces de vectores no triviales . Como tal, fue introducido por Abad y Crainic . ^[1]

Como motivación, considere un algebroide de Lie regular ( A , ρ ,[.,.]) (lo que significa regular es que el ancla ρ tiene rango constante) donde tenemos dos conexiones A naturales en g ( A ) = ker  ρ y ν ( A )= TM /im  ρ respectivamente:

${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (A)\times \Gamma ({\mathfrak {g}}(A))\to \Gamma ({\mathfrak {g}}(A)):\nabla _{\!\phi \,}\psi :=[\phi ,\psi ],}$

${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (A)\times \Gamma (\nu (A))\to \Gamma (\nu (A)):\nabla _{\!\phi \,}{\overline {X}}:={\overline {[\rho (\phi ),X]}}.}$

En la teoría de la deformación del algebroide A de Lie existe una secuencia larga y exacta ^[2]

${\displaystyle \dots \to H^{n}(A,{\mathfrak {g}}(A))\to H_{def}^{n}(A)\to H^{n-1}(A,\nu (A))\to H^{n-1}(A,{\mathfrak {g}}(A))\to \dots }$

Esto sugiere que la cohomología correcta para las deformaciones (aquí denotada como H _def ) proviene de la suma directa de los dos módulos g ( A ) y ν ( A ) y debería llamarse representación adjunta . Sin embargo, tenga en cuenta que en el caso más general donde ρ no tiene rango constante no podemos definir fácilmente las representaciones g ( A ) y ν ( A ). En lugar de ello, deberíamos considerar el complejo de dos términos A → TM y una representación del mismo. Esto lleva a la noción explicada aquí.

Definición

Sea ( A , ρ ,[.,.]) un algebroide de Lie sobre una variedad suave M y sea Ω( A ) su complejo algebroide de Lie. Sea además E un paquete de vectores con calificación ℤ sobre M y Ω( A , E ) = Ω( A ) ⊗ Γ( E ) sean sus cocadenas A con calificación ℤ con valores en E . Una representación hasta la homotopía de A en E es un operador diferencial D que mapea

${\displaystyle D\colon \Omega ^{\bullet }(A,E)\to \Omega ^{\bullet +1}(A,E),}$

cumple la regla de Leibniz

${\displaystyle D(\alpha \wedge \beta )=(D\alpha )\wedge \beta +(-1)^{|\alpha |}\alpha \wedge (D\beta ),}$

y eleva al cuadrado cero, es decir, D ²  = 0.

Operadores de homotopía

Una representación hasta la homotopía como se presentó anteriormente es equivalente a los siguientes datos

• un operador de grado 1 ∂: E  →  E que eleva al cuadrado 0,
• una conexión A ∇ en E compatible como , ${\displaystyle \nabla \circ \partial =\partial \circ \nabla }$
• una forma A -2 con valor final ( E ) ω ₂ de grado total 1, tal que la curvatura cumple ${\displaystyle \partial \omega _{2}+R_{\nabla }=0,}$
• Formas A - p con valor final ( E ) ω _p de grado total 1 que cumplen las relaciones de homotopía....

La correspondencia se caracteriza por

${\displaystyle D=\partial +\nabla +\omega _{2}+\omega _{3}+\cdots .\,}$

Homomorfismos

Un homomorfismo entre representaciones hasta la homotopía ( E , D _E ) y ( F , D _F ) del mismo algebroide de Lie A es un mapa de grado 0 Φ:Ω( A , E ) → Ω( A , F ) que conmuta con el diferenciales, es decir

${\displaystyle D_{F}\circ \Phi =\Phi \circ D_{E}.\,}$

Un isomorfismo es ahora un homomorfismo invertible. Denotamos Rep ^∞ la categoría de clases de equivalencia de representaciones hasta homotopía junto con clases de equivalencia de homomorfismos.

En el sentido de la descomposición anterior de D en un mapa de cocadenas ∂, una conexión ∇ y homotopías superiores, también podemos descomponer Φ como Φ ₀ + Φ ₁ + ... con

${\displaystyle \Phi _{i}\in \Omega ^{i}(A,\mathrm {Hom} ^{-i}(E,F))}$

y luego la condición de compatibilidad dice

${\displaystyle \partial \Phi _{n}+d_{\nabla }(\Phi _{n-1})+[\omega _{2},\Phi _{n-2}]+\cdots +[\omega _{n},\Phi _{0}]=0.}$

Ejemplos

Algunos ejemplos son las representaciones habituales de algebroides de Lie o, más concretamente, álgebras de Lie, es decir, módulos.

Otro ejemplo lo da una forma p ω _p junto con E  = M × ℝ[0] ⊕ ℝ[ p ] y el operador D  = ∇ +  ω _p donde ∇ es la conexión plana en el paquete trivial  M  × ℝ.

Dada una representación hasta la homotopía como D  = ∂ + ∇ +  ω ₂  + ... podemos construir una nueva representación hasta la homotopía por conjugación, es decir

D' = ∂ − ∇ + ω ₂ − ω ₃ + −....

Representación adjunta

Dado un algebroide de Lie ( A , ρ ,[.,.]) junto con una conexión ∇ en su paquete de vectores, podemos definir dos conexiones A asociadas de la siguiente manera ^[3]

${\displaystyle \nabla _{\!\phi \,}^{bas}\psi :=[\phi ,\psi ]+\nabla _{\!\rho (\psi )\,}\phi ,}$

${\displaystyle \nabla _{\!\phi \,}^{bas}X:=[\rho (\phi ),X]+\rho (\nabla _{\!X\,}\phi ).}$

Además, podemos introducir la curvatura mixta como

${\displaystyle R^{bas}(\phi ,\psi )(X):=\nabla _{\!X\,}[\phi ,\psi ]-[\nabla _{\!X\,}\phi ,\psi ]-[\phi ,\nabla _{\!X\,}\psi ]-\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\phi +\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\phi .}$

Esta curvatura mide la compatibilidad del corchete de Lie con la conexión y es una de las dos condiciones de A junto con TM formando un par coincidente de algebroides de Lie.

La primera observación es que este término adornado con el mapa de anclaje ρ expresa, en consecuencia, la curvatura de ambas conexiones ∇ ^bas . En segundo lugar, podemos hacer coincidir los tres ingredientes con una representación hasta la homotopía como:

${\displaystyle D=\rho +\nabla ^{bas}+R^{bas}.}$

Otra observación es que la representación resultante hasta la homotopía es independiente de la conexión elegida ∇, básicamente porque la diferencia entre dos conexiones A es una forma ( A  − 1 con valores en End( E ).

Referencias

1. Abad, Camilo Arias; Crainic, Marius (2012). "Representaciones hasta homotopía de algebroides de Lie". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2012 (663): 91–126. arXiv : 0901.0319 . doi :10.1515/CRELLE.2011.095.
2. Craínico, Marius; Moerdijk, Ieke (2008). "Deformaciones de los brackets de Lie: aspectos cohomológicos". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 10 (4): 1037–1059. arXiv : matemáticas/0403434 . doi : 10.4171/JEMS/139 .
3. Crainic, M.; Fernández, RL (2005). "Clases de características secundarias de algebroides de Lie". Teoría cuántica de campos y geometría no conmutativa . Apuntes de conferencias de física. vol. 662. Springer, Berlín. págs. 157-176. doi : 10.1007/11342786_9 . ISBN 978-3-540-23900-0.