algebroide R

En matemáticas , los algebroides R se construyen a partir de grupoides . Estos son conceptos más abstractos que los álgebros de Lie que juegan un papel similar en la teoría de los grupoides de Lie al de las álgebras de Lie en la teoría de los grupos de Lie . (Por tanto, un algebroide de Lie puede considerarse como "un álgebra de Lie con muchos objetos ").

Definición

Un algebroide R , se construye a partir de un grupoide de la siguiente manera. El conjunto de objetos de es el mismo que el de y es el módulo R libre en el conjunto , con composición dada por la regla bilineal habitual, ampliando la composición de . ^[1] ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

categoría R

Un grupoide puede considerarse como una categoría con morfismos invertibles. Luego, una categoría R se define como una extensión del concepto de algebroide R reemplazando el grupoide en esta construcción con una categoría general C que no tiene todos los morfismos invertibles. ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

Algebroides R mediante productos de convolución

También se puede definir el algebroide R , , como el conjunto de funciones con soporte finito y con el producto de convolución definido de la siguiente manera: . ^[2] ${\displaystyle {\bar {R}}{\mathsf {G}}:=R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c){\longrightarrow }R}$ ${\displaystyle \displaystyle (f*g)(z)=\sum \{(fx)(gy)\mid z=x\circ y\}}$

Sólo esta segunda construcción es natural para el caso topológico, cuando es necesario reemplazar ' función ' por ' función continua con soporte compacto ', y en este caso . ${\displaystyle R\cong \mathbb {C} }$

Ejemplos

• Cada álgebra de Lie es un algebroide de Lie sobre la variedad de un punto .
• El algebroide de Lie asociado a un grupoide de Lie .

Ver también

• categoría algebraica
• Algebroide (desambiguación)
• biálgebra
• bicategoría
• Producto de convolución
• módulo cruzado
• doble grupoide
• Álgebra de dimensiones superiores
• álgebra de hopf
• Módulo (matemáticas)
• Anillo (matemáticas)

Referencias

1. Mosa 1986
2. Marrón y Mosa 1986

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Fuentes

• Marrón, R .; Mosa, GH (1986). "Algebroides dobles y módulos cruzados de algebroides". Preimpresión de matemáticas . Universidad de Gales-Bangor.
• Mosa, GH (1986). Algebroides de dimensiones superiores y complejos cruzados (Doctor). Universidad de Gales. uk.bl.ethos.815719.
• Mackenzie, Kirill CH (1987). Grupoides de Lie y algebroides de Lie en geometría diferencial. Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 124. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-34882-9.
• Mackenzie, Kirill CH (2005). Teoría general de los grupoides de Lie y los algebroides de Lie. Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 213. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-49928-6.
• Marle, Charles-Michel (2002). "Cálculo diferencial sobre un algebroide de Lie y variedades de Poisson". arXiv : 0804.2451 [matemáticas.DG].
• Weinstein, Alan (1996). "Grupoides: unificando la simetría interna y externa". Avisos de AMS . 43 : 744–752. arXiv : matemáticas/9602220 . Código Bib : 1996 matemáticas ...... 2220W. CiteSeerX  10.1.1.29.5422 .