módulo cruzado

En matemáticas , y especialmente en teoría de la homotopía , un módulo cruzado consta de grupos y , donde actúa mediante automorfismos (que escribiremos a la izquierda, y un homomorfismo de grupos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto g\cdot h}$

${\displaystyle d\colon H\longrightarrow G,}$

que es equivariante con respecto a la acción de conjugación de sobre sí mismo: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}}$

y también satisface la llamada identidad de Peiffer:

${\displaystyle d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}}$

Origen

La primera mención de la segunda identidad para un módulo cruzado parece estar en la nota 25 a pie de página en la p. 422 del artículo de 1941 de JHC Whitehead citado a continuación, mientras que el término "módulo cruzado" se introduce en su artículo de 1946 citado a continuación. Estas ideas fueron bien elaboradas en su artículo de 1949 'Homotopía combinatoria II', que también introdujo la importante idea de un módulo cruzado libre. Las ideas de Whitehead sobre módulos cruzados y sus aplicaciones se desarrollan y explican en el libro de Brown, Higgins y Sivera que se enumera a continuación. Algunas generalizaciones de la idea de módulo cruzado se explican en el artículo de Janelidze.

Ejemplos

Sea un subgrupo normal de un grupo . Entonces, la inclusión ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle d\colon N\longrightarrow G}$

es un módulo cruzado con la acción de conjugación de on . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Para cualquier grupo G , los módulos sobre el anillo del grupo se cruzan G -módulos con d = 0.

Para cualquier grupo H , el homomorfismo de H a Aut( H ) que envía cualquier elemento de H al automorfismo interno correspondiente es un módulo cruzado.

Dada cualquier extensión central de grupos

${\displaystyle 1\to A\to H\to G\to 1\!}$

el homomorfismo sobreyectivo

${\displaystyle d\colon H\to G\!}$

junto con la acción de on define un módulo cruzado. Así, las extensiones centrales pueden considerarse módulos cruzados especiales. Por el contrario, un módulo cruzado con límite sobreyectivo define una extensión central. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Si ( X , A , x ) es un par puntiagudo de espacios topológicos (es decir, es un subespacio de y es un punto en ), entonces el límite de homotopía ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d\colon \pi _{2}(X,A,x)\rightarrow \pi _{1}(A,x)\!}$

desde el segundo grupo de homotopía relativa al grupo fundamental , se le puede dar la estructura de módulo cruzado. el funtor

${\displaystyle \Pi \colon ({\text{pairs of pointed spaces}})\rightarrow ({\text{crossed modules}})}$

satisface una forma del teorema de van Kampen , en el sentido de que conserva ciertos colimits.

El resultado del módulo cruzado de un par también se puede expresar como: si

${\displaystyle F\rightarrow E\rightarrow B\!}$

es una fibración puntual de espacios, entonces el mapa inducido de grupos fundamentales

${\displaystyle d\colon \pi _{1}(F)\rightarrow \pi _{1}(E)\!}$

Se le puede dar la estructura de módulo cruzado. Este ejemplo es útil en teoría K algebraica . Hay versiones de dimensiones superiores de este hecho que utilizan n -cubos de espacios.

Estos ejemplos sugieren que los módulos cruzados pueden considerarse como "grupos bidimensionales". De hecho, esta idea se puede precisar utilizando la teoría de categorías . Se puede demostrar que un módulo cruzado es esencialmente lo mismo que un grupo categórico o 2 grupos : es decir, un objeto de grupo en la categoría de categorías o, de manera equivalente, un objeto de categoría en la categoría de grupos. Esto significa que el concepto de módulo cruzado es una versión del resultado de combinar los conceptos de "grupo" y "categoría". Esta equivalencia es importante para versiones de grupos de dimensiones superiores.

Clasificando el espacio

Cualquier módulo cruzado

${\displaystyle M=(d\colon H\longrightarrow G)\!}$

tiene un espacio de clasificación BM con la propiedad de que sus grupos de homotopía son Coker d, en dimensión 1, Ker d en dimensión 2 y 0 en dimensiones superiores a 2. Es posible describir las clases de homotopía de mapas de un complejo CW a BM . Esto permite demostrar que los tipos de homotopía 2 (puntiagudos, débiles) se describen completamente mediante módulos cruzados.

enlaces externos

• Báez, J.; Lauda, ​​A. (2003). "Álgebra V de dimensiones superiores: 2 grupos". arXiv : math.QA/0307200 .
• Marrón, R. (1999). "Grupoides y objetos cruzados en topología algebraica" (PDF) . Homología, Homotopía y Aplicaciones . 1 (1): 1–78. doi :10.4310/HHA.1999.v1.n1.a1.
• Marrón, R. (1982). "Teoría de grupos de dimensiones superiores". Topología de baja dimensión. Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 48. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 215–240. ISBN 978-0-521-28146-1.
• Marrón, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica. Tratados EMS en Matemáticas. vol. 15. arXiv : matemáticas/0407275 . doi :10.4171/083. ISBN 978-3-03719-583-3.
• Forrester-Barker, M. (2002). "Objetos de grupo y categorías internas". arXiv : matemáticas/0212065 .
• Noohi, Behrang (2007). "Notas sobre 2 grupos, 2 grupos y módulos cruzados". Homología, Homotopía y Aplicaciones . 9 (1): 75-106. arXiv : math.CT/0512106 . doi :10.4310/HHA.2007.v9.n1.a3. S2CID  13604037.
• módulo cruzado en el n Lab

Referencias

• Whitehead, JHC (1941). "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía". Ana. de Matemáticas . 42 (2): 409–428. doi :10.2307/1968907. JSTOR  1968907.
• Whitehead, JHC (1946). "Nota sobre un artículo anterior titulado "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía"". Ann. of Math . 47 (2): 806–810. doi :10.2307/1969237. JSTOR  1969237.
• Whitehead, JHC (1949). "Homotopía combinatoria. II". Toro. América. Matemáticas. Soc . 55 (5): 453–496. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09213-3 .
• Janelidze, G. (2003). "Módulos internos cruzados". Matemáticas georgianas. J.​ 10 (1): 99-114. doi :10.1515/GMJ.2003.99. S2CID  125311722.