Los corchetes de Lagrange son ciertas expresiones estrechamente relacionadas con los corchetes de Poisson que fueron introducidas por Joseph Louis Lagrange en 1808-1810 con el fin de formular matemáticas de la mecánica clásica , pero a diferencia de los corchetes de Poisson, han caído en desuso.
Definición
Supongamos que ( q 1 , ..., q n , p 1 , ..., p n ) es un sistema de coordenadas canónicas en un espacio de fase . Si cada uno de ellos se expresa en función de dos variables, u y v , entonces el paréntesis de Lagrange de u y v se define mediante la fórmula
Propiedades
- Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ( q , p ). Si ( Q , P ) = ( Q 1 , ..., Q n , P 1 , ..., P n ) es otro sistema de coordenadas canónicas, de modo que
- es una transformación canónica , entonces el corchete de Lagrange es un invariante de la transformación, en el sentido de que
- Por lo tanto, a menudo se omiten los subíndices que indican las coordenadas canónicas.
- Si Ω es la forma simpléctica en el espacio de fase de 2n dimensiones W y u 1 ,..., u 2n forman un sistema de coordenadas en W , la forma simpléctica se puede escribir como
donde la matriz
- ::
- Representa las componentes de Ω , vistas como un tensor , en las coordenadas u . Esta matriz es la inversa de la matriz formada por los corchetes de Poisson
- de las coordenadas u .
- Como corolario de las propiedades anteriores, las coordenadas ( Q 1 , ..., Q n , P 1 , ..., P n ) en un espacio de fases son canónicas si y sólo si los corchetes de Lagrange entre ellos tienen la forma
Matriz de Lagrange en transformaciones canónicas.
El concepto de corchetes de Lagrange se puede ampliar al de matrices definiendo la matriz de Lagrange.
Considere la siguiente transformación canónica:
Al definir , la matriz de Lagrange se define como , donde es la matriz simpléctica bajo las mismas convenciones utilizadas para ordenar el conjunto de coordenadas. De la definición se desprende que:
La matriz de Lagrange satisface las siguientes propiedades conocidas:
corchetes de PoissonLa invariancia del corchete de Lagrange se puede expresar como: , lo que conduce directamente a la condición simpléctica: . [1]
Ver también
Referencias
- ^ Giacaglia, Giorgio EO (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Ciencias matemáticas aplicadas. Nueva York Heidelberg: Springer. págs. 8–9. ISBN 978-3-540-90054-2.
- Cornelius Lanczos , Los principios variacionales de la mecánica , Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7 .
- Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [Los orígenes del cálculo simpléctico en la obra de Lagrange], L'Enseign. Matemáticas. (2) 44 (1998), núm. 3-4, 257–277. Señor 1659212
enlaces externos