Superálgebra de Poisson

Generalización graduada Z2 de un álgebra de Poisson

En matemáticas , una superálgebra de Poisson es una generalización graduada Z ₂ de un álgebra de Poisson . En concreto, una superálgebra de Poisson es una superálgebra (asociativa ) A junto con un segundo producto, un supercorchete de Lie.

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}$

tal que ( A , [·,·]) es una superálgebra de Lie y el operador

${\displaystyle [x,\cdot ]:A\to A}$

es una superderivación de A :

${\displaystyle [x,yz]=[x,y]z+(-1)^{|x||y|}y[x,z].}$

Aquí se muestra la clasificación de un elemento (puro) . ${\displaystyle |a|=\deg a}$ ${\displaystyle a}$

Un álgebra de Poisson supercommutativa es aquella en la que el producto (asociativo) es supercommutativo .

Esta es una de las dos formas posibles de "super"izar el álgebra de Poisson. Esto da la dinámica clásica de los campos de fermiones y las partículas clásicas de espín 1/2. La otra forma es definir un álgebra de anticorchetes o álgebra de Gerstenhaber , utilizada en el formalismo BRST y de Batalin-Vilkovisky . La diferencia entre estas dos está en la gradación del corchete de Lie. En la superálgebra de Poisson, la gradación del corchete es cero:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

Mientras que en el álgebra de Gerstenhaber, el corchete disminuye la calificación en uno:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

Ejemplos

• Si es cualquier álgebra graduada asociativa Z ₂ , entonces, al definir un nuevo producto , llamado superconmutador, por para cualquier x, y puro graduado, se convierte en una superálgebra de Poisson. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle [x,y]:=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Supervariedad de Poisson

Referencias

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001) [1994], "Álgebra de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press