Soporte de Lagrange

Los corchetes de Lagrange son ciertas expresiones estrechamente relacionadas con los corchetes de Poisson que fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange en 1808-1810 con el propósito de la formulación matemática de la mecánica clásica , pero a diferencia de los corchetes de Poisson, han caído en desuso.

Definición

Supóngase que ( q ₁ , ..., q _n , p ₁ , ..., p _n ) es un sistema de coordenadas canónicas en un espacio de fases . Si cada una de ellas se expresa como función de dos variables, u y v , entonces el corchete de Lagrange de u y v se define mediante la fórmula

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}$

Propiedades

• Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ( q , p ). Si ( Q , P ) = ( Q ₁ , ..., Q _n , P ₁ , ..., P _n ) es otro sistema de coordenadas canónicas, de modo que

${\displaystyle Q=Q(q,p),P=P(q,p)}$

es una transformación canónica , entonces el corchete de Lagrange es un invariante de la transformación, en el sentido de que

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}$

Por lo tanto, a menudo se omiten los subíndices que indican las coordenadas canónicas.

• Si Ω es la forma simpléctica en el espacio de fases 2n -dimensional W y u ₁ ,..., u _2n forman un sistema de coordenadas en W , la forma simpléctica se puede escribir como

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}\Omega _{ij}du^{i}\wedge du^{j}}$

donde la matriz

${\displaystyle \Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$::

representa los componentes de Ω , visto como un tensor , en las coordenadas u . Esta matriz es la inversa de la matriz formada por los corchetes de Poisson

${\displaystyle \left(\Omega ^{-1}\right)_{ij}=\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

de las coordenadas u .

• Como corolario de las propiedades anteriores, las coordenadas ( Q ₁ , ..., Q _n , P ₁ , ..., P _n ) en un espacio de fases son canónicas si y sólo si los corchetes de Lagrange entre ellas tienen la forma

${\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}$

Matriz de Lagrange en transformaciones canónicas

El concepto de corchetes de Lagrange se puede ampliar al de matrices definiendo la matriz de Lagrange.

Consideremos la siguiente transformación canónica: $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$

Definiendo , la matriz de Lagrange se define como , donde es la matriz simpléctica bajo las mismas convenciones utilizadas para ordenar el conjunto de coordenadas. De la definición se desprende que: ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }}$$

La matriz de Lagrange satisface las siguientes propiedades conocidas: donde se conoce como matriz de Poisson y cuyos elementos corresponden a corchetes de Poisson . La última identidad también se puede expresar de la siguiente manera: Nótese que la suma aquí involucra coordenadas generalizadas así como también momento generalizado. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{T}&=-{\mathcal {L}}\\|{\mathcal {L}}|&={|M|^{2}}\\{\mathcal {L}}^{-1}(\eta )&=-M^{-1}J(M^{-1})^{T}=-{\mathcal {P}}(\eta )\\\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\eta )}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

La invariancia del corchete de Lagrange se puede expresar como: , lo que conduce directamente a la condición simpléctica: . ^[1] ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Mecánica hamiltoniana

Referencias

1. Giacaglia, Giorgio EO (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Ciencias matemáticas aplicadas. Nueva York, Heidelberg: Springer. pp. 8-9. ISBN 978-3-540-90054-2.

• Cornelius Lanczos , Los principios variacionales de la mecánica , Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7 . 
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [Los orígenes del cálculo simpléctico en la obra de Lagrange], L'Enseign. Matemáticas. (2) 44 (1998), núm. 3-4, 257–277. Señor 1659212

Enlaces externos

• Eric W. Weisstein . "Soporte de Lagrange". MundoMatemático .
• AP Soldatov (2001) [1994], "Corchete de Lagrange", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press