En física teórica, Eugene Wigner y Erdal İnönü han discutido [1] la posibilidad de obtener de un grupo de Lie dado un grupo de Lie diferente (no isomorfo) mediante una contracción de grupo con respecto a un subgrupo continuo de él. Esto equivale a una operación límite sobre un parámetro del álgebra de Lie , alterando las constantes de estructura de esta álgebra de Lie de una manera singular no trivial, bajo circunstancias adecuadas. [2] [3]
Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de rotación 3D SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 , etc., puede reescribirse mediante un cambio de variables Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , como
El límite de contracción ε → 0 trivializa el primer conmutador y, por lo tanto, produce el álgebra no isomorfa del grupo euclidiano plano , E 2 ~ ISO(2) . (Este es isomorfo al grupo cilíndrico, que describe los movimientos de un punto en la superficie de un cilindro. Es el pequeño grupo , o subgrupo estabilizador , de cuatro vectores nulos en el espacio de Minkowski ). Específicamente, los generadores de traslación Y 1 , Y 2 , ahora generan el subgrupo normal abeliano de E 2 (cf. Extensión del grupo ), las transformaciones parabólicas de Lorentz .
Límites similares, de considerable aplicación en física (cf. principios de correspondencia ), se contraen