Soporte Moyal

Antisimetrización adecuadamente normalizada del producto estrella del espacio de fases

En física , el corchete de Moyal es la antisimetrización adecuadamente normalizada del producto estrella del espacio de fases .

El corchete Moyal fue desarrollado alrededor de 1940 por José Enrique Moyal , pero Moyal solo logró publicar su trabajo en 1949 después de una larga disputa con Paul Dirac . ^{[1] [2]} Mientras tanto, esta idea fue introducida de forma independiente en 1946 por Hip Groenewold . ^[3]

Descripción general

El corchete de Moyal es una forma de describir el conmutador de observables en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica cuando estos observables se describen como funciones en el espacio de fases . Se basa en esquemas para identificar funciones en el espacio de fases con observables cuánticos, siendo el más famoso de estos esquemas la transformada de Wigner-Weyl . Es la base de la ecuación dinámica de Moyal , una formulación equivalente de la ecuación cuántica de movimiento de Heisenberg , proporcionando así la generalización cuántica de las ecuaciones de Hamilton .

Matemáticamente, es una deformación del corchete de Poisson del espacio de fases (esencialmente una extensión del mismo), siendo el parámetro de deformación la constante de Planck reducida ħ . Por lo tanto, su contracción de grupo ħ →0 produce el álgebra de Lie del corchete de Poisson .

Hasta la equivalencia formal, el corchete de Moyal es la única deformación algebraica de Lie de un parámetro del corchete de Poisson. Su isomorfismo algebraico con el álgebra de conmutadores evita el resultado negativo del teorema de Groenewold-van Hove, que impide tal isomorfismo para el corchete de Poisson, una cuestión planteada implícitamente por Dirac en su tesis doctoral de 1926, ^[4] el "método de analogía clásica" para la cuantificación. ^[5]

Por ejemplo, en un espacio de fase plano bidimensional , y para la correspondencia del mapa de Weyl , el corchete de Moyal se lee,

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{f,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star g-g\star f)\\&=\{f,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{aligned}}}$

donde ★ es el operador del producto estrella en el espacio de fases (cf. producto de Moyal ), mientras que f y g son funciones diferenciables en el espacio de fases, y { f , g } es su corchete de Poisson. ^[6]

Más específicamente, en el lenguaje del cálculo operacional , esto equivale a

${\displaystyle \{\{f,g\}\}\ ={\frac {2}{\hbar }}~f(x,p)\ \sin \left({{\tfrac {\hbar }{2}}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x})}\right)\ g(x,p).}$

Las flechas izquierda y derecha sobre las derivadas parciales indican las derivadas parciales izquierda y derecha. A veces, el corchete de Moyal se denomina corchete de seno .

Una representación integral (de Fourier) popular para ello, introducida por George Baker ^[7] es

${\displaystyle \{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.}$

Cada mapa de correspondencia entre el espacio de fases y el espacio de Hilbert induce un corchete "Moyal" característico (como el que se ilustra aquí para el mapa de Weyl). Todos estos corchetes Moyal son formalmente equivalentes entre sí, de acuerdo con una teoría sistemática. ^[8]

El corchete de Moyal especifica el álgebra de Lie de dimensión infinita homónima : es antisimétrica en sus argumentos f y g y satisface la identidad de Jacobi . El álgebra de Lie abstracta correspondiente se realiza mediante T _f ≡ f ★ , de modo que

${\displaystyle [T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{\{f,g\}\}}.}$

En un espacio de fase de 2 toros, T ² , con coordenadas periódicas x y p , cada una en [0,2 π ] , e índices de modo entero m _i , para funciones base exp( i ( m ₁ x + m ₂ p )) , esta álgebra de Lie se lee, ^[9]

${\displaystyle [T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }{2}}(n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

que se reduce a SU ( N ) para el entero N  ≡ 4 π/ħ . SU ( N ) surge entonces como una deformación de SU (∞), con parámetro de deformación 1/ N .

La generalización del corchete de Moyal para sistemas cuánticos con restricciones de segunda clase implica una operación sobre clases de equivalencia de funciones en el espacio de fases, ^[10] lo que puede considerarse como una deformación cuántica del corchete de Dirac .

Corchete de seno y corchete de coseno

Además del corchete del seno analizado, Groenewold introdujo además ^[3] el corchete del coseno, elaborado por Baker, ^{[7] [11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\{\{f,g\}\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(f\star g+g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{aligned}}}$

Aquí, nuevamente, ★ es el operador del producto estrella en el espacio de fases, f y g son funciones diferenciables en el espacio de fases, y f g es el producto ordinario.

Los corchetes de seno y coseno son, respectivamente, los resultados de antisimetrizar y simetrizar el producto estrella. Por lo tanto, como el corchete de seno es el mapa de Wigner del conmutador, el corchete de coseno es la imagen de Wigner del anticonmutador en la mecánica cuántica estándar. De manera similar, como el corchete de Moyal es igual al corchete de Poisson hasta órdenes superiores de ħ , el corchete de coseno es igual al producto ordinario hasta órdenes superiores de ħ . En el límite clásico , el corchete de Moyal ayuda a la reducción a la ecuación de Liouville (formulada en términos del corchete de Poisson) , ya que el corchete de coseno conduce a la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi . ^[12]

Los corchetes seno y coseno también se utilizan en ecuaciones de una descripción puramente algebraica de la mecánica cuántica. ^{[12] [13]}

Referencias

1. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
2. Moyal, Ann (2006). Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal (Cap. 3: Battle With A Legend). doi : 10.22459/MM.08.2006 . ISBN. 9781920942595. Recuperado el 2 de mayo de 2010 .
3. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode :1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
4. PAM Dirac (1926) Tesis de la Universidad de Cambridge "Mecánica cuántica"
5. PAM Dirac , "Los principios de la mecánica cuántica" ( Clarendon Press Oxford , 1958) ISBN 978-0-19-852011-5 
6. Por el contrario, el corchete de Poisson se puede expresar formalmente en términos del producto estrella, iħ { f , g } = 2 f (log ★ ) g .
7. Baker, George A. (15 de marzo de 1958). "Formulación de la mecánica cuántica basada en la distribución de cuasi-probabilidad inducida en el espacio de fases". Physical Review . 109 (6). American Physical Society (APS): 2198–2206. Bibcode :1958PhRv..109.2198B. ​​doi :10.1103/physrev.109.2198. ISSN  0031-899X.
8. C. Zachos , D. Fairlie y T. Curtright , "Mecánica cuántica en el espacio de fases" ( World Scientific , Singapur, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 . Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734. 
9. Fairlie, DB; Zachos, CK (1989). "Álgebras de dimensión infinita, corchetes de seno y SU(∞)". Physics Letters B . 224 (1–2): 101–107. Bibcode :1989PhLB..224..101F. doi :10.1016/0370-2693(89)91057-5. S2CID  120159881.
10. Krivoruchenko, MI; Raduta, AA; Faessler, Amand (17 de enero de 2006). "Deformación cuántica del corchete de Dirac". Physical Review D . 73 (2). American Physical Society (APS): 025008. arXiv : hep-th/0507049 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..73b5008K. doi :10.1103/physrevd.73.025008. ISSN  1550-7998. S2CID  119131374.
11. Véase también la cita de Baker (1958) en: Curtright, T.; Fairlie, D.; Zachos, C. (1998). "Características de las funciones de Wigner independientes del tiempo". Physical Review D . 58 (2): 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Bibcode :1998PhRvD..58b5002C. doi :10.1103/PhysRevD.58.025002. S2CID  288935.arXiv:hep-th/9711183v3
12. BJ Hiley : Descripciones del espacio de fases de los fenómenos cuánticos, en: A. Khrennikov (ed.): Teoría cuántica: reconsideración de los fundamentos–2 , págs. 267-286, Växjö University Press, Suecia, 2003 (PDF)
13. MR Brown, BJ Hiley: Schrodinger revisited: an algebraic approach , arXiv:quant-ph/0005026 (enviado el 4 de mayo de 2000, versión del 19 de julio de 2004, consultado el 3 de junio de 2011)