Deformación (matemáticas)

rama de las matemáticas

En matemáticas , la teoría de la deformación es el estudio de las condiciones infinitesimales asociadas con la variación de una solución P de un problema a soluciones P _ε ligeramente diferentes , donde ε es un número pequeño o un vector de cantidades pequeñas. Las condiciones infinitesimales son el resultado de aplicar el enfoque del cálculo diferencial a la resolución de un problema con restricciones . El nombre es una analogía con las estructuras no rígidas que se deforman ligeramente para adaptarse a fuerzas externas.

Algunos fenómenos característicos son: la derivación de ecuaciones de primer orden tratando las cantidades ε como si tuvieran cuadrados insignificantes; la posibilidad de soluciones aisladas , en el sentido de que variar una solución puede no ser posible o no aportar nada nuevo; y la cuestión de si las restricciones infinitesimales realmente se "integran", de modo que su solución proporcione pequeñas variaciones. De alguna forma, estas consideraciones tienen una historia de siglos en matemáticas, pero también en física e ingeniería . Por ejemplo, en la geometría de los números se reconoció una clase de resultados llamados teoremas de aislamiento , con la interpretación topológica de una órbita abierta (de acción grupal ) alrededor de una solución dada. La teoría de la perturbación también analiza las deformaciones, en general, de los operadores .

Deformaciones de variedades complejas.

La teoría de la deformación más destacada en matemáticas ha sido la de variedades complejas y variedades algebraicas . Esto se estableció sobre una base firme gracias al trabajo fundacional de Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , después de que las técnicas de deformación hubieran recibido una aplicación mucho más tentativa en la escuela italiana de geometría algebraica . Uno espera, intuitivamente, que la teoría de la deformación de primer orden iguale el espacio tangente de Zariski con un espacio de módulos . Sin embargo, en general los fenómenos resultan ser bastante sutiles.

En el caso de las superficies de Riemann , se puede explicar que la estructura compleja de la esfera de Riemann está aislada (sin módulos). Para el género 1, una curva elíptica tiene una familia de estructuras complejas de un parámetro, como se muestra en la teoría de la función elíptica . La teoría general de Kodaira-Spencer identifica como clave de la teoría de la deformación al grupo de cohomología de la gavilla.

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

donde Θ es (el haz de gérmenes de secciones de) el paquete tangente holomorfo . Hay una obstrucción en el H ² de la misma gavilla; que siempre es cero en el caso de una curva, por razones generales de dimensión. En el caso del género 0, el H ¹ también desaparece. Para el género 1 la dimensión es el número de Hodge h ^1,0 que por lo tanto es 1. Se sabe que todas las curvas del género uno tienen ecuaciones de la forma y ² = x ³ + ax + b . Obviamente, éstas dependen de dos parámetros, a y b, mientras que las clases de isomorfismo de tales curvas tienen un solo parámetro. Por tanto, debe haber una ecuación que relacione aquellos a y b que describen curvas elípticas isomorfas. Resulta que las curvas para las cuales b ² a ⁻³ tiene el mismo valor, describen curvas isomorfas. Es decir, variar a y b es una forma de deformar la estructura de la curva y ² = x ³ + ax + b , pero no todas las variaciones de a,b realmente cambian la clase de isomorfismo de la curva.

Se puede ir más allá con el caso del género g > 1, utilizando la dualidad de Serre para relacionar el H ¹ con

${\displaystyle H^{0}(\Omega ^{[2]})}$

donde Ω es el paquete cotangente holomorfo y la notación Ω ^[2] significa el tensor cuadrado ( no la segunda potencia exterior ). En otras palabras, las deformaciones están reguladas por diferenciales cuadráticos holomórficos en una superficie de Riemann, algo que también se conoce clásicamente. La dimensión del espacio de módulos, llamado espacio de Teichmüller en este caso, se calcula como 3 g − 3, mediante el teorema de Riemann-Roch .

Estos ejemplos son el comienzo de una teoría que se aplica a familias holomorfas de variedades complejas, de cualquier dimensión. Otros desarrollos incluyeron: la extensión por parte de Spencer de las técnicas a otras estructuras de geometría diferencial ; la asimilación de la teoría de Kodaira-Spencer a la geometría algebraica abstracta de Grothendieck , con la consiguiente aclaración sustantiva de trabajos anteriores; y teoría de la deformación de otras estructuras, como las álgebras.

Deformaciones y mapas planos.

La forma más general de deformación es un mapa plano de espacios, esquemas o gérmenes de funciones analíticos complejos en un espacio. Grothendieck ^[1] fue el primero en encontrar esta generalización de gran alcance para las deformaciones y desarrolló la teoría en ese contexto. La idea general es que debería existir una familia universal tal que cualquier deformación pueda encontrarse como un cuadrado de retroceso único . ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

En muchos casos, esta familia universal es un esquema de Hilbert o un esquema de Quot , o un cociente de uno de ellos. Por ejemplo, en la construcción de los Módulos de curvas , se construye como un cociente de las curvas suaves en el esquema de Hilbert. Si el cuadrado de retroceso no es único, entonces la familia es solo versal .

Deformaciones de gérmenes de álgebras analíticas.

Una de las áreas útiles y fácilmente computables de la teoría de la deformación proviene de la teoría de la deformación de gérmenes de espacios complejos, como las variedades de Stein , las variedades complejas o las variedades analíticas complejas . ^[1] Tenga en cuenta que esta teoría se puede globalizar a variedades complejas y espacios analíticos complejos considerando los haces de gérmenes de funciones holomorfas, espacios tangentes, etc. Tales álgebras son de la forma

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}}$

donde está el anillo de series de potencias convergentes y es un ideal. Por ejemplo, muchos autores estudian los gérmenes de funciones de una singularidad, como el álgebra ${\displaystyle \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

representando una singularidad de curva plana. Un germen de álgebras analíticas es entonces un objeto en la categoría opuesta de tales álgebras. Entonces, una deformación de un germen de álgebras analíticas viene dada por un mapa plano de gérmenes de álgebras analíticas donde tiene un punto distinguido tal que encaja en el cuadrado de retroceso ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

Estas deformaciones tienen una relación de equivalencia dada por cuadrados conmutativos

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

donde las flechas horizontales son isomorfismos. Por ejemplo, hay una deformación de la singularidad de la curva plana dada por el diagrama opuesto del diagrama conmutativo de álgebras analíticas.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

De hecho, Milnor estudió este tipo de deformaciones, donde una singularidad es deformada por una constante, de ahí que la fibra sobre un valor distinto de cero se llame fibra de Milnor . ${\displaystyle s}$

Interpretación cohomológica de las deformaciones.

Debe quedar claro que pueden existir muchas deformaciones de un solo germen de funciones analíticas. Debido a esto, se necesitan algunos dispositivos de contabilidad para organizar toda esta información. Estos dispositivos organizativos se construyen utilizando cohomología tangente. ^[1] Esto se forma utilizando la resolución de Koszul-Tate y potencialmente modificándola agregando generadores adicionales para álgebras no regulares . En el caso de las álgebras analíticas, estas resoluciones se denominan resolución de Tjurina en honor a la matemática que estudió por primera vez tales objetos, Galina Tyurina . Esta es un álgebra graduada diferencial conmutativa graduada, tal que es un mapa sobreyectivo de álgebras analíticas, y este mapa encaja en una secuencia exacta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$ ${\displaystyle R_{0}\to A}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Luego, tomando el módulo diferencial graduado de derivaciones , su cohomología forma la cohomología tangente del germen de las álgebras analíticas . Estos grupos de cohomología se denotan . Contiene información sobre todas las deformaciones y se puede calcular fácilmente utilizando la secuencia exacta. ${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{k}(A)}$ ${\displaystyle T^{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

Si es isomorfo al álgebra ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

entonces sus deformaciones son iguales a

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

donde es la matriz jacobiana de . Por ejemplo, las deformaciones de una hipersuperficie dada por tiene las deformaciones ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

Para la singularidad este es el módulo. ${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

por lo tanto, las únicas deformaciones se obtienen sumando constantes o factores lineales, por lo que una deformación general es donde hay parámetros de deformación. ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$ ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Descripción funcional

Otro método para formalizar la teoría de la deformación es utilizar functores en la categoría de álgebras locales de Artin sobre un campo. Un funtor previo a la deformación se define como un functor ${\displaystyle {\text{Art}}_{k}}$

${\displaystyle F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}}$

tal que ese es un punto. La idea es que queremos estudiar la estructura infinitesimal de algún espacio de módulos alrededor de un punto donde se encuentra encima de ese punto el espacio de interés. Normalmente ocurre que es más fácil describir el funtor para un problema de módulos en lugar de encontrar un espacio real. Por ejemplo, si queremos considerar el módulo-espacio de hipersuperficies de grado en , entonces podríamos considerar el functor ${\displaystyle F(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

dónde

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}}$

Aunque en general, es más conveniente/obligatorio trabajar con functores de grupoides en lugar de conjuntos. Esto es cierto para los módulos de curvas.

Observaciones técnicas sobre infinitesimales.

Los matemáticos han utilizado durante mucho tiempo los infinitesimales para argumentos no rigurosos en cálculo. La idea es que si consideramos polinomios con un valor infinitesimal , entonces sólo importan realmente los términos de primer orden; es decir, podemos considerar ${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

Una aplicación sencilla de esto es que podemos encontrar las derivadas de monomios usando infinitesimales:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

el término contiene la derivada del monomio, lo que demuestra su uso en cálculo. También podríamos interpretar esta ecuación como los dos primeros términos del desarrollo de Taylor del monomio. Los infinitesimales se pueden hacer rigurosos utilizando elementos nilpotentes en álgebras artísticas locales. En el ring vemos que los argumentos con infinitesimales pueden funcionar. Esto motiva la notación , que se llama Anillo de números duales . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$

Además, si queremos considerar términos de orden superior de una aproximación de Taylor, entonces podríamos considerar las álgebras de Artin . Para nuestro monomio, supongamos que queremos escribir la expansión de segundo orden, entonces ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

Recuerde que una expansión de Taylor (en cero) se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(x)}{1!}}+{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}+{\frac {f^{(3)}(x)}{3!}}+\cdots }$

por lo tanto, las dos ecuaciones anteriores muestran que la segunda derivada de es . ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle 6x}$

En general, dado que queremos considerar expansiones de Taylor de orden arbitrario en cualquier número de variables, consideraremos la categoría de todas las álgebras locales de artin sobre un campo.

Motivación

Para motivar la definición de un funtor previo a la deformación, considere la hipersuperficie proyectiva sobre un campo

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

Si queremos considerar una deformación infinitesimal de este espacio, entonces podríamos escribir un cuadrado cartesiano

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

dónde . Entonces, el espacio en la esquina derecha es un ejemplo de una deformación infinitesimal: la estructura teórica del esquema adicional de los elementos nilpotentes en (que topológicamente es un punto) nos permite organizar estos datos infinitesimales. Como queremos considerar todas las expansiones posibles, dejaremos que nuestro functor de predeformación se defina en los objetos como ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

¿Dónde hay un álgebra de Artin local ? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Functores suaves de predeformación.

Un funtor previo a la deformación se llama suave si para cualquier sobreyección tal que el cuadrado de cualquier elemento en el núcleo sea cero, hay una sobreyección. ${\displaystyle A'\to A}$

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Esto está motivado por la siguiente pregunta: dada una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

¿Existe una extensión de este diagrama cartesiano a los diagramas cartesianos?

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

el nombre suave proviene del criterio de elevación de un morfismo suave de esquemas.

Espacio tangente

Recuerde que el espacio tangente de un esquema se puede describir como el -conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

donde la fuente es el anillo de números duales . Dado que estamos considerando el espacio tangente de un punto de algún espacio de módulos, podemos definir el espacio tangente de nuestro funtor (pre)deformación como

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ])}$

Aplicaciones de la teoría de la deformación.

Dimensión de módulos de curvas.

Una de las primeras propiedades de los módulos de curvas algebraicas se puede deducir utilizando la teoría de la deformación elemental. Su dimensión se puede calcular como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

para una curva de género arbitraria y suave porque el espacio de deformación es el espacio tangente del espacio de módulos. Usando la dualidad de Serre, el espacio tangente es isomorfo a ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

Por tanto, el teorema de Riemann-Roch da

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

Para curvas de género el porque ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

el grado es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

y para haces de líneas de grado negativo. Por tanto, la dimensión del espacio de módulos es . ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Doblar y romper

Shigefumi Mori aplicó la famosa teoría de la deformación en geometría biracional para estudiar la existencia de curvas racionales en variedades . ^[2] Para una variedad de Fano de dimensión positiva, Mori demostró que hay una curva racional que pasa por cada punto. El método de prueba más tarde se conoció como el de doblar y romper de Mori . La idea aproximada es comenzar con una curva C que pase por un punto elegido y seguir deformándola hasta que se rompa en varios componentes . Reemplazar C por uno de los componentes tiene el efecto de disminuir el género o el grado de C. Entonces, después de varias repeticiones del procedimiento, eventualmente obtendremos una curva de género 0, es decir, una curva racional. La existencia y las propiedades de las deformaciones de C requieren argumentos de la teoría de la deformación y una reducción a una característica positiva .

Deformaciones aritméticas

Una de las principales aplicaciones de la teoría de la deformación es la aritmética. Se puede utilizar para responder a la siguiente pregunta: si tenemos una variedad , ¿cuáles son las posibles extensiones ? Si nuestra variedad es una curva, entonces la desaparición implica que cada deformación induce una variedad sobre ; es decir, si tenemos una curva suave ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

y una deformación

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

entonces siempre podemos extenderlo a un diagrama de la forma

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Esto implica que podemos construir un esquema formal dando una curva sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Deformaciones de esquemas abelianos.

El teorema de Serre-Tate afirma, en términos generales, que las deformaciones del esquema abeliano A están controladas por deformaciones del p -grupo divisible que consta de sus p -puntos de torsión de potencia. ${\displaystyle A[p^{\infty }]}$

deformaciones de Galois

Otra aplicación de la teoría de la deformación es con las deformaciones de Galois. Nos permite responder a la pregunta: Si tenemos una representación de Galois

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

¿Cómo podemos extenderlo a una representación?

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

Relación con la teoría de cuerdas

La llamada conjetura de Deligne que surgió en el contexto de las álgebras (y la cohomología de Hochschild ) estimuló mucho interés en la teoría de la deformación en relación con la teoría de cuerdas (en términos generales, para formalizar la idea de que una teoría de cuerdas puede considerarse como una deformación de un punto). teoría de partículas) ^{[ cita necesaria ]} . Esto ahora se acepta como probado, después de algunos problemas con los primeros anuncios. Maxim Kontsevich se encuentra entre los que han ofrecido una prueba generalmente aceptada de esto ^{[ cita requerida ]} .

Ver también

• Mapa de Kodaira-Spencer
• numero dual
• teorema de schlessinger
• Exalcom
• complejo cotangente
• Invariante de Gromov-Witten
• Módulos de curvas algebraicas
• Degeneración (geometría algebraica)

Notas

1. Palamodov (1990). "Deformaciones de espacios complejos". Varias variables complejas IV . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 10. págs. 105-194. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
2. Debarre, Olivier (2001). "3. Lemas de doblar y romper". Geometría algebraica de dimensiones superiores . Texto universitario. Saltador.

Fuentes

• "deformación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gerstenhaber, Murray y Stasheff, James , eds. (1992). Teoría de la deformación y grupos cuánticos con aplicaciones a la física matemática , Sociedad Matemática Estadounidense (Google eBook) ISBN 0821851411 

Pedagógico

• Palamodov, vicepresidente, III. Deformaciones de espacios complejos. Variables complejas IV (introducción muy realista)
• Notas del curso sobre teoría de la deformación (Artin)
• Estudiar la teoría de los esquemas de deformación.
• Sernesi, Eduardo, Deformaciones de esquemas algebraicos
• Hartshorne, Robin, Teoría de la deformación.
• Notas del curso de Hartshorne sobre teoría de la deformación
• MSRI – Teoría de la deformación y módulos en geometría algebraica

Artículos de encuesta

• Mazur, Barry (2004), "Perturbaciones, deformaciones y variaciones (y" casi accidentes "en geometría, física y teoría de números" (PDF) , Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 41 (3): 307–336, doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , SEÑOR  2058289
• Anel, M., Por qué las deformaciones son cohomológicas (PDF)

enlaces externos

• "Un vistazo a la teoría de la deformación" (PDF) ., notas de conferencias de Brian Osserman