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En álgebra , Exalcomm es un funtor que clasifica las extensiones de un álgebra conmutativa por un módulo . Más precisamente, los elementos de Exalcomm _k ( R , M ) son clases de isomorfismo de k -álgebras conmutativas E con un homomorfismo sobre la k -álgebra R cuyo núcleo es el R -módulo M (con todos los pares de elementos en M que tienen producto 0). Nótese que algunos autores usan Exal como el mismo funtor. Hay funtores similares Exal y Exan para anillos y álgebras no conmutativas , y funtores Exaltop , Exantop y Exalcotop que tienen en cuenta una topología .

"Exalcomm" es una abreviatura de "COMMutative ALgebra EXtension" (o más bien de la frase francesa correspondiente). Fue introducida por Grothendieck y Dieudonné (1964, 18.4.2).

Exalcomm es uno de los grupos de cohomología de André–Quillen y uno de los funtores de Lichtenbaum–Schlessinger .

Dados homomorfismos de anillos conmutativos A  →  B  →  C y un C -módulo L existe una secuencia exacta de A -módulos (Grothendieck & Dieudonné 1964, 20.2.3.1)

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow \;&\operatorname {Der} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(B,L)\rightarrow \\&\operatorname {Exalcomm} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(B,L)\end{aligned}}}$

donde Der _A ( B , L ) es el módulo de derivaciones del A -álgebra B con valores en L . Esta secuencia se puede extender más hacia la derecha utilizando la cohomología de André–Quillen .

Extensiones de cuadrado cero

Para entender la construcción de Exal, se debe definir la noción de extensiones de cuadrado cero. Fijemos un topo y hagamos que todas las álgebras sean álgebras sobre él. Nótese que el topo de un punto da el caso especial de anillos conmutativos, por lo que la hipótesis del topo puede ignorarse en una primera lectura. ${\displaystyle T}$

Definición

Para definir la categoría, necesitamos definir qué es en realidad una extensión de ceros cuadrados. Dado un morfismo sobreyectivo de -álgebras , se denomina extensión de ceros cuadrados si el núcleo de tiene la propiedad de ser el ideal cero . ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I^{2}=(0)}$

Observación

Tenga en cuenta que el núcleo puede equiparse con una estructura de módulo de la siguiente manera: dado que es sobreyectiva, cualquier tiene una elevación a a , por lo que para . Dado que cualquier elevación difiere en un elemento en el núcleo, y ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle b\cdot m:=x\cdot m}$ ${\displaystyle m\in I}$ ${\displaystyle k\in I}$

${\displaystyle (x+k)\cdot m=x\cdot m+k\cdot m=x\cdot m}$

Como el ideal es el cuadrado cero, esta estructura modular está bien definida.

Ejemplos

De las deformaciones sobre los números duales

Las extensiones de cero cuadrado son una generalización de deformaciones sobre los números duales . Por ejemplo, una deformación sobre los números duales

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}\right)&\to &{\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y][\varepsilon ]}{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

tiene la extensión cuadrada cero asociada

${\displaystyle 0\to (\varepsilon )\to {\frac {k[x,y][\varepsilon ]}{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}}\to {\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}\to 0}$

de -álgebras. ${\displaystyle k}$

De deformaciones más generales

Pero, como la idea de extensiones de cero cuadrados es más general, las deformaciones sobre dónde darán ejemplos de extensiones de cero cuadrados. ${\displaystyle k[\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}\cdot \varepsilon _{2}=0}$

Extensión trivial del cuadrado cero

Para un módulo , existe una extensión trivial de cuadrado cero dada por donde la estructura del producto está dada por ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\oplus M}$

${\displaystyle (b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm)}$

Por lo tanto, la extensión cuadrada-cero asociada es

${\displaystyle 0\to M\to B\oplus M\to B\to 0}$

donde la sobreyección es el mapa de proyección olvidando . ${\displaystyle M}$

Construcción

La construcción abstracta general de Exal ^[1] se deduce de definir primero una categoría de extensiones sobre un topos (o simplemente la categoría de anillos conmutativos), luego extraer una subcategoría donde un anillo base es fijo y luego usar un funtor para obtener el módulo de las extensiones del álgebra conmutativa para un fijo . ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}}$ ${\displaystyle \pi :{\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)\to {\text{B-Mod}}}$ ${\displaystyle {\text{Exal}}_{A}(B,M)}$ ${\displaystyle M\in {\text{Ob}}({\text{B-Mod}})}$

General Exal

Para este topos fijo, sea la categoría de pares donde es un morfismo sobreyectivo de -álgebras tales que el núcleo es cuadrado-cero, donde los morfismos se definen como diagramas conmutativos entre . Hay un funtor ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}}$ ${\displaystyle (A,p:E\to B)}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (A,p:E\to B)\to (A',p':E'\to B')}$

${\displaystyle \pi :{\underline {\text{Exal}}}\to {\text{Algmod}}}$

enviando un par a un par donde es un módulo. ${\displaystyle (A,p:E\to B)}$ ${\displaystyle (A\to B,I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

ExalA ,ExalA(B, –)

Luego, hay una sobrecategoría denotada (lo que significa que hay un funtor ) donde los objetos son pares , pero el primer anillo es fijo, por lo que los morfismos son de la forma ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}\to {\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}}}$ ${\displaystyle (A,p:E\to B)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A,p:E\to B)\to (A,p':E'\to B')}$

Hay una reducción adicional a otra sobrecategoría donde los morfismos son de la forma ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)}$

${\displaystyle (A,p:E\to B)\to (A,p':E'\to B)}$

ExalA(B,I )

Finalmente, la categoría tiene un núcleo fijo de las extensiones de cero cuadrado. Nótese que en , para un , fijo , existe la subcategoría donde es un módulo, por lo que es equivalente a . Por lo tanto, la imagen de bajo el funtor vive en . ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)}$ ${\displaystyle {\text{Algmod}}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle (A\to B,I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{B-Mod}}}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\text{B-Mod}}}$

Las clases de isomorfismo de objetos tienen la estructura de un módulo ya que es una pila Picard, por lo que la categoría se puede convertir en un módulo . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)}$ ${\displaystyle {\text{Exal}}_{A}(B,I)}$

Estructura de ExalA(B,I )

Hay algunos resultados sobre la estructura de y que son útiles. ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)}$ ${\displaystyle {\text{Exal}}_{A}(B,I)}$

Automorfismos

El grupo de automorfismos de un objeto puede identificarse con los automorfismos de la extensión trivial (explícitamente, nos referimos a automorfismos compatibles tanto con la inclusión como con la proyección ). Estos se clasifican por el módulo de derivaciones . Por lo tanto, la categoría es un torsor. De hecho, esto también podría interpretarse como un Gerbe ya que se trata de un grupo que actúa sobre una pila. ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}({\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I))}$ ${\displaystyle B\oplus M}$ ${\displaystyle B\oplus M\to B\oplus M}$ ${\displaystyle M\to B\oplus M}$ ${\displaystyle B\oplus M\to B}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{A}(B,M)}$ ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)}$

Composición de extensiones

Hay otro resultado útil sobre las categorías que describen las extensiones de , hay un isomorfismo ${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$

${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I\oplus J)\cong {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)\times {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,J)}$

Se puede interpretar como que la extensión al cuadrado cero de una deformación en dos direcciones se puede descomponer en un par de extensiones al cuadrado cero, cada una en la dirección de una de las deformaciones.

Solicitud

Por ejemplo, las deformaciones dadas por infinitesimales donde da el isomorfismo ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}^{2}=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}=\varepsilon _{2}^{2}=0}$

${\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1})\oplus (\varepsilon _{2}))\cong {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1}))\times {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{2}))}$

donde es el módulo de estos dos infinitesimales. En particular, al relacionar esto con la teoría de Kodaira-Spencer y usar la comparación con el complejo cotangente (que se muestra a continuación), esto significa que todas esas deformaciones se clasifican por ${\displaystyle I}$

${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\times H^{1}(X,T_{X})}$

Por lo tanto, son solo un par de deformaciones de primer orden emparejadas entre sí.

Relación con el complejo cotangente

El complejo cotangente contiene toda la información sobre un problema de deformación, y es un teorema fundamental que dado un morfismo de anillos sobre un topo (tome nota ya que el topo de puntos muestra que esto generaliza la construcción para anillos generales), existe un isomorfismo funcional. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{Exal}}_{A}(B,M)\xrightarrow {\simeq } {\text{Ext}}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A},M)}$^{[1] (teorema III.1.2.3)}

Entonces, dado un cuadrado conmutativo de morfismos de anillo

${\displaystyle {\begin{matrix}A'&\to &B'\\\downarrow &&\downarrow \\A&\to &B\end{matrix}}}$

Allí hay una plaza ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Exal}}_{A}(B,M)&\to &{\text{Ext}}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A},M)\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Exal}}_{A'}(B',M)&\to &{\text{Ext}}_{B'}^{1}(\mathbf {L} _{B'/A'},M)\end{matrix}}}$

cuyas flechas horizontales son isomorfismos y tiene la estructura de un módulo del morfismo de anillo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B'}$

Véase también

• Teoría de la deformación
• Complejo cotangente
• Pila de picardía

Referencias

1. Illusie, Luc. Complexe Cotangent et Deformations I. págs. 151-168.

• Espacios tangentes y teorías de obstrucción - Olsson
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 65. doi : 10.1007/bf02684747. SEÑOR  0173675.
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43500-0, ISBN 978-0-521-55987-4 , MR 1269324