Cohomología de André-Quillen

Teoría de la cohomología para anillos conmutativos

En álgebra conmutativa , la cohomología de André–Quillen es una teoría de cohomología para anillos conmutativos que está estrechamente relacionada con el complejo cotangente . Los primeros tres grupos de cohomología fueron introducidos por Stephen Lichtenbaum y Michael Schlessinger  (1967) y a veces se denominan funtores de Lichtenbaum–Schlessinger T ⁰ , T ¹ , T ² , y los grupos superiores fueron definidos independientemente por Michel André  (1974) y Daniel Quillen  (1970) utilizando métodos de la teoría de homotopía . Viene con una teoría de homología paralela llamada homología de André–Quillen .

Motivación

Sea A un anillo conmutativo, B una A -álgebra y M un B -módulo. Los grupos de cohomología de André-Quillen son los funtores derivados del funtor de derivación Der _A ( B , M ). Antes de las definiciones generales de André y Quillen, se sabía desde hacía mucho tiempo que, dados los morfismos de anillos conmutativos A → B → C y un C -módulo M , existe una secuencia exacta de tres términos de módulos de derivación:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Der} _{B}(C,M)\to \operatorname {Der} _{A}(C,M)\to \operatorname {Der} _{A}(B,M).}$

Este término puede extenderse a una secuencia exacta de seis términos utilizando el funtor Exalcomm de extensiones de álgebras conmutativas y a una secuencia exacta de nueve términos utilizando los funtores de Lichtenbaum–Schlessinger. La cohomología de André–Quillen extiende esta secuencia exacta aún más. En el grado cero, es el módulo de derivaciones; en el primer grado, es Exalcomm; y en el segundo grado, es el funtor de Lichtenbaum–Schlessinger de segundo grado.

Definición

Sea B una A -álgebra y sea M un B -módulo. Sea P una resolución de B en una A -álgebra cofibrante simplicial . André escribe el q- ésimo grupo de cohomología de B sobre A con coeficientes en M por H ^q ( A , B , M ) , mientras que Quillen escribe el mismo grupo como D ^q ( B / A , M ) . El q- ésimo grupo de cohomología de André–Quillen es:

${\displaystyle D^{q}(B/A,M)=H^{q}(A,B,M){\stackrel {\text{def}}{=}}H^{q}(\operatorname {Der} _{A}(P,M)).}$

Sea L _{B / A} el complejo cotangente relativo de B sobre A. Entonces tenemos las fórmulas:

${\displaystyle D^{q}(B/A,M)=H^{q}(\operatorname {Hom} _{B}(L_{B/A},M)),}$

${\displaystyle D_{q}(B/A,M)=H_{q}(L_{B/A}\otimes _{B}M).}$

Véase también

• Complejo cotangente
• Teoría de la deformación
• Comité Ejecutivo

Referencias

• André, Michel (1974), Homologie des Algèbres Conmutatives , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 206, Springer-Verlag
• Lichtenbaum, Stephen ; Schlessinger, Michael (1967), "El complejo cotangente de un morfismo", Transactions of the American Mathematical Society , 128 (1): 41–70, doi : 10.2307/1994516 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1994516, MR  0209339
• Quillen, Daniel G., Homología de anillos conmutativos, notas inéditas, archivadas desde el original el 20 de abril de 2015
• Quillen, Daniel (1970), Sobre la (co-)homología de los anillos conmutativos , Proc. Symp. Pure Mat., vol. XVII, American Mathematical Society
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139644136, ISBN 978-0-521-43500-0, Sr.  1269324

Generalizaciones

• Cohomología de André-Quillen de álgebras S conmutativas
• Homología y cohomología de los espectros de anillos E-infinitos